2023屆黑龍江省哈爾濱市第三中學校高三第二次高考模擬數(shù)學試題 一、單選題1．若集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求函數(shù)定義域、解一元二次方程求集合，由集合交運算求.【詳解】由題設(shè)，，或，所以.故選：A2．若復數(shù)，則（    ）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】由復數(shù)除法幾何意義求復數(shù)的模.【詳解】由.故選：B3．已知，且，則向量在向量上的投影向量為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)投影向量的定義求向量在向量上的投影向量即可.【詳解】向量在向量上的投影向量為.故選：C4．已知命題，命題，則命題p是命題q的（    ）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】利用同角三角函數(shù)關(guān)系、倍半角公式，結(jié)合充分必要性定義判斷命題間的推出關(guān)系，即可得答案.【詳解】由知：，而，可得，所以，充分性成立；由，則，所以，必要性不成立.故選：B5．在的展開式中，常數(shù)項為（    ）A．-112 B．112 C．-1120 D．1120【答案】B【分析】求出的通項公式，令 ，求得 , 即可得展開式的常數(shù)項.【詳解】二項式 的展開式的通項公式為 令 , 求得 , 可得展開式的常數(shù)項為 .故選: B.6．圭表，是度量日影長度的一種天文儀器，由“圭”和“表”兩個部件組成.圭表和日晷一樣，也是利用日影進行測量的古代天文儀器.所謂高表測影法，通俗的說，就是垂直于地面立一根桿，通過觀察記錄它正午時影子的長短變化來確定季節(jié)的變化.垂直于地面的直桿叫“表”，水平放置于地面上刻有刻度以測量影長的標尺叫“圭”，如圖1，利用正午時太陽照在表上，表在圭上的影長來確定節(jié)令．已知某地夏至和冬至正午時，太陽光線與地面所成角分別約為，，如圖2，若影長之差尺，則表高AB為（    ）尺．A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題設(shè)定義及，將公式轉(zhuǎn)化變形即可得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，則.故選：C7．設(shè)是定義在R上的可導函數(shù)，的導函數(shù)為，且在R上恒成立，則下列說法中正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題設(shè)有，構(gòu)造研究單調(diào)性得，即可得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，構(gòu)造，則，所以在R上單調(diào)遞增，則，即，所以，即.故選：D8．已知正三棱錐的底面邊長為3，側(cè)棱長為，點P為此三棱錐各頂點所在球面上的一點，則點P到平面SAB的距離的最大值為（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】畫圖分析，構(gòu)造三角形求出相應的量，利用正弦定理和余弦定理求相應的量，分析點P到平面SAB的距離的最大值即可.【詳解】如圖1，設(shè)正三棱錐的底面外接圓的圓心為，外接球的球心為，為的中點，的外接圓的圓心為，所以在正三棱錐中有：平面，平面，因為為等邊三角形，所以為的重心，且邊長為3，所以，因為平面，平面，所以，所以在中，，設(shè)，所以在中，，所以，在中，，所以，由正弦定理得：，又平面，平面，所以，所以在中，，由圖2：當共線時，點P到平面SAB的距離有最大值為：，故選：B. 二、多選題9．點在函數(shù)的圖象上，當，則可能等于（    ）A．-1 B． C． D．0【答案】BC【分析】根據(jù)目標式的幾何意義為在部分圖象上的動點與點所成直線的斜率，即可求范圍.【詳解】由表示與點所成直線的斜率，又是在部分圖象上的動點，圖象如下：如上圖，，則，只有B、C滿足.故選：BC10．已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．B．滿足的的取值范圍為（）C．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到的圖象的一條對稱軸D．函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱【答案】ABD【分析】根據(jù)圖象求出的解析式，然后運用三角函數(shù)的知識逐一判斷即可.【詳解】由圖可得，，所以，因為，所以，所以，因為，所以，故A正確；由可得，所以，解得，，故B正確；將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到的是函數(shù)的圖象，直線不是其對稱軸，故C錯誤；因為，所以函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，故D正確；故選：ABD11．已知正方體的棱長為2，棱AB的中點為M，點N在正方體的內(nèi)部及其表面運動，使得平面，則（    ）A．三棱錐的體積為定值B．當最大時，MN與BC所成的角為C．正方體的每個面與點N的軌跡所在平面所成角都相等D．若，則點N的軌跡長度為【答案】ACD【分析】首先利用平面的基本性質(zhì)確定點所在平面，且面面，構(gòu)建空間直角坐標系，求面的一個法向量，應用向量法求到面的距離，進而求三棱錐的體積判斷A；找到最大時MN與BC所成角的平面角即可判斷B；判斷，，與的夾角余弦值的絕對值是否相等即可判斷C；N的軌跡是以為球心的球體被面所截的圓，進而求周長判斷D.【詳解】過中點作與交，作與交，重復上述步驟，依次作的平行線與分別交于（注意各交點均為各棱上的中點），最后依次連接各交點，得到如下圖示的正六邊形，因為，面，面，所以面，同理可得面，因為，面，所以面面，所以面中直線都平行于面，又面，且平面，所以面，即面，根據(jù)正方體性質(zhì)，可構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標系，則，，，，且，，，，，，A：由上分析知：面任意一點到面的距離，即為到面的距離，而，，若為面的一個法向量，所以，令，則，而，所以到面的距離，即到面的距離為，又△為等邊三角形，則，所以三棱錐的體積為定值，正確；B：由圖知：當與重合時最大為，且，所以MN與BC所成的角，即為，錯誤；C：由正方體性質(zhì)，只需判斷各側(cè)面的法向量，，與的夾角余弦值的絕對值是否相等即可，又，同理可得，所以正方體的每個面與點N的軌跡所在平面所成角都相等，正確；D：若，則點N的軌跡是以為球心的球體被面所截的圓，因為面面，故也是面的法向量，而，所以到面的距離為，故軌跡圓的半徑，故點N的軌跡長度為，正確.故選：ACD12．已知橢圓的左、右焦點分別為、，點在橢圓內(nèi)部，點N在橢圓上，橢圓C的離心率為e，則以下說法正確的是（    ）A．離心率e的取值范圍為B．存在點N，使得C．當時，的最大值為D．的最小值為1【答案】AC【分析】根據(jù)點與橢圓的位置關(guān)系得，即可求出離心率的范圍判斷A項；易知必為橢圓的右頂點判斷B項；根據(jù)橢圓的定義得，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系結(jié)合圖象判斷C項；根據(jù)橢圓的定義結(jié)合“1”的代換，根據(jù)基本不等式即可求解，判斷D項.【詳解】A：由已知可得，，所以，即，則，故，正確；B：由知，共線，故必為橢圓的右頂點，而，即，則，所以，不合A分析結(jié)果，錯誤；C：由已知且，所以，.又，則.根據(jù)橢圓的定義可得，所以，如上圖示，當且僅當三點共線時取得等號，正確；D：因為.所以，當且僅當，即時等號成立.所以，的最小值為，錯誤.故選：AC 三、填空題13．已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為x軸，且過點，則此拋物線的標準方程為______．【答案】【分析】根據(jù)拋物線的對稱軸設(shè)出拋物線方程為，再將點代入求解即可．【詳解】因為拋物線的頂點在原點，對稱軸為x軸，且過點，所以設(shè)拋物線方程為，將點代入可得，所以此拋物線的標準方程為．故答案為：．14．在某次考試中，學生的數(shù)學成績服從正態(tài)分布．已知參加本次考試的學生有1000人，則本次考試數(shù)學成績在70分至110分之間的學生大約有______人．（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】840【分析】利用正態(tài)分布的對稱性及三段區(qū)間的概率求，進而估計區(qū)間人數(shù).【詳解】由題設(shè)，所以，所以考試數(shù)學成績在70分至110分之間的學生大約有人.故答案為：15．定義：設(shè)X，Y是離散型隨機變量，則X在給定事件條件下的期望為，其中為X的所有可能取值集合，表示事件“”與事件“”都發(fā)生的概率．某日小張擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，若擲出1點向上兩次時即停止．設(shè)A表示第一次擲出1點向上時的投擲次數(shù)，B表示第二次擲出1點向上時的投擲次數(shù)，則______．【答案】2【分析】由可得共有三種情況，然后根據(jù)所給的期望公式進行計算即可【詳解】由可得或或，由題意可得故答案為：216．有1000張從1開始依次編號的多米諾骨牌，從小到大排成一行，每次從中去掉處在奇數(shù)位置的牌，則最后剩下的一張牌是______號．【答案】512【分析】根據(jù)題設(shè)，依次寫出每次去掉奇數(shù)位后的余項，即可得結(jié)果.【詳解】第一次：余下編號，編號為，共500項；第二次：余下編號，編號為，共250項；第三次：余下編號，編號為，共125項；第四次：余下編號，編號為，共62項；第五次：余下編號，編號為，共31項；第六次：余下編號，編號為，共15項；第七次：余下編號，編號為，共7項；第八次：余下編號，編號為，共3項；第九次：余下編號，編號為，共1項；綜上，最后剩下.故答案為： 四、解答題17．已知的內(nèi)角的對邊分別是，且.（1）求；（2）若，求的面積.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)正弦定理，結(jié)合兩角和的正弦公式，特殊角的三角函數(shù)值進行求解即可；（2）根據(jù)余弦定理，結(jié)合三角形面積公式進行求解即可.【詳解】（1）根據(jù)正弦定理，，因為，所以，因此有，因為，所以；（2）由余弦定理可知：，解得，（舍去），因此的面積為.18．已知數(shù)列滿足：，，設(shè)，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）由題設(shè)可得，應用等比數(shù)列定義寫出通項公式即可；（2）由（1）得，應用錯位相減法求，即可證結(jié)論.【詳解】（1）由可得：，又，所以，即是首項、公比均為3的等比數(shù)列，故.（2）由（1）知：，則，所以，所以，且，故.19．已知雙曲線的右焦點F，過點F的直線l交雙曲線C于A，B兩點，當直線l垂直于x軸時，．(1)求此雙曲線的離心率；(2)若點F到此雙曲線一條漸近線的距離為1，且以AB為直徑的圓被x軸截得弦長為，求直線l方程．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由題設(shè)可得，結(jié)合雙曲線參數(shù)關(guān)系即可求離心率；（2）由焦點到漸近線距離可得，結(jié)合（1）得，設(shè)，，聯(lián)立雙曲線并應用韋達定理求中點（圓心）縱坐標、半徑，根據(jù)弦長的幾何求法列方程求k，即可得直線l方程．【詳解】（1）由直線過右焦點，故直線l垂直于x軸時，將代入雙曲線得，則，即，所以，即，則.（2）雙曲線漸近線為，則，又，可得，所以，故雙曲線為，由（1）知：當直線l垂直于x軸時，以AB為直徑的圓被x軸截得弦長為，不合題設(shè)，故可設(shè)，，聯(lián)立雙曲線得，則，所以，則，故中點（圓心）縱坐標，即以AB為直徑的圓的圓心縱坐標為，又該圓的半徑，由題設(shè)知：，整理得：，所以，故，即.20．中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會上的報告中提到，新時代十年我國經(jīng)濟實力實現(xiàn)歷史性躍升，國內(nèi)生產(chǎn)總值從54萬億元增長到114萬億元，我國經(jīng)濟總量穩(wěn)居世界第二位.建立年份編號為解釋變量，地區(qū)生產(chǎn)總值為響應變量的一元線性回歸模型，現(xiàn)就2012-2016某市的地區(qū)生產(chǎn)總值統(tǒng)計如下：年份20122013201420152016年份編號12345地區(qū)生產(chǎn)總值（億元）2.83.13.94.65.6 (1)求出回歸方程，并計算2016年地區(qū)生產(chǎn)總值的殘差；(2)隨著我國打贏了人類歷史上規(guī)模最大的脫貧攻堅戰(zhàn)，該市2017-2022的地區(qū)生產(chǎn)總值持續(xù)增長，現(xiàn)對這11年的數(shù)據(jù)有三種經(jīng)驗回歸模型、、，它們的分別為0.976、0.880和0.985，請根據(jù)的數(shù)值選擇最好的回歸模型預測一下2023年該市的地區(qū)生產(chǎn)總值；(3)若2012-2022該市的人口數(shù)（單位：百萬）與年份編號的回歸模型為，結(jié)合（2）問中的最佳模型，預測一下在2023年以后，該市人均地區(qū)生產(chǎn)總值的變化趨勢．參考公式：，；【答案】(1)，殘差為(2)選用更好，17.773億元(3)逐年遞增 【分析】（1）應用最小二乘法求回歸直線方程即可；（2）由相關(guān)指數(shù)的大小，結(jié)合其的實際意義確定較好模型，進而估計2023年該市的地區(qū)生產(chǎn)總值；（3）由題設(shè)可得該市人均地區(qū)生產(chǎn)總值，利用單調(diào)性定義判斷其在上的單調(diào)性即可.【詳解】（1）由數(shù)據(jù)，，，而，，所以，則，綜上，回歸方程為，當時，，故2016年地區(qū)生產(chǎn)總值殘差為.（2）根據(jù)相關(guān)指數(shù)越大擬合越好，由于，故模型較好，因2023年對應，則億元.（3）由（2）及題設(shè)知：該市人均地區(qū)生產(chǎn)總值，令，且，若，所以，而且，則，故，所以在上遞增，則在上遞增，所以該市人均地區(qū)生產(chǎn)總值逐年遞增.21．如圖，三棱柱中，，，側(cè)面為菱形(1)求證：平面平面；(2)若，，求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直、面面垂直的判定定理進行證明即可；（2）根據(jù)面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可.【詳解】（1）由，，故，且，所以，又，又，平面，所以平面，而平面，則.因為四邊形是菱形，所以，由，平面，于是平面.又平面，因此平面平面；（2）因為，四邊形是菱形，所以是正三角形.取BC的中點O，連接，則，由（1）知：平面，平面，所以平面平面ABC.又平面平面，平面，所以平面ABC.以O為坐標原點，OC，所在直線分別為y，z軸，在面ABC內(nèi)過O且與AB平行的直線為x軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，. 易知平面的一個法向量， 設(shè)平面的法向量為，則，令，則.設(shè)二面角的大小為，則，而，所以，二面角正弦值為.22．我國南北朝時期的數(shù)學家祖沖之（公元429年-500年）計算出圓周率的精確度記錄在世界保持了千年之久，德國數(shù)學家魯?shù)婪颍ü?/span>1540年-1610年）用一生精力計算出了圓周率的35位小數(shù)，隨著科技的進步，一些常數(shù)的精確度不斷被刷新．例如：我們很容易能利用計算器得出函數(shù)的零點的近似值，為了實際應用，本題中取的值為-0.57．哈三中畢業(yè)生創(chuàng)辦的倉儲型物流公司建造了占地面積足夠大的倉庫，內(nèi)部建造了一條智能運貨總干線，其在已經(jīng)建立的直角坐標系中的函數(shù)解析式為，其在處的切線為，現(xiàn)計劃再建一條總干線，其中m為待定的常數(shù)．注明：本題中計算的最終結(jié)果均用數(shù)字表示．(1)求出的直線方程，并且證明：在直角坐標系中，智能運貨總干線上的點不在直線的上方；(2)在直角坐標系中，設(shè)直線，計劃將倉庫中直線與之間的部分設(shè)為隔離區(qū)，兩條運貨總干線、分別在各自的區(qū)域內(nèi)，即曲線上的點不能越過直線，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)，證明見解析.(2) 【分析】（1）求得，得到且，結(jié)合導數(shù)的幾何意義，求得的直線方程，令，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最大值，得到，即可得到結(jié)論；（2）令，求得，得到函數(shù)的單調(diào)性和最小值，令，化簡得到，結(jié)合和，即可求解.【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得，則且，所以的方程為，即因為函數(shù)的零點的近似值，即，所以，可得又因為，所以的直線方程為令其中，則，令，解得，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取得極大值，也為最大值，即，所以在直角坐標系中，智能運貨總干線上的點不在直線的上方.（2）解：由曲線且，令，要使得兩條運貨總干線、分別在各自的區(qū)域內(nèi)，則滿足恒成立，又由，令，可得，即，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，當時，函數(shù)取得最小值，最小值為，令，即，即，即，因為，可得，又因為函數(shù)的零點的近似值，即，所以，則，又由，所以，所以實數(shù)的取值范圍是.【點睛】方法點睛：應用函數(shù)知識求解實際應用問題的方法：1、正確地將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型，這是解答應用問題的關(guān)鍵，轉(zhuǎn)化來源于對已知條件的綜合分析、歸納與抽象，并與熟知的函數(shù)模型相比較，以確定函數(shù)模型的種類．2、用相關(guān)的函數(shù)知識，進行合理設(shè)計，確定最佳解題方案，進行數(shù)學上的計算求解．3、把計算獲得的結(jié)果回到實際問題中去解釋實際問題，即對實際問題進行總結(jié)作答． 

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