2023屆貴州省凱里市第一中學(xué)高三三模數(shù)學(xué)（文）試題 一、單選題1．已知集合下列關(guān)系正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求解.【詳解】因為，所以A、C錯誤，因為，所以，所以B錯誤，又，所以，所以D正確，故選:D．2．設(shè)復(fù)數(shù)，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得，再利用復(fù)數(shù)除法即可求得的代數(shù)形式.【詳解】，則，故選：C.3．已知，是橢圓的上、下頂點，為的一個焦點，若的面積為，則的長軸長為（    ）A．3 B．6 C．9 D．18【答案】B【分析】依題意可得且，即可求出，從而求出，即可得解.【詳解】由題可知，則，所以，所以，故的長軸長為．故選：B4．如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由等差數(shù)列前項和公式求出、，可解問題.【詳解】由題意可知，∴，，．故選：A 5．已知函數(shù)，函數(shù)的圖象大致是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，可排除AC，求導(dǎo)，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和極值點可排除D，即可得解.【詳解】，令得或，故函數(shù)有兩個零點0，2，故A、C錯誤；又因為，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，故D錯.故選：B．6．酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為．為了保障交通安全，根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定：100mL血液中酒精含量達(dá)到20~79mg的駕駛員即為酒后駕車，80mg及以上認(rèn)定為醉酒駕車．假設(shè)某駕駛員喝了一定量酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時20%的速度減少，那他至少經(jīng)過（    ）小時才能駕駛．（參考數(shù)據(jù)）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】由題意可得，由對數(shù)的運算性質(zhì)求解即可.【詳解】解析：設(shè)該駕駛員x小時后100mL血液中酒精含量為ymg，則，當(dāng)時，有，即，∴，故選：D．7．已知某封閉的直三棱柱各棱長均為2，若三棱柱內(nèi)有一個球，則該球表面積的最大值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件及三角形的面積公式，結(jié)合球的表面積公式即可求解【詳解】設(shè)底面三角形的內(nèi)切圓的半徑為r，則，解得，小于高的一半1，所以該球的最大半徑為，所以球表面積的最大值為.故選:A．8．已知函數(shù)在有且僅有兩個零點，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合整體思想即可得解.【詳解】因為，且在僅有兩個零點，，故，所以，解得.故選：C.9．正項等比數(shù)列的前n項積為，且滿足，，則下列判斷錯誤的是（    ）A． B．C．的最大值為 D．【答案】D【分析】先根據(jù)題干條件判斷出，然后結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)逐一分析每個選項.【詳解】由知：或，若，此時，但與矛盾，故，故，故A正確，根據(jù)等比中項可得，，B正確；由于，顯然C正確，，D錯誤．故選：D10．在△ABC中，已知，M為線段AB的中點，，若，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可得求得，而，，然后計算化簡可求得結(jié)果.【詳解】如圖，∵，，∵，，∴，故選：B．11．已知均為正數(shù)，且，甲、乙兩位同學(xué)作出如下判斷：甲說：中至少有一個數(shù)小于4；乙說：若，則a，b，c中至少有一個數(shù)不大于1則關(guān)于甲、乙兩位同學(xué)的判斷正確的是（    ）A．甲錯誤、乙錯誤 B．甲錯誤、乙正確C．甲正確、乙錯誤 D．甲正確、乙正確【答案】D【分析】對于甲同學(xué)的命題可以從反面考慮，對于乙同學(xué)的命題可以考慮其逆否命題是否正確.【詳解】對于甲同學(xué)的話，均為正數(shù)，假設(shè)都不小于4，則，與已知矛盾，即甲正確；對于乙同學(xué)的話，不妨考慮其逆否命題的正確性，假設(shè)均大于1，設(shè)，，，即，則，與已知矛盾，即乙正確．故選：D．12．已知，分別是雙曲線的左、右焦點，以為直徑的圓與C的漸近線的一個交點為P，點P異于坐標(biāo)原點O，若，則C的離心率的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求得到的距離為及，根據(jù)，結(jié)合題意轉(zhuǎn)化為的不等式，即可求解離心率的范圍.【詳解】由題意，雙曲線， 則其中一條漸近線方程為，即可得到漸近線的距離為，即，則，設(shè)，即，其中，因為，可得，整理得，所以，解得：，又因為，所以雙曲線的離心率的取值范圍是.故選：A． 二、填空題13．用3種不同的顏色給兩個區(qū)域涂色，每個區(qū)域只涂一種顏色，則兩個區(qū)域顏色相同的概率是__________.【答案】【分析】三種不同的顏色分別用表示，列出所有基本事件，確定事件兩個區(qū)域顏色相同所包含的基本事件，利用古典概型概率公式求其概率.【詳解】三種不同的顏色分別用表示，則給兩個區(qū)域涂色包含的基本事件有：，共9個基本事件，事件兩個區(qū)域顏色相同包含的基本事件有：，共3個基本事件，所以事件兩個區(qū)域顏色相同的概率.故答案為：.14．已知函數(shù)在處取得極值，則實數(shù)的值為__________.【答案】1【分析】根據(jù)極值的定義，由關(guān)系求，并對結(jié)果檢驗.【詳解】因為，所以，因為函數(shù)在處取得極值，所以，解得.由可得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以時，函數(shù)函數(shù)在處取得極值，故答案為：.15．正數(shù)滿足，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍__________.【答案】【分析】由不等式恒成立可得，利用基本不等式求的最小值，由此可求的取值范圍.【詳解】因為不等式恒成立，所以，由，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，解得.所以的取值范圍為.故答案為：.16．如圖，已知正方體的棱長為2，點是內(nèi)（包括邊界）的動點，則下列結(jié)論中正確的序號是_____.（填所有正確結(jié)論的序號）①若，則平面；②若，則直線與所成角的余弦值為；③若，則的最大值為；④若平面與正方體各個面都相交，且，則截面多邊形的周長一定為.【答案】①②④.【分析】利用面面平行性質(zhì)定理即可證得選項A判斷正確；求得直線與所成角的余弦值判斷選項B；求得的最大值判斷選項C；求得截面多邊形的周長判斷選項D.【詳解】對于①，由知，點在線段上，連接，則，又平面，平面，則平面，平面，又，平面，則平面平面， 因為平面，所以平面，故①正確；對于②，由，易知點是中點，因為，則為異面直線直線與所成角，且，，在中，由余弦定理知，故②正確；對于③，若，則，因為的最大值為.判斷錯誤；對于④，易知平面，又因為，所以平面平面，即所求截面與平面平行.因為平面平面，平面平面，所以，同理可證，設(shè)，其中，則，因為，所以，因為，所以，同理，可得，故截面多面形的周長為；故④正確；故答案為：①②④. 三、解答題17．某機構(gòu)為調(diào)查研究A湖泊水域覆蓋面積x（單位：萬平方米）和魚群數(shù)量y（單位：千尾）的關(guān)系，用簡單隨機抽樣的方法抽取該湖泊10個區(qū)域進行調(diào)查，得到樣本數(shù)據(jù)分別為（，2，…，10），經(jīng)計算得：，，，．(1)經(jīng)研究，y與x具有較強的線性相關(guān)性，請計算y關(guān)于x的回歸直線方程；(2)隨著退田還湖政策的實施，A湖泊又增加了10萬平方米，在保持A湖泊生態(tài)平衡的前提下，為增加經(jīng)濟效益，試估計該湖泊的管理者最多還能投放的魚苗數(shù)量是多少？參考公式：其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，．【答案】(1)(2)198.4千尾 【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合最小二乘法和線性回歸方程的公式即可求解；（2）根據(jù)（1）中的回歸方程知求解即可.【詳解】（1）所以則y關(guān)于x的回歸方程為；（2）在保持該湖泊現(xiàn)有生態(tài)平衡不變的情況下，當(dāng)A湖泊的水域覆蓋面積又增加了10萬平方米時，即增加的，所以增加的，所以最多還能投放的魚苗數(shù)量198.4千尾．18．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求A的大??；(2)設(shè)點D為BC上一點，AD是△ABC的角平分線，且，，求△ABC的面積．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理將已知等式統(tǒng)一成邊的形式，化簡后再利用余弦定理可求得結(jié)果；（2）由AD是△ABC的角平分線，可得，從而可求出，進而可求出三角形的面積.【詳解】（1）因為所以根據(jù)正弦定理得：即由余弦定理得：故又所以．（2）因為AD是△ABC的角平分線，由，得：，所以故．19．如圖1所示，在邊長為3的正方形ABCD中，將△ADC沿AC折到△APC的位置，使得平面平面ABC，得到圖2所示的三棱錐.點E，F，G分別在PA，PB，PC上，且，，.記平面EFG與平面ABC的交線為l.(1)在圖2中畫出交線l，保留作圖痕跡，并寫出畫法.(2)求點到平面的距離.【答案】(1)作圖見解析(2) 【分析】（1）利用平面的基本性質(zhì)作圖找到兩個平面的交線；（2）由面面、線面垂直的性質(zhì)證，進而得到，即有，最后根據(jù)已知和等體積法求到平面的距離.【詳解】（1）作圖步驟：延長EF、AB交于M，延長AC、EG交于N，連接MN，則直線MN即為交線l. 如下圖示：（2）記為的中點，則，由面面ABC，面面ABC，面，所以面ABC，面ABC，故，由ABCD為正方形，故，易知，所以，而，在△中，則.在中，則，故，，又，令到面距離為，所以，則，故點到平面的距離為.20．已知直線與拋物線C：交于A，B兩點，分別過A，B兩點作C的切線，兩條切線的交點為.(1)證明點D在一條定直線上；(2)過點D作y軸的平行線交C于點E，線段的中點為，①證明：為的中點；②求面積的最小值.【答案】(1)證明見解析(2)①證明見解析；② 【分析】（1）求導(dǎo)得到，確定切線方程，化簡得到A，B兩點兩點都在直線上，對比得到，，得到答案.（2）聯(lián)立方程得到根與系數(shù)的關(guān)系，計算得到的橫坐標(biāo)均為，縱坐標(biāo)滿足，得到證明，計算，點到直線的距離為，計算面積得到答案.【詳解】（1）設(shè)，，，由得，C在點A處的切線方程為，將代入上式得，故，同理，A，B兩點兩點都在直線上，所以直線與直線是同一直線，故，，即點D在定直線上.（2）①，即為，為，將與聯(lián)立得，，故，線段的中點為，故三點共線，，，故為的中點.②，，點到直線的距離為：，（當(dāng)時取等），面積的最小值為.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了拋物線中的定直線問題，面積的最值問題，意在考查學(xué)生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中，利用設(shè)而不求的思想，根據(jù)韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，可以簡化運算，是解題的關(guān)鍵，此方法需要熟練掌握.21．已知函數(shù).(1)證明：；(2)證明：.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析 【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值為0，進而證得成立；（2）先利用（1）證得，再利用裂項相消法求和即可證明原不等式成立.【詳解】（1），令，解得，當(dāng)時，解得；當(dāng)，解得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以在取得最小值，，恒成立，即恒成立.（2）由（1）知，在上單調(diào)遞增，且所以在恒成立，即在恒成立.所以在恒成立.則當(dāng)時，恒成立,令，則，所以.所以，即.所以，故得證.22．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．(1)求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)已知直線l與x軸的交點為P，l與C交于A，B兩點，求的值．【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），利用平方關(guān)系消去即可；由l的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為，再將，代入求解；（2）由點P的坐標(biāo)為，可設(shè)直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），代入C的普通方程，利用直線參數(shù)的幾何意義求解.【詳解】（1）解：由題得，C：，故C的普通方程為．l的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為，即將，代入l的直角坐標(biāo)方程為．（2）可知點P的坐標(biāo)為，故可設(shè)直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）,代入C的普通方程得：，整理得，，設(shè)點A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，，故．23．已知函數(shù)．(1)若，解不等式；(2)若，求a的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）分，和三種情況討論求解即可；（2）利用絕對值三角不等式求出的最小值，然后將問題轉(zhuǎn)化為，再解不等式可求得結(jié)果.【詳解】（1）若，可知，當(dāng)時，不等式轉(zhuǎn)化為，解得，當(dāng)時，不等式轉(zhuǎn)化為，不等式恒成立，當(dāng)時，不等式轉(zhuǎn)化為，解得，綜上，不等式的解集為；（2）若，則，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故，即或，解得或，則a的取值范圍為． 

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