?24.2點和圓、直線和圓的位置關(guān)系
課后培優(yōu)練

培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練
一、單選題
1．已知⊙O的半徑是4，OP＝7，則點P與⊙O的位置關(guān)系是（?? ?????）．
A．點P在圓內(nèi) B．點P在圓上 C．點P在圓外 D．不能確定
【答案】C
【詳解】
解：∵OP＝7，r＝4，
∴OP＞r，
則點P在⊙O外．
故選：C．
2．在平面直角坐標(biāo)系中，以原點O為圓心，4為半徑作圓，點P的坐標(biāo)是（5，5），則點P與⊙O的位置關(guān)系是（? ??????）
A．點P在⊙O上 B．點P在⊙O內(nèi)
C．點P在⊙O外 D．點P在⊙O上或在⊙O外
【答案】C
【詳解】
解：∵點P的坐標(biāo)是（5，5），
∴，
而的半徑為4，
∴等于大于圓的半徑，
∴點P在外．
故選：C．
3．如圖，中，，是內(nèi)心，則等于（ ）


A．120° B．130° C．150° D．160°
【答案】B
【詳解】
解：∵I是內(nèi)心，
∴BI和CI分別平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABI=∠CBI，∠ACI=∠BCI，
∵∠A=80°，
∴∠ABC+∠ACB=100°，
∴∠BIC=180°-（∠CBI+∠BCI）
=180°-（∠ABC+∠ACB）
=130°，
故選B．
4．如圖，AB是⊙O的直徑，點P是⊙O外一點，PO交⊙O于點C，連接BC，PA.若∠P=36°，且PA與⊙O相切，則此時∠B等于（?? ?????）

A．27° B．32° C．36° D．54°
【答案】A
【詳解】
∵AB是⊙O的直徑，且PA與⊙O相切
∴
又∵∠P=36°
∴
∴
故選:A
5．如圖，AC是⊙O的切線，切點為C，BC是⊙O的直徑，AB交⊙O于點D，連接OD，若∠COD＝80°，則∠BAC＝（?? ?????）

A．100° B．80° C．50° D．40°
【答案】C
【詳解】
解：∵AC是⊙O的切線，
∴BC⊥AC，
∴∠C=90°，
∵∠COD=80°，
∴∠B=∠COD=40°．
∴∠BAC=90°-∠B=50°，
故選：C．
6．如圖，PA、PC是⊙O的兩條切線，點A、C為切點，點B為⊙O上任意一點，連接AB、BC，若∠B=52°，則DP的度數(shù)為（? ??）．

A．68° B．104° C．70° D．76°
【答案】D
【詳解】
解：連接OA、OC，如圖：

∵∠B=52°，
∴∠AOC=2∠B=104°，
∵PA、PB是⊙O的切線，
∴OA⊥AP，OC⊥CP，
∴∠OAP=∠OCP=90°，
∴∠P =360°-（∠OAP+∠OCP+∠AOC）=76°，
故選：D．
二、填空題
7．如圖，在半徑為10cm和6cm的兩個同心圓中，大圓的弦AB與小圓相切于點C，則弦AB的長為_______cm．

【答案】16
【詳解】
解：∵AB是小圓O的切線，
∴OC⊥AB，
∵AB是大圓O的弦，
∴AC=AB，
在Rt△AOC中，AC===8（cm），
則AB=2AC=16（cm），
故答案為：16．
8．如圖，點O是△ABC的外心，連接OB，若∠OBA＝17°，則∠C的度數(shù)為_________°．

【答案】73
【詳解】
解：連接，，

點是的外心，
，
，，，
，
，

即，
，
，
．
故答案為：．
9．設(shè)P為外一點，若點P到的最短距離為2，最長距離為6，則的半徑為______．
【答案】2
【詳解】
解：如圖，

由題意知，
∴
∴的半徑為
故答案為：2．
10．如圖，△ABC中，AB＝10，BC＝8，AC＝6，點P在線段AC上，以P為圓心，PA長為半徑的圓與邊AB相交于另一點D，點Q在直線BC上，且DQ是⊙P的切線，則PQ的最小值為__________．

【答案】4.8
【詳解】
解：在△ABC中，BC=8，AC=6，AB=10，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠ACB=90°，
連接PD，取PQ的中點E，連接CE，DE，

∵DQ是⊙P的切線，
∴∠PDQ=90°，
∴CE=PQ，DE=PQ，
當(dāng)CD⊥AB時，CE+DE有最小值，即CD=AC?BC÷AB=4.8，
故答案為：4.8．
三、解答題
11．在平面直角坐標(biāo)系中，作以原點O為圓心，半徑為4的，試確定點與的位置關(guān)系．
【答案】點A在內(nèi)；點B在外；點C在上．
【詳解】
解：連接OA、OB、OC，

∵，
由勾股定理得 OA=4，
∴點B與的位置關(guān)系是點B在外；
∵，
由勾股定理得OC==4，
∴點C與的位置關(guān)系是點C在上．
12．如圖，點P是的直徑延長線上的一點（），點E是線段的中點．在直徑上方的圓上作一點C，使得．求證：是的切線．

【答案】證明見解析
【詳解】
證明：連接，
∵點E是線段的中點，

∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵是的半徑，
∴是的切線．
13．如圖，在中，，延長到點，以為直徑作，交的延長線于點，延長到點，使．

(1)求證：是的切線；
(2)若，，，求的長．
【答案】(1)見解析；(2)13
【解析】
(1)如圖，連接，

中，，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
是半徑，
是的切線；
(2)如圖，過點作，

，
，
，，
，
在與中，
，
，
，
培優(yōu)第二階——拓展培優(yōu)練
一、單選題
1．如圖，已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三點A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P經(jīng)過點A、B、C，則點P的坐標(biāo)為（? ??????）

A．（6，8） B．（4，5） C．（4，） D．（4，）
【答案】C
【詳解】
解：∵⊙P經(jīng)過點A、B、C，
∴點P在線段AB的垂直平分線上，
∴點P的橫坐標(biāo)為4，
設(shè)點P的坐標(biāo)為（4，y），
作PE⊥OB于E，PF⊥OC于F，
由題意得：，解得，y，
故選：C．

2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=12，點D為線段BC上一動點．以CD為⊙O直徑，作AD交⊙O于點E，連BE，則BE的最小值為（　 ?。?br />
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【詳解】
解：如圖，連接CE，

∴∠CED=∠CEA=90°，
∴點E在以AC為直徑的⊙Q上，
∵AC=10，
∴QC=QE=5，
當(dāng)點Q、E、B共線時BE最小，
∵BC=12，
∴QB==13，
∴BE=QB-QE=8，
故選：B．
3．如圖，AB是半圓O的直徑，點C在半圓O上，OA=10，BC=16，D是弧AC上一個動點，連接BD，過點C作CM⊥BD，連接AM，在點D移動的過程中，AM的最小值為（??? ????）

A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
解：如圖，取BC的中點E，連接AE、AC．

∵CM⊥BD，
∴∠BMC=90°，
∴在點D移動的過程中，點M在以BC為直徑的圓上運動，
∴CE=BC=8，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∵BC=16，AB=2OA=20，
∴AC=12，
在Rt△ACE中，AE=，
∵EM+AM≥AE，
∴當(dāng)E、M、A共線時，AM的值最小，最小值為AE-EM=4-8，
故選：D．
4．如圖，P為⊙O外一點，PA、PB分別切⊙O于點A、B，CD切⊙O于點E，分別交PA、PB于點C、D，若PA＝8，則△PCD的周長為(???? ?)

A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】C
【詳解】
解：∵PA、PB分別切⊙O于點A、B，CD切⊙O于點E，
∴PA=PB=6，AC=EC，BD=ED，
∴PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD=PA+AC+PD+BD=PA+PB=8+8=16，
即△PCD的周長為16．
故選：C．
5．如圖，在四邊形中，是四邊形的內(nèi)切圓，分別切于F，E兩點，若，則的長是（?? ?????）


A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
連接OC，與EF相交于點M，作DG⊥BC于點G，連接OE，設(shè)AD與圓的切點為H，如圖，


∵，
∴四邊形ABGD是矩形，
∴BG=AD=3，CG=BC-BG=6-3=3，
∵點E、F、H是切點，
∴DF=DH，CF=CE，OC平分∠ECF，
∴△ECF是等腰三角形，OC是EF的垂直平分線，
∴EM=FM，
設(shè)圓O半徑為R，則BE=R，DG=2R，，
∴CE=CF=6-R，DF=DH=3-R，
∵，
∴解得：R=2，
∴CE=6-2=4，
∴，
∵，???
∴，
∴，
故選 A．
6．如圖，在中，．的半徑為2，點P是AB邊上的動點，過點Р作的一條切線PQ（點Q為切點），則線段PQ長的最小值為（???? ???）

A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
解：連接OQ．

∵PQ是⊙O的切線，
∴OQ⊥PQ；
根據(jù)勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，
∵OQ為定值，
∴當(dāng)OP的值最小時，PQ的值最小，
∴當(dāng)PO⊥AB時，線段PQ最短，
∵在Rt△AOB中，OA=OB=，
∴AB=OA=8，
，
∴，
∴．
故選：A．
二、填空題
7．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3，點D是AB的中點，點E是以點B為圓心，BD長為半徑的圓上的一動點，連接AE，點F為AE的中點，則CF長度的最大值是______．

【答案】
【詳解】
解：如圖，延長AC到T，使得CT=AC，連接BT，TE，BE．

∵AC=CT，BC⊥AT，
∴BA=BT，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=3，
∴∠BAT=60°，AC=BC?tan30°=3，
∴AB=2AC=6，
∴△ABT是等邊三角形，
∴BT=AB=6，
∵AD=BD=BE，
∴BE=3，
∵ET≤BT+BE，
∴ET≤9，
∴ET的最大值為9，
∵AC=CT，AF=FE，
∴CF=ET，
∴CF的最大值為．
故答案為：．
8．如圖，在中，，，點D是AB的中點，點E在AC上，點F在BC上，，連接BE，若，，則__________．

【答案】10
【詳解】
解：連接CD，EF，
∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
點D是AB的中點，
∴AD=CD=BD=AB，∠ABC=∠DCE=45°，CD⊥AB，
∵∠EDF=90°，
∴∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF， 同理∠CDE=∠BDF，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴BF=CE=6， 延長FC至G，使CG=CF， 則△CEG≌△CEF，

∴∠GEC=∠FEC，
∵∠CBE=2∠EDA，
∴設(shè)∠EDA=∠CDF=α，則∠CBE=2α，
∵∠ECF=∠EDF=90°，
∴點D，F(xiàn)，C，E在以EF為直徑的同一個圓上，
∴∠CEF=∠CDF=α，
∴∠CEG=α，
∴∠G=90°-α，
∴∠BEG=180°-∠EBC-∠G=90°-α，
∴∠G=∠BEG，
∴BE=BG， 設(shè)CG=CF=x，
∴BE=BG=6+2x，BC=6+x，
在Rt△BEC中，BE2=CE2+BC2，???
∴（6+2x）2=62+（6+x）2，
解得：x=2（負值舍去），
∴BE=10．
故答案為：10．
9．如圖，在中，，⊙過點A、C，與交于點D，與相切于點C，若，則__________

【答案】
【詳解】
如下圖所示，連接OC

從圖中可以看出，是圓弧對應(yīng)的圓周角，是圓弧對應(yīng)的圓心角
得．
∵BC是圓O的切線
∴
∵
∴
∴
∴
故答案為：．
10．如圖，在矩形ABCD中，，，為AD上一點，且，為BC邊上的動點，以為EF直徑作，當(dāng)與矩形的邊相切時，BF的長為______．

【答案】2或或
【詳解】
解：①當(dāng)圓與邊AD、BC相切時，如圖1所示

此時
所以四邊形AEFB為矩形；即BF=AE=2；
②當(dāng)圓與邊AB相切時，設(shè)圓的半徑為R，切點為H，圓與邊AD交于E、N兩點，與邊BC交于M、F兩點，連接EM、HO，如圖2所示

此時OE=OF=OH=R，點O、H分別是EF、AB的中點
∴2OH=AE+BF即BF=2R-2
∵BM=AE=2
∴MF=2R-4
在中，
∵EM=AB=6，EF=2R
∴ 解得
將代入 BF=2R-2
∴；
③當(dāng)圓與邊CD相切時，設(shè)圓的半徑為R，切點為H，圓與邊AD交E、D兩點，與邊BC交M、F兩點，如圖3所示

此時OE=OF=OH=R
∵AE=2
∴ED=6
∵點O、H分別是EF、CD的中點
∴2OH=ED+FC即FC=2R-6
∵BM=AE=2
∴MF=BC-BM-FC即MF=12-2R
∵EM=AB=6，EF=2R
∴在中
即 解得
∵
∴．
三、解答題
11．如圖1，C、D為半圓O上的兩點，且點D是弧BC的中點．連接AC并延長，與BD的延長線相交于點E．

(1)求證：CD＝ED；
(2)連接AD與OC、BC分別交于點F、H．
①若CF＝CH，如圖2，求證：CH＝CE；
②若圓的半徑為2，BD＝1，如圖3，求AC的值．
【答案】(1)見解析；(2)①見解析；②
【解析】
(1)解：證明：如圖1中，連接BC．

∵點D是弧BC的中點．
∴，
∴∠DCB=∠DBC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=∠BCE=90°，
∴∠E+∠DBC=90°，∠ECD+∠DCB=90°，
∴∠E=∠DCE，
∴CD=ED；
(2)①證明：如圖2中，

∵CF=CH，
∴∠CFH=∠CHF，
∵∠CFH=∠CAF+∠ACF，∠CHA=∠BAH+∠ABH，
∵∠CAD=∠BAH，
∴∠ACO=∠OBC，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠ACO=∠BCO=∠ACB=45°，
∴∠CAB=∠ABC=45°，
∴AC=BC，
∵∠ACH=∠BCE=90°，∠CAH=∠CBE，
∴△ACH≌△BCE（ASA），
∴CH=CE；
②解：如圖3中，連接OD交BC于G．設(shè)OG=x，則DG=2-x．

∵，
∴∠COD=∠BOD，
∵OC=OB，
∴OD⊥BC，CG=BG，
在Rt△OCG和Rt△BGD中，則有22-x2=12-（2-x）2，
∴x=，即OG=，
∵OA=OB，
∴OG是△ABC的中位線，
∴OG=AC，
∴AC=．
12．如圖，AB是⊙O的直徑，=，AC與BD相交于點E．連接BC，∠BCF=∠BAC，CF與AB的延長線相交于點F．

(1)求證：CF是⊙O的切線；
(2)求證：∠ACD=∠F；
(3)若AB=10，BC=6，求AD的長．
【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)AD=．
【解析】
(1)證明：連接OC，

∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠ACO，
∵∠BCF=∠BAC，
∴∠BCF+∠OCB=90°，
∴∠OCF=90°，
∴OC⊥CF，
∴CF是⊙O的切線；
(2)證明：∵=，
∴∠CAD=∠BAC，
∵∠BCF=∠BAC，
∴∠CAD=∠BCF，
∵=，，
∴∠CAD=∠CBD，
∴∠BCF=∠CBD，
∴BD∥CF，
∴∠ABD=∠F，
∵=，
∴∠ACD=∠ABD，
∴∠ACD=∠F；
(3)解：如圖：

∵BD∥CF，OC⊥CF，
∴OC⊥BD于點H，
設(shè)OH為x，則CH為（5-x），根據(jù)勾股定理，
62-（5-x）2=52-x2，
解得：x=，
∴OH=，
∵OH是中位線，
∴AD=2OH=．
13．如圖，點是矩形中邊上的一點，以為圓心，為半徑作圓，交邊于點，且恰好過點，連接，過點作EFBD，

(1)若，
①求的度數(shù)；
②求證：是的切線．
(2)若，，求的長．
【答案】(1)①30°；②見解析；(2)
【解析】
(1)解：①∵OD=OB，∠DOB=120°，
∴∠OBD=30°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB//CD，
∴∠CDB=∠OBD=30°，
∵EF//BD，
∴∠CEF=∠CDB=30°；
②證明：如圖，連接OE，

∵∠ODB=∠DBO=∠EDB=30°，
∴∠ODE=∠ODB+∠BDE=60°，
∵OD=OE，
∴∠DEO=∠ODE=60°，
∴∠OEF=180°-∠DEO-∠CEF=180°-60°-30°=90°，
∵OE是⊙O的半徑，
∴EF是⊙O的切線；
(2)解：∵EF∥DB，
∴CE：ED=CF：FB=2：3，
設(shè)CE=2x，則DE=3x，過點O作OH⊥DE于點H，

由垂徑定理可得DH=DE=，
∵∠CBO=∠C=∠CHO=90°，
∴四邊形CHOB是矩形，
∴DO=BO=CH=DCDH=，
在Rt△ODH中，有DH2+OH2=DO2，
解得，
∴DO=．
培優(yōu)第三階——中考沙場點兵
一、單選題
1．（2022·吉林·中考真題）如圖，在中，，，．以點為圓心，為半徑作圓，當(dāng)點在內(nèi)且點在外時，的值可能是（???? ???）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【詳解】
解：在中，，，，
，
點在內(nèi)且點在外，
，即，
觀察四個選項可知，只有選項C符合，
故選：C．
2．（2022·湖南邵陽·中考真題）如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，若AB=3，則⊙O的半徑是（??? ????）

A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
解：作直徑AD，連接CD，如圖，

∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=60°，
∵AD為直徑，
∴∠ACD=90°，
∵∠D=∠B=60°，則∠DAC=30°，
∴CD=AD，
∵AD2=CD2+AC2，即AD2=(AD)2+32，
∴AD=2，
∴OA=OB=AD=．
故選：C．
3．（2022·湖北十堰·中考真題）如圖，是等邊的外接圓，點是弧上一動點（不與，重合），下列結(jié)論：①；②；③當(dāng)最長時，；④，其中一定正確的結(jié)論有（?? ?????）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【詳解】
解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∴，
∴∠ADB=∠BDC，故①正確；
∵點是上一動點，
∴不一定等于，
∴DA=DC不一定成立，故②錯誤；
當(dāng)最長時，DB為圓O的直徑，
∴∠BCD=90°，
∵是等邊的外接圓，∠ABC=60°，
∴BD⊥AC，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∴，故③正確；
如圖，延長DA至點E，使AE=DC，

∵四邊形ABCD為圓O的內(nèi)接四邊形，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∵∠BAE+∠BAD=180°，
∴∠BAE=∠BCD，
∵AB=BC，AE=CD，
∴△ABE≌△CBD，
∴BD=AE，∠ABE=∠DBC，
∴∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=∠ABC=60°，
∴△BDE是等邊三角形，
∴DE=BD，
∵DE=AD+AE=AD+CD，
∴，故④正確；
∴正確的有3個．
故選：C．
4．（2022·廣東深圳·中考真題）如圖所示，已知三角形為直角三角形，為圓切線，為切點，則和面積之比為（??? ????）

A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
解：如圖取中點O，連接．

∵是圓O的直徑．
∴．
∵與圓O相切．
∴．
∵．
∴．
∵．
∴．
又∵．
∴．
∵，，．
∴．
∴．
∵點O是的中點．
∴．
∴．
∴
故答案是：1∶2．
故選：B．
5．（2022·廣西河池·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，PA與⊙O相切于點A，∠ABC＝25°，OC的延長線交PA于點P，則∠P的度數(shù)是(?? ???)

A．25° B．35° C．40° D．50°
【答案】C
【詳解】
，∠ABC＝25°，
，
AB是⊙O的直徑，
，
．
故選C．
6．（2022·湖北鄂州·中考真題）工人師傅為檢測該廠生產(chǎn)的一種鐵球的大小是否符合要求，設(shè)計了一個如圖（1）所示的工件槽，其兩個底角均為90°，將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內(nèi)時，若同時具有圖（1）所示的A、B、E三個接觸點，該球的大小就符合要求．圖（2）是過球心及A、B、E三點的截面示意圖，已知⊙O的直徑就是鐵球的直徑，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于點E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD=16cm，AC=BD=4cm，則這種鐵球的直徑為（????? ??）

A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm
【答案】C
【詳解】
解：如圖所示，連接OA，OE，設(shè)OE與AB交于點P，

∵，，，
∴四邊形ABDC是矩形，
∵CD與切于點E，OE為的半徑，
∴，，
∴，，
∵AB=CD=16cm，
∴，
∵，
在，由勾股定理得，


解得，，
則這種鐵球的直徑＝，
故選C．
二、填空題
7．（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，是的內(nèi)接三角形．若，，則的半徑是______．

【答案】1
【詳解】
解：連接、，

，
，
，即，
解得：，
故答案為：1．
8．（2022·廣西玉林·中考真題）如圖，在網(wǎng)格中，各小正方形邊長均為1，點O，A，B，C，D，E均在格點上，點O是的外心，在不添加其他字母的情況下，則除外把你認為外心也是O的三角形都寫出來__________________________．

【答案】△ADC、△BDC、△ABD
【詳解】
由網(wǎng)格圖可知O點到A、B、C三點的距離均為：，
則外接圓半徑，
圖中D點到O點距離為：，
圖中E點到O點距離為：，
則可知除△ABC外把你認為外心也是O的三角形有：△ADC、△ADB、△BDC，
故答案為：△ADC、△ADB、△BDC．
9．（2022·江蘇鹽城·中考真題）如圖，、是的弦，過點A的切線交的延長線于點，若，則___________°．

【答案】35
【詳解】
解：如圖，連接并延長，交于點，連接．

為的直徑，
，
，
為的切線，
，
，
，
．
故答案為：35．
10．（2022·江蘇泰州·中考真題）如圖，PA與⊙O相切于點A，PO與⊙O相交于點B，點C在 上，且與點A，B 不重合，若∠P=26°，則∠C的度數(shù)為_________°．

【答案】32
【詳解】
解：連接OA，

∵PA與⊙O相切于點A，
∴∠PAO=90°，
∴∠O=90°-∠P，
∵∠P=26°，
∴∠O=64°，
∴∠C=∠O=32°．
故答案為：32．
三、解答題
11．（2022·甘肅武威·中考真題）中國清朝末期的幾何作圖教科書《最新中學(xué)教科書用器畫》由國人自編（圖1），書中記載了大量幾何作圖題，所有內(nèi)容均用淺近的文言文表述，第一編記載了這樣一道幾何作圖題：
原文
釋義
甲乙丙為定直角．
以乙為圓心，以任何半徑作丁戊弧；
以丁為圓心，以乙丁為半徑畫弧得交點己；
再以戊為圓心，仍以原半徑畫弧得交點庚；
乙與己及庚相連作線．
如圖2，為直角．
以點為圓心，以任意長為半徑畫弧，交射線，分別于點，；
以點為圓心，以長為半徑畫弧與交于點；
再以點為圓心，仍以長為半徑畫弧與交于點；
作射線，．


(1)根據(jù)以上信息，請你用不帶刻度的直尺和圓規(guī)，在圖2中完成這道作圖題（保留作圖痕跡，不寫作法）；
(2)根據(jù)（1）完成的圖，直接寫出，，的大小關(guān)系．
【答案】(1)見解析；(2)
【解析】
(1)解：（1）如圖：

(2)．
理由：連接DF，EG如圖所示

則BD=BF=DF，BE=BG=EG；即和均為等邊三角形
∴
∵
∴
12．（2022·北京·中考真題）如圖，是的直徑，是的一條弦，連接

(1)求證：
(2)連接,過點作交的延長線于點，延長交于點，若為的中點，求證：直線為的切線．
【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析
【解析】
(1)證明：設(shè)交于點，連接，

由題可知，
，，
，
，
，
，
，
，
；
(2)證明：

連接，
，
，
同理可得：,，
∵點H是CD的中點，點F是AC的中點，
，
，
，
，
為的直徑，???
，
，
，
，
，
，
直線為的切線．
13．（2022·湖南衡陽·中考真題）如圖，為⊙的直徑，過圓上一點作⊙的切線交的延長線與點，過點作交于點，連接．

(1)直線與⊙相切嗎？并說明理由；
(2)若，，求的長．
【答案】(1)相切，見解析；(2)
【解析】
(1)證明：連接．

∵為切線，
∴，
又∵，
∴，，且，
∴，
在與中；
∵，∴，
∴，
∴直線與相切．
(2)設(shè)半徑為；則：，得；
在直角三角形中，，
，解得

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