2022-2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)校高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（    ）A．和 B．和C．和 D．和【答案】B【解析】由橢圓方程可得焦點(diǎn)在軸上,利用求得焦點(diǎn)坐標(biāo)即可【詳解】由題,焦點(diǎn)在軸上,則,所以,則焦點(diǎn)坐標(biāo)為和,故選:B【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo),屬于基礎(chǔ)題2．拋物線的準(zhǔn)線方程為A． B． C． D．【答案】A【分析】利用的準(zhǔn)線方程為，能求出拋物線的準(zhǔn)線方程.【詳解】，拋物線的準(zhǔn)線方程為，即，故選A .【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單性質(zhì)，意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握與應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.3．已知直線，，則“”是“”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)兩直線平行與斜率的關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，即，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，，重合，不滿足題意；時(shí)，，兩直線平行，滿足題意；所以“”是“”的充要條件.故選:C.4．如圖，ABCD－EFGH是棱長(zhǎng)為1的正方體，若P在正方體內(nèi)部且滿足，則P到AB的距離為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AE所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由題意，計(jì)算出和的坐標(biāo)，然后根據(jù)向量法求點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AE所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，    因?yàn)?/span>，所以，，,所以點(diǎn)P到AB的距離．故選：D.5．已知、為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于,兩點(diǎn)，若，則（    ）A．6 B．7 C．5 D．8【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)與長(zhǎng)軸的關(guān)系即可求解.【詳解】由橢圓的方程可知：，則.由橢圓的定義可知：，，所以，則，故選：.6．過(guò)點(diǎn)作直線，使與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線共有（    ）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】D【分析】利用直線與雙曲線聯(lián)立組成的方程組僅有一組解，即可求得滿足條件的直線共有4條.【詳解】當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，其方程為，直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，滿足要求；當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線斜率存在時(shí)，其方程可設(shè)為，由，整理得當(dāng)時(shí)，方程可化為，方程僅有一根，直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，方程可化為，方程僅有一根，直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，若方程僅有一組解，則，解之得此時(shí)方程為，整理得，則此時(shí)直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，符合題意綜上，滿足條件的直線共有4條故選：D7．設(shè)點(diǎn)P是拋物線:上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)M是圓:上的動(dòng)點(diǎn),d是點(diǎn)P到直線的距離,則的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意畫出圖像,將轉(zhuǎn)化為拋物線上點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離再加1,也即是拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離加1,若求的最小值,轉(zhuǎn)化為拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離和到圓上點(diǎn)的距離再加1即可,根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊,即當(dāng)共線時(shí),取最小值為,算出結(jié)果即可.【詳解】解:由題知圓:, 為拋物線焦點(diǎn),為拋物線準(zhǔn)線,則過(guò)點(diǎn)向作垂線垂足為,如圖所示:則,根據(jù)拋物線定義可知,,=,若求的最小值,只需求的最小值即可,連接與拋物線交于點(diǎn),與圓交于點(diǎn),如圖所示,此時(shí)最小,為,,,.故選:B8．已知橢圓：與雙曲線：有相同的焦點(diǎn)、，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點(diǎn)P為橢圓與雙曲線的交點(diǎn)，且，則的最大值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】不妨設(shè)點(diǎn)為第一象限的交點(diǎn)，結(jié)合橢圓與雙曲線的定義得到，進(jìn)而結(jié)合余弦定理得到，即，令然后結(jié)合三角函數(shù)即可求出結(jié)果.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)為第一象限的交點(diǎn)，則由橢圓的定義可得，由雙曲線的定義可得，所以，因此，即，所以，即，令因此，其中，所以當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，故選：B.【點(diǎn)睛】一、橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．二、雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝c2－a2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)． 二、多選題9．(多選)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4，－2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（    ）A．y2＝x B．y2＝8x C．y2＝－8x D．x2＝－8y【答案】AD【詳解】當(dāng)開(kāi)口向右時(shí)，設(shè)拋物線方程為y2＝2p1x(p1>0)，則(－2)2＝8p1，所以p1＝，所以拋物線方程為y2＝x.當(dāng)開(kāi)口向下時(shí)，設(shè)拋物線方程為x2＝－2p2y(p2>0)，則42＝4p2，p2＝4，所以拋物線方程為x2＝－8y.故選：AD10．已知曲線的方程為，則（    ）A．當(dāng)時(shí)，曲線是半徑為2的圓B．存在實(shí)數(shù)，使得曲線的離心率為的雙曲線C．當(dāng)時(shí)，曲線為雙曲線，離心率為D．“”是“曲線為焦點(diǎn)在軸上的橢圓”的必要不充分條件【答案】AD【分析】根據(jù)圓，雙曲線和橢圓的定義，依次判斷每個(gè)選項(xiàng)，AD正確，B選項(xiàng)方程無(wú)解排除，求出雙曲線離心率排除C選項(xiàng)得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，方程為，表示半徑為的圓，A正確；若曲線表示雙曲線，則，故或，當(dāng)時(shí)，，無(wú)解，當(dāng)時(shí)，，無(wú)解，B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，曲線為雙曲線，，C錯(cuò)誤；曲線為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則滿足，解得，故D正確.故選：AD.11．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，E是的中點(diǎn)，則（    ）A．B．點(diǎn)E到直線的距離為C．直線與平面所成的角的正弦值為D．點(diǎn)到平面的距離為【答案】AC【分析】以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法逐一判斷分析各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】如圖以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，則，所以，故A正確；，則，所以，所以點(diǎn)E到直線的距離為，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>平面，所以即為平面的一條法向量，則直線與平面所成的角的正弦值為，故C正確；設(shè)平面的法向量為，則有，可取，則點(diǎn)到平面的距離為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.12．2022年4月16日9時(shí)56分，神舟十三號(hào)返回艙成功著陸，返回艙是宇航員返回地球的座艙，返回艙的軸截面可近似看作是由半圓和半橢圓組成的“曲圓”，如圖在平面直角坐標(biāo)系中半圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓所在的圓過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，橢圓的短軸與半圓的直徑重合，下半圓與y軸交于點(diǎn)G．若過(guò)原點(diǎn)O的直線與上半橢圓交于點(diǎn)A，與下半圓交于點(diǎn)B，則（    ）A．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為B．線段AB長(zhǎng)度的取值范圍是C．面積的最小值是4D．的周長(zhǎng)為【答案】ABD【分析】由題意可得b、c，然后可得a，可判斷A；由橢圓性質(zhì)可判斷B；取特值，結(jié)合OA長(zhǎng)度的取值范圍可判斷C；由橢圓定義可判斷D.【詳解】由題知，橢圓中的幾何量，得，則，A正確；，由橢圓性質(zhì)可知，所以，B正確；記，則取，則，C錯(cuò)誤；由橢圓定義知，，所以的周長(zhǎng)，D正確.故選：ABD 三、填空題13．已知焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為_______________________．【答案】【分析】根據(jù)雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)可知，以原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的漸近線方程為，即有，再根據(jù)以及即可求出.【詳解】因?yàn)橐栽c(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的漸近線方程為，所以,所以．故答案為：．14．圓：與圓：的公切線條數(shù)為____________.【答案】3【分析】將兩圓的公切線條數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓與圓的位置關(guān)系，然后由兩圓心之間的距離與兩半徑之間的關(guān)系判斷即可.【詳解】圓：，圓心，半徑；圓：，圓心，半徑.因?yàn)?/span>，所以兩圓外切，所以兩圓的公切線條數(shù)為3.故答案為：315．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線，直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，弦長(zhǎng)為6，則直線的方程為______.【答案】或【分析】過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線的方程分為兩種情況，分別去求弦的長(zhǎng)，綜合兩種情況即可求得直線的方程【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，其方程為，此時(shí)，不符合題意；當(dāng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，設(shè)由，整理得，則，則，則，整理得解之得，則則直線的方程為或故答案為：或16．已知曲線的方程為，則下列說(shuō)法正確的是______.①曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；②的取值范圍是；③曲線是一個(gè)橢圓；④曲線圍成區(qū)域的面積小于橢圓圍成區(qū)域的面積.【答案】①【分析】根據(jù)曲線方程確定曲線的的幾何性質(zhì)，結(jié)合方程可確定曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，根據(jù)表達(dá)式可確定的取值范圍，以及根據(jù)方程分情況確定曲線對(duì)應(yīng)的圖象，再作出圖形觀察面積的大小.【詳解】對(duì)于①，若點(diǎn)滿足曲線的方程，則點(diǎn)也一定滿足曲線的方程，所以曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，故①正確；對(duì)于②，，所以，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以曲線由兩個(gè)拋物線的部分組成的，不是橢圓，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，因?yàn)闄E圓的面積與橢圓的面積相等，作出曲線與橢圓，由圖可知，曲線圍成區(qū)域的面積大于橢圓圍成區(qū)域的面積，所以曲線圍成區(qū)域的面積大于橢圓圍成區(qū)域的面積，故④錯(cuò)誤.故答案為：①. 四、解答題17．已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同，且過(guò)點(diǎn).(1)求雙曲線的漸近線方程；(2)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）將已知點(diǎn)代入雙曲線方程，然后可得；（2）由雙曲線右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同可解.【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn)，所以  所以，得又因?yàn)?/span>，所以所以雙曲線的漸近線方程（2）由（1）得 所以  所以雙曲線的右焦點(diǎn)是所以拋物線的焦點(diǎn)是所以，所以所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程18．已知圓的方程為：，點(diǎn).(1)求過(guò)點(diǎn)的的切線方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程.【答案】(1)或(2)或 【分析】（1）配方法求出圓心和半徑，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可求出斜率，可得直線方程；（2）根據(jù)弦長(zhǎng)公式可求出圓心到直線的距離，進(jìn)而求出直線方程.【詳解】（1），圓心當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，檢驗(yàn)知不是切線；當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)解之：或0，故直線方程為：或（2）由弦長(zhǎng)公式，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，滿足；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)解之代入化簡(jiǎn)得：故直線方程為：或19．已知雙曲線與有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的斜率.【答案】(1)(2)1 【分析】（1）找出焦點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件建立方程組解出即可（2）分析直線斜率存在且不為0，設(shè)直線方程聯(lián)立方程組利用韋達(dá)定理，利用中點(diǎn)公式建立方程組解出即可【詳解】（1）由的焦點(diǎn)坐標(biāo)為  由雙曲線與有相同的焦點(diǎn)所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為故，在雙曲線中：    ①又雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)所以    ②解得：所以雙曲線的方程為：（2）由題知直線斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為：由直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，設(shè)所以 消去整理得：所以所以由的中點(diǎn)坐標(biāo)為所以所以.20．如圖，正方形和直角梯形所在平面互相垂直，，，且，．(1)證明：平面；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2) 【分析】（1）先由證得∥平面，同理證得∥平面，進(jìn)而證得平面∥平面，即可證得平面；（2）先證得兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量，由向量夾角余弦公式即可求解.【詳解】（1）由正方形的性質(zhì)知：，又平面，平面，∥平面，，平面，平面，∥平面，，平面，平面∥平面，平面，平面；（2）平面平面，平面平面，平面，則平面，又，則平面，又，則兩兩垂直，以為原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由得：，則，設(shè)平面的法向量為，則，取得，又易得平面的一個(gè)法向量為，則，又二面角為銳角，則二面角的余弦值為.21．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與平面上兩定點(diǎn)，連線的斜率的積為定值．（1）試求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程C；（2）設(shè)直線與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，判斷是否存在k使得面積取得最大值，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）1（x≠±2），（2）見(jiàn)解析【分析】（1）由斜率之積即可求出軌跡方程；（2）把直線方程，與（1）中方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)關(guān)系，表示面積，求最值即可．【詳解】解：（1）設(shè)P（x，y），有kPA?kPB得?整理可得1（x≠±2），∴C的方程為1（x≠±2），（2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），其坐標(biāo)滿足 消去y并整理得（4k2+1）x2+8kx＝0，故，即，此時(shí)，直線方程為：【點(diǎn)睛】本題以斜率為載體，考查曲線方程的求解，關(guān)鍵是利用斜率公式，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了橢圓內(nèi)三角形面積的最值問(wèn)題．22．已知，分別是橢圓的左右頂點(diǎn).橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，離心率為.為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，且與坐標(biāo)軸不垂直的直線交橢圓于、兩個(gè)不同的點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)直線的斜率為正時(shí)，設(shè)直線、分別交軸于點(diǎn)，記，，求的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】(1)根據(jù)橢圓中之間的關(guān)系求解即可；(2)利用直線方程表示出的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出，利用韋達(dá)定理將表示為關(guān)于的表達(dá)式，結(jié)合直線與橢圓的位置關(guān)系確定的范圍，進(jìn)而可求解.【詳解】（1）由題可知解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)直線，，由得解得或（舍），且的直線方程為，的直線方程為，令解得，所以，同理，所以,由，可得所以即，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以.的取值范圍為. 

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