2023屆黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)校高三三模數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．命題：“，”的否定是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】全稱量詞命題的否定是特稱量詞命題，把任意改為存在，把結(jié)論否定.【詳解】“，”的否定是“，”.故選：C2．設(shè)全集，，，則下列說法正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式，得到，由真數(shù)大于0得到，再對四個選項一一判斷正誤.【詳解】因為，所以，解得，，由對數(shù)函數(shù)真數(shù)大于0可得，解得，故，AB選項，，，A錯誤，B正確；C選項，或，，C錯誤；D選項，或，故，D錯誤.故選：B3．若復(fù)數(shù)，當(dāng)是純虛數(shù)時，實數(shù)值為（    ）A．或2 B．2或 C．2 D．【答案】D【分析】是純虛數(shù)，根據(jù)實部為零，虛部不等于零求解即可.【詳解】當(dāng)是純虛數(shù)時，則，解得.故選：D.4．已知，則下列不等式不一定成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】A選項，根據(jù)不等式基本性質(zhì)得到；B選項，利用基本不等式求解；C選項，利用作差法比較大?。?/span>D選項，可舉出反例.【詳解】A選項，因為，所以，不等式兩邊同時乘以，可得，故A正確；B選項，因為，所以，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，但，故等號取不到，，B正確；C選項，，因為，，故，故，C正確；D選項，不妨設(shè)，則故選：D5．已知向量，，且，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)兩個向量共線的坐標(biāo)表示得出，化簡所求分式，再代入得出結(jié)果.【詳解】已知向量，，且，則，解得..故選：A.6．某職業(yè)體驗活動共設(shè)置五個職業(yè)，五位同學(xué)各選其中一個職業(yè)，若至少選出四個職業(yè)，活動才能正常進行，則不同的選擇方案共有（    ）A．1320種 B．1200種 C．325種 D．600種【答案】A【分析】5位同學(xué)選了4個職業(yè)和選了5個職業(yè)兩種情況求出不同的選擇方案，相加后得到答案.【詳解】5位同學(xué)選了4個職業(yè)，則必有2個同學(xué)選擇了同一個職業(yè)，先對5位同學(xué)分為4組，再進行排列，有種選擇，5位同學(xué)選了5個職業(yè)，進行全排列即可，有種選擇，故不同的選擇方案共有種選擇.故選：A7．海面上有相距4公里的，兩個小島，在的正東方向，為守護小島，一艘船繞兩島航行，已知這艘船到兩個小島距離之和為6公里.在島的北偏西處有一個信號站，島到信號站的距離為公里.若這艘船航行的過程中一直能接收到信號站發(fā)出的信號，則信號站的信號傳播距離至少為（    ）A．公里 B．5公里 C．公里 D．公里【答案】D【分析】由橢圓定義船的航行軌跡是在一個長軸長為6焦距為4的橢圓上，求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點坐標(biāo)，設(shè)橢圓上一點，根據(jù)的范圍求出的范圍可得答案.【詳解】由題意，船的航行軌跡是在一個長軸長為6焦距為4 的橢圓上，可設(shè)焦點坐標(biāo)分別為，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，，所以橢圓的方程為，因為，，所以，設(shè)橢圓上一點，所以，因為，所以，所以，即，故選：D.8．英國數(shù)學(xué)家泰勒1712年提出了泰勒公式，這個公式是高等數(shù)學(xué)中非常重要的內(nèi)容之一.其正弦展開的形式如下：，（其中，），則的值約為（1弧度）（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用已知公式，將公式兩邊分別求導(dǎo)，結(jié)合誘導(dǎo)公式，即可得到，求解即可．【詳解】因為，又，則，當(dāng)時，則有，又，則．故選：B． 二、多選題9．已知，，為空間中三條不同的直線，，，為空間中三個不同的平面，則下列說法中正確的有（    ）A．若，，，則B．若，，，若，則C．若，，分別與，所成的角相等，則D．若，，，則【答案】BD【分析】對于A，C通過舉反例說明其錯誤；對于B，通過點與線、面關(guān)系進行推理判斷；對于D，由垂直的性質(zhì)及平行公理進行判斷.【詳解】對于A，如圖1，若，，，則可以與平行，故A錯誤；對于B，若，，若，則，又，則，故B正確；對于C，如圖2，若，，分別與，所成的角為時，與可以相交，故C錯誤；對于D，若，，則，又，則.故選：BD.10．下列命題中正確的是（    ）A．已知隨機變量，則B．已知隨機變量，且，則C．已知一組數(shù)據(jù)：7，7，8，9，5，6，8，8，則這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)是8D．抽取高三年級50名男生、50名女生的二模數(shù)學(xué)成績，男生平均分123分，方差為60；女生平均分128分，方差為40，則抽取的100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的方差為80【答案】AB【分析】對于A，根據(jù)二項分布的方差計算公式求解；對于B，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性求解；對于C，先把數(shù)據(jù)從小到大排列，8個數(shù)中的第3個數(shù)即為結(jié)果；對于D，根據(jù)方差的計算公式求解.【詳解】對于A，隨機變量，，則，故A正確；對于B，隨機變量，且，則根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性可知，故B正確；對于C，依題意，這組數(shù)據(jù)共8個，從小到大排列為5，6，7，7，8，9， 8，8，第30百分位數(shù)是7，故C錯誤；對于D，依題意，設(shè)50名男生為，50名女生為，則，，，，這100名學(xué)生的平均成績，這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的方差，故D錯誤.故選：AB.11．已知正四面體中，，，，…，在線段上，且，過點作平行于直線，的平面，截面面積為，則下列說法正確的是（    ）A．B．為遞減數(shù)列C．存在常數(shù)，使為等差數(shù)列D．設(shè)為數(shù)列的前項和，則時，【答案】ABD【分析】A選項，畫出截面，并判斷出截面為矩形，求出截面邊長，得到，求出；B選項，利用得到B正確；C選項，求出，并用等差數(shù)列的定義判斷C錯誤；D選項，化簡得到，利用裂項相消法求和，列出方程，求出答案.【詳解】由題意得，取中點，連接，因為均為等邊三角形，所以，因為，平面，因為平面，所以，A選項，過點做交于點，過點做交于點，連接，則，故四邊形為截面，且四邊形為矩形，由相似知識可知，，故，所以，A正確；B選項，因為，所以，故，故為遞減數(shù)列，B正確；C選項，，則，不是常數(shù)，C錯誤；D選項，，則，令，解得，D正確.故選：ABD12．已知奇函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且恒成立，若在單調(diào)遞增，則下列說法正確的是（    ）A．在單調(diào)遞減 B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)函數(shù)的的對稱性和周期性，以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，逐個選項進行驗證即可.【詳解】方法一：對于A，若，符合題意，故A錯誤，對于B，因已知奇函數(shù)在上可導(dǎo)，所以，因為，所以，所以，故B正確，對于C和D，設(shè)，則為上可導(dǎo)的奇函數(shù)，，由題意，得，所以關(guān)于直線對稱，所以，所以奇函數(shù)的一個周期為4，，所以，即，故C正確，由對稱性可知，，即，所以，等式兩邊對x求導(dǎo)得，，令，得，所以．由等式兩邊對x求導(dǎo)得，，所以的一個周期為4，所以，所以，故，故D正確．方法二：對于A，若，符合題意，故錯誤，對于B，因已知奇函數(shù)在R上可導(dǎo)，所以，因為，所以，所以，故B正確，對于C，將中的x代換為，得，所以，可得，兩式相減得，，則，，…，，疊加得，故C正確，對于D，將的兩邊對x求導(dǎo)，得，令得，，將的兩邊對x求導(dǎo)，得，所以，將的兩邊對x求導(dǎo)，得，所以，故D正確．故選：BCD【點睛】知識點點睛：本題主要考查抽象函數(shù)的奇偶性，對稱性和周期性的判斷及其性質(zhì)的運用，同時考查導(dǎo)數(shù)的運算法則，綜合程度較高，充分利用函數(shù)的周期性，奇偶性，對稱性的定義是解決問題的關(guān)鍵. 三、填空題13．已知圓：上有且只有三個點到直線：的距離為1，則________.【答案】【分析】根據(jù)圓的半徑為2，將問題轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離為1，解方程即可得答案.【詳解】圓的半徑為2，圓上有且僅有三個點到直線的距離為1，圓心到直線的距離為1，，則，解得.故答案為：.14．已知實數(shù)，滿足，，則________.【答案】4【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化公式，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和零點存在原理進行求解即可.【詳解】由，即，即，令，則，即，即.由，得，設(shè)函數(shù)，顯然該函數(shù)增函數(shù)，又，所以函數(shù)在上有唯一的零點，因此，即，所以.故答案為：4.15．小明有兩盒中性筆，每盒都有8支（材質(zhì)，外觀完全相同）筆，他每次都在兩盒中性筆中隨機選取一盒，并從此盒中抽出一支筆使用，則他發(fā)現(xiàn)一盒筆用完時，另一盒恰有5支筆的概率為________.【答案】【分析】由題可知，總情況數(shù)為；又由題知，11支中最后一支來源于用完的粉筆盒，有3支來源于另一個粉筆盒，則這11支粉筆的排列情況數(shù)為，后由古典概型計算公式可得答案.【詳解】由題可知，使用了11支粉筆，故粉筆的總抽法數(shù)為；又由題知，11支中有8支來源于用完的粉筆盒，有3支來源于另一個粉筆盒，且最后一根來源于用完粉筆盒，則用完1盒，另一盒還剩3根的抽法數(shù)為.則所求概率為：.故答案為：16．雙曲線的中心為原點，焦點在軸上，分別是雙曲線的兩個焦點，過上焦點作斜率的直線交雙曲線上支于點,若，的內(nèi)心分別是，且，則雙曲線的離心率為________.【答案】【分析】設(shè)邊邊上的切點分別為，根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)得到軸，設(shè)直線的傾斜角為，在和中得到的值，進而得到，再將直線方程和雙曲線方程聯(lián)立，利用弦長公式列等式求解即可.【詳解】如圖所示，在中，設(shè)邊邊上的切點分別為，則縱坐標(biāo)相等，且，由雙曲線的性質(zhì)可得，設(shè)，則，解得，所以，同理可得內(nèi)心的縱坐標(biāo)也為，則軸，設(shè)直線的傾斜角為，則，，，由解得，又因為，所以，所以，設(shè)雙曲線方程為，，，，，則直線為，即，聯(lián)立得，則，，所以，所以，即，所以，解得，故答案為：【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解. 四、解答題17．已知數(shù)滿足，的前項和為.(1)求數(shù)列的通項公式及前項和；(2)若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）運用數(shù)列的遞推式，首先求得首項，再將換為，兩式相減，即可得到所求通項公式；（2）求出，根據(jù)分組求和法，結(jié)合等差、等比數(shù)列的求和公式，即可得到所求和．【詳解】（1）由題可知：①當(dāng)時，當(dāng)時，②由①-②得：，即，檢驗符合，∴，.（2）∴.18．如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，.(1)求證：；(2)若點為棱上不與端點重合的動點，且與平面所成角正弦值為，求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)面面垂直證得線面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的正弦值確定點位置，再利用點到平面的距離公式求得結(jié)果.【詳解】（1）∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面且平面，故，（2）∵中，∴，∵平面平面，平面平面，∴平面,平面，∴.以為原點如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,，，，，，，設(shè)，其中，則，取平面法向量，，設(shè)與平面所成角為，，解得（舍）或，則，，，，設(shè)平面的法向量為.，，解得，故.19．中，，，分別為角，，的對邊，且.(1)求角A；(2)若的內(nèi)切圓面積為，求的面積S的最小值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理得到，化簡整理求出，即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)題意，得到內(nèi)切圓的半徑為1，作出圖形，記內(nèi)切圓的圓心為，為切點，得到，由余弦定理得到，根據(jù)基本不等式，推出，再由三角形面積公式，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因為，由正弦定理和兩角和正弦公式得：又因為所以，因為，所以，即，因為，所以，所以，所以所以，即；（2）由題意知內(nèi)切圓的半徑為,則，解得.如圖，內(nèi)切圓的圓心為，為切點，則，從而，由余弦定理得，整理化簡并利用基本不等式得，解得或（舍去），（當(dāng)時取等號）.從而，即面積S的最小值為.20．2023年3月，某校舉行政教主任副職競聘選舉，為了解學(xué)生對競聘結(jié)果的滿意度，評分70分以下為不滿意，70分及以上為滿意，從高三學(xué)生抽取100名學(xué)生進行評分（滿分100分），繪制如下頻率分布直方圖，并將分?jǐn)?shù)從低到高分為兩個等級：性別滿意度合計不滿意滿意男生   女生   合計   (1)求頻率分布直方圖中的值及評分眾數(shù)；(2)已知在不滿意的學(xué)生中男生占比，滿意的學(xué)生中女生占比，填寫列聯(lián)表；并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否判斷性別與滿意度有關(guān)；(3)若按是否滿意用比例分層隨機抽樣的方法從100名學(xué)生中抽取10人，現(xiàn)從抽取的10名學(xué)生中進行調(diào)研，每輪調(diào)研一人，調(diào)研視為不放回抽取，調(diào)研到不滿意的學(xué)生就停止抽取，且第四輪抽取不管結(jié)果如何都停止抽取，記停止抽取時抽取輪數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望.附：臨界值表0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（參考公式：，其中）【答案】(1)，85(2)列聯(lián)表見詳解，能判斷性別與滿意度有關(guān)(3) 【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求解的值及評分眾數(shù)即可；（2）按要求完成列聯(lián)表，再根據(jù)獨立性檢驗的步驟計算，比較數(shù)據(jù)即可得結(jié)論；（3）確定抽取滿意與不滿意人數(shù)，確定隨機變量的取值，求得概率即可得數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由頻率分布直方圖得，則眾數(shù)約為85；（2）不滿意的學(xué)生有人，滿意的學(xué)生有人，不滿意的學(xué)生中男生有人，不滿意學(xué)生中女生有人，滿意的學(xué)生中女生有人，滿意的學(xué)生中男生有人，列聯(lián)表如圖性別滿意度合計不滿意滿意男生151025女生57075合計2080100零假設(shè)：性別與滿意度獨立根據(jù)小概率獨立性檢驗，不成立，所以判斷性別和滿意度有關(guān)，犯錯誤的概率不超過；（3）滿意抽取8人，不滿意抽取2人，可取1，2，3，4期望值（輪）21．已知拋物線的頂點在原點，焦點在軸上，其上一點到焦點的距離為2.(1)求拋物線方程；(2)圓：，過拋物線上一點作圓的兩條切線與軸交于、兩點，求的最小值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由拋物線的定義求解即可；（2）設(shè)切線方程為，由圓心到直線的距離等于半徑可得關(guān)于的一元二次方程，求出的坐標(biāo)，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求出，代入三角形的面積公式可得關(guān)于的函數(shù)式，再由導(dǎo)數(shù)求最值.【詳解】（1）設(shè)焦點，，， ∴方程為；（2）設(shè)切線：，：①，：②.∵，∴，∴， 整理得：.∵，∴，由韋達定理：，，∴.在①中令，，同理，∴，，∴，∵，∴，令，，則，令，，，∴在上單調(diào)遞增，∴，∴.22．已知函數(shù).(1)求時，函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍；(2)令，函數(shù)有兩個零點和，且，當(dāng)變化時，若有最小值(為自然對數(shù)的底數(shù))，求常數(shù)的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）將函數(shù)有兩個零點轉(zhuǎn)化為 的零點問題，利用導(dǎo)數(shù)分成，，，討論函數(shù)的單調(diào)性及取值情況得出結(jié)果；（2）由函數(shù)有兩個零點和，轉(zhuǎn)化為，令 , 則有最小值等價于的最小值為，再借助導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的最值情況得出結(jié)果.【詳解】（1）依題意，令，則，當(dāng)時，，方程無解，無零點；所以，所以，設(shè)，，則討論零點可以轉(zhuǎn)化為討論的零點.，設(shè)，由于，，①時，為上的減函數(shù)，有，有為上的減函數(shù)，此時存在唯一零點，不合題意； ②當(dāng)時，即， 在上單調(diào)遞增，，使得，即在上遞減，在上遞增，又，所以，又由于時，，故在內(nèi)存在唯一零點；在內(nèi)存在唯一零點，此時符合要求； ③時，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，此時的極小值為唯一零點，不符合要求； ④當(dāng)時，即 ，在上單調(diào)遞增，，使得，即在上遞減，在上遞增，且由單調(diào)性知，又由于時，，故在內(nèi)存在唯一零點；在內(nèi)存在唯一零點，此時符合要求； 綜上，的取值范圍：；（2）已知函數(shù)有兩個零點和，方程有兩個不等的實根，即方程有兩個不等的實根.則，即，令 可得：，則有最小值等價于的最小值為，則 則，由于，則有①若，則有在單調(diào)遞增，恒成立，對恒成立，即在上單調(diào)遞增，無最小值，此時不成立； ②若，則有在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由于，且當(dāng)時，，故，使得則有在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增即，由于知， ，所以，即是的唯一解，此時.【點睛】利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的零點問題方法點睛： 本題用了分類討論法，一般命題情境為沒有固定區(qū)間，求滿足函數(shù)零點個數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為結(jié)合單調(diào)性，先確定參數(shù)分類的標(biāo)準(zhǔn)，在每個小范圍內(nèi)研究零點的個數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各小范圍并在一起，即為所求參數(shù)范圍. 

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