?2023屆湖南省永州市高三三模數(shù)學(xué)試題

一、單選題
1．若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則復(fù)數(shù)的虛部為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設(shè)，利用共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的加法以及復(fù)數(shù)相等可求得的方程，解出的值，即可得解.
【詳解】設(shè)，則，
因?yàn)?，則，所以，，解得，
因此，復(fù)數(shù)的虛部為.
故選：B.
2．設(shè)集合，，則的元素個(gè)數(shù)是（????）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】明確集合交集的含義，利用解方程組即可確定答案.
【詳解】由于，為點(diǎn)集，
故求的元素個(gè)數(shù)即為求的解的個(gè)數(shù)，
解方程，可得或或，
故的元素個(gè)數(shù)是3個(gè)，
故選：C
3．已知，，則（????）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【分析】根據(jù)余弦的倍角公式，求得，進(jìn)而求得的值.
【詳解】因?yàn)?，可得?br /> 因?yàn)?，可得，所?
故選：B.
4．窗花是貼在窗紙或窗戶(hù)玻璃上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù).圖1是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成的正六邊形剪紙窗花，如圖2所示其外框是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF，內(nèi)部圓的圓心為該正六邊形的中心О，圓О的半徑為1，點(diǎn)P在圓О上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（????）

A．-1 B．-2 C．1 D．2
【答案】D
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，利用平面向量的數(shù)量積和三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，的垂直平分線所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，

由題意知，，，則，，
所以，當(dāng)，即時(shí)取最小值，
故選：D.
5．在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，把所有的項(xiàng)進(jìn)行排列，有理項(xiàng)都互不相鄰，則不同的排列方案為（????）
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】A
【分析】先寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，找出有理項(xiàng)和無(wú)理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，再利用排列組合中的插空法求解即可.
【詳解】解：因?yàn)槎?xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為，
又因?yàn)椋?br /> 所以當(dāng)或時(shí)，為有理項(xiàng)，
所以有理項(xiàng)共有2項(xiàng)，其余5項(xiàng)為無(wú)理項(xiàng)，
先排5項(xiàng)為無(wú)理項(xiàng)，共有種排法，再排2項(xiàng)有理項(xiàng)，共有種排法，
所以有理項(xiàng)互不相鄰的排法總數(shù)為：種.
故選：A.
6．若函數(shù)和在區(qū)間上的單調(diào)性相同，則把區(qū)間叫做的“穩(wěn)定區(qū)間”.已知區(qū)間為函數(shù)的“穩(wěn)定區(qū)間”，則實(shí)數(shù)的可能取值是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求函數(shù)，根據(jù)兩個(gè)函數(shù)同為增函數(shù)或同為減函數(shù)，確定絕對(duì)值里面的正負(fù)，根據(jù)恒成立求的取值范圍.
【詳解】因?yàn)?，則，
由題意得與在區(qū)間上同增或同減.
若兩函數(shù)同增，則在區(qū)間上恒成立，即，所以.
若兩函數(shù)同減，則在區(qū)間上恒成立，即，無(wú)解，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是，對(duì)照選項(xiàng)中的a值，所以只有B選項(xiàng)符合題意.
故選：B.
7．已知正項(xiàng)數(shù)列滿(mǎn)足，，其前200項(xiàng)和為，則（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由，可得，由條件得，
證明為遞減數(shù)列，可由累乘法得，根據(jù)等比數(shù)列求和公式可得解.
【詳解】令，則可得，故，
將兩邊倒數(shù)得，
則，
由正項(xiàng)數(shù)列，所以，
可知為遞減數(shù)列.????
所以.
可得，
所以，
所以，
所以，
根據(jù)等比數(shù)列求和公式得，
綜上，.
故選：C
8．已知函數(shù)，對(duì)于定義域內(nèi)的任意恒有，則的最大值為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化為恒成立，，原不等式等價(jià)于：，進(jìn)而得到當(dāng)且僅當(dāng)直線與曲線相切時(shí)取得最值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)而求解,.
【詳解】不等式可化為，
因?yàn)?，將不等式兩邊同時(shí)除以得，
令，原不等式等價(jià)于：，
設(shè)，，對(duì)求導(dǎo)可得，
則函數(shù)單調(diào)遞減且下凸，要使恒成立，
則直線與曲線相切時(shí)取最值，如圖，

當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，
則，且，整理可得，，
解得：，此時(shí)，
故選：A.
【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題．注意分類(lèi)討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理．

二、多選題
9．已知，下列命題為真命題的是（????）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】BD
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)結(jié)合作差法逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，，因?yàn)?，所以，所以?br /> 所以，即：，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B項(xiàng)，，因?yàn)?，所以，，所以，即：，故B項(xiàng)正確；
對(duì)于C項(xiàng)，，因?yàn)?，所以，，?br /> 所以，即：，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)椋?br /> 又因?yàn)?，所以，?br /> 所以，即：，故D項(xiàng)正確.
故選：BD
10．已知四面體ABCD的所有棱長(zhǎng)均為，M，N分別為棱AD，BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱AB上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G為線段MN上的動(dòng)點(diǎn)，則（????）
A．線段MN的長(zhǎng)度為1 B．周長(zhǎng)的最小值為
C．的余弦值的取值范圍為 D．直線FG與直線CD互為異面直線
【答案】AB
【分析】將四面體ABCD放置在正方體中，求出正方體得棱長(zhǎng)即可判斷A；取特殊位置，例如為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，結(jié)合正方體得結(jié)構(gòu)特征即可判斷D；將等邊和等邊沿展開(kāi)成平面圖形，即可判斷B；以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可判斷C.
【詳解】因?yàn)樗拿骟wABCD的所有棱長(zhǎng)均為，
所以四面體ABCD為正四面體，
將四面體ABCD放置在正方體中，則正方體的棱長(zhǎng)為，
由，M，N分別為棱AD，BC的中點(diǎn)，得是正方體兩個(gè)對(duì)面的中心，
則，故A正確；
對(duì)于D，當(dāng)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)為的中點(diǎn)，
由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知三點(diǎn)共線，
此時(shí)直線與直線交于點(diǎn)，故D錯(cuò)誤；

對(duì)于B，將等邊和等邊沿展開(kāi)成平面圖形，如圖所示，
則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，
此時(shí)，
所以的最小值為，即周長(zhǎng)的最小值為，故B正確；

對(duì)于C，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
則，設(shè)，
則，
則
，
令，則，
則


，
當(dāng)，即時(shí)，，
當(dāng)，即時(shí)，
，
由，得，
則，
所以，所以，
綜上所述，即，故C錯(cuò)誤.

故選：AB.
11．已知拋物線：的焦點(diǎn)為F，直線與C交于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，MN垂直準(zhǔn)線于N，則下列結(jié)論正確的是（????）
A．若，則直線的傾斜角為
B．點(diǎn)M到準(zhǔn)線距離為
C．若直線經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F且，則
D．若以AB為直徑的圓M經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F，則的最小值為
【答案】ACD
【分析】通過(guò)向量關(guān)系得出直線的斜率，繼而得出傾斜角；利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化；使用拋物線的性質(zhì)解題
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)椋?br /> 所以三點(diǎn)共線，即直線經(jīng)過(guò)拋物線焦點(diǎn).
當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，此時(shí)，直線l與C只有1個(gè)交點(diǎn)，不合題意，
故設(shè)直線，與聯(lián)立得：，
故，因?yàn)?，所以?br /> 因?yàn)辄c(diǎn)A在第一象限，所以，故，
即，，
解得：故直線的斜率為，設(shè)直線l的傾斜角為，
則，解得：，A正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)直線不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)時(shí)，設(shè)，，
由三角形三邊關(guān)系可知：，
由拋物線定義可知：，
即，B不正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，由題意得：，準(zhǔn)線方程為，
當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，此時(shí)，直線l與C只有1個(gè)交點(diǎn)，不合題意，
故設(shè)直線，與聯(lián)立得：，
故，
則，所以，
解得：，C正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)，
過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線于點(diǎn)P，

因?yàn)橐訟B為直徑的圓M經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F，所以，
則，由拋物線定義可知：
，
由基本不等式得：，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故，即，D正確；
故答案選：ACD
12．若，時(shí)，函數(shù)（是實(shí)常數(shù)）有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)，記為，且，則（????）
A．的最小正周期是
B．的對(duì)稱(chēng)軸方程為
C．
D．對(duì)任意的，使得
【答案】BC
【分析】先將函數(shù)整理化簡(jiǎn)得到，然后利用三角函數(shù)的周期判斷選項(xiàng)A，利用余弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸判斷選項(xiàng)B，利用數(shù)形結(jié)合判斷選項(xiàng)C和D.
【詳解】由題設(shè)，
所以，
故，
對(duì)于選項(xiàng)A，由的最小正周期為，知的最小正周期為，
同理的最小正周期為，則的最小正周期為，故A不正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，對(duì)于，令，則對(duì)稱(chēng)軸方程為且，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，由可轉(zhuǎn)化為與交點(diǎn)橫坐標(biāo)，而上圖象如下：

函數(shù)有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)，由圖知：，此時(shí)共有9個(gè)零點(diǎn)，
、、、、
、、、、
，，，
，故選項(xiàng)C正確.
對(duì)于選項(xiàng)D，對(duì)任意有，
，且滿(mǎn)足
且，
而的圖象如下：

所以，
，
即，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
故選：BC.
【點(diǎn)睛】函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：
(1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．
(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．
(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫(huà)兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．

三、填空題
13．已知等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，，則________.
【答案】4或16
【分析】根據(jù)條件，列出關(guān)于首項(xiàng)和公比的方程組，即可求解.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，由題意可知，
，解得：或，
所以或
故答案為：4或16
14．現(xiàn)有四家工廠生產(chǎn)同一產(chǎn)品，已知它們生產(chǎn)該產(chǎn)品的日產(chǎn)量分別占日產(chǎn)量總和的15%，20%，30%和35%，且產(chǎn)品的不合格率分別為0.05，0.04，0.03和0.02，現(xiàn)從四家工廠一天生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中任取一件，則抽到不合格品的概率是________.
【答案】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合互斥事件和獨(dú)立事件的概率公式，即可求解.
【詳解】因?yàn)樯a(chǎn)該產(chǎn)品的日產(chǎn)量分別占日產(chǎn)量總和的15%，20%，30%和35%，
且產(chǎn)品的不合格率分別為0.05，0.04，0.03和0.02，
所以抽到不合格品的概率為：.
故答案為：.
15．已知雙曲線：，圓：與x軸交于兩點(diǎn)，是圓О與雙曲線在x軸上方的兩個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)在y軸的同側(cè)，且交于點(diǎn)C.若，則雙曲線的離心率為_(kāi)________.
【答案】/
【分析】根據(jù)向量等式推出M點(diǎn)為的中點(diǎn)，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱(chēng)性可知N為的中點(diǎn)，結(jié)合可求出，利用雙曲線定義即可求得答案.
【詳解】由題意可知，故不妨設(shè)，即為雙曲線的焦點(diǎn)，，

因?yàn)榭傻?br /> ，即，
故M點(diǎn)為的中點(diǎn)，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱(chēng)性可知N為的中點(diǎn)，
又因?yàn)?，故，同理?br /> 即為正三角形，
故，
由點(diǎn)M在雙曲線左支上，故，
則，
故答案為：
16．在棱長(zhǎng)為的正方體中，動(dòng)點(diǎn)在平面上運(yùn)動(dòng)，且，三棱錐外接球球面上任意一點(diǎn)到點(diǎn)到的距離記為，當(dāng)平面與平面夾角的正切值為時(shí)，則的最大值為_(kāi)________.
【答案】
【分析】因?yàn)槭嵌ㄖ?，在平面?nèi)，所以點(diǎn)軌跡是平面內(nèi)的圓，又平面與平面夾角的正切值為，所以點(diǎn)的位置是確定的，則球心到點(diǎn)的距離加球的半徑就是最大值.
【詳解】設(shè)，連接，，且，
在正方體中，，，
平面，且平面，所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以?br /> 同理，，
所以平面，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，
則可知為棱長(zhǎng)為的正四面體，
所以為等邊三角形的中心，
由題可得，得，
因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?br /> 所以，
因?yàn)槠矫?，即平面，且?br /> 又與平面所成角的正弦為，所以與平面所成角為，
則，
可求得，即在以為圓心，半徑的圓上，且圓在平面內(nèi)，
由平面，又平面，所以平面平面，且兩個(gè)平面的交線為，把兩個(gè)平面抽象出來(lái)，如圖：
??
作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，平面平面?br /> 所以平面，平面，所以，
又，與為平面中兩相交直線，
故平面，平面，
所以，所以為二面角的平面角，即為角，
設(shè)，當(dāng)與點(diǎn)不重合時(shí)，在中，可得
，
若與點(diǎn)重合時(shí)，即當(dāng)時(shí)，可求得，也符合上式，
故，因?yàn)?，?br /> 所以，所以，所以，
所以
解得，，
再取的中點(diǎn)，
因?yàn)槿忮F外接球即是正方體外接球，則點(diǎn)為外接球球心，
連接，在中，，，所以，
所以的最大值為.
故答案為：

四、解答題
17．記正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)積為，且.
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)

【分析】（1）根據(jù)題意得到，由，化簡(jiǎn)得到，求得，結(jié)合等差數(shù)列的定義，即可求解；
（2）由（1）可得，得到，結(jié)合裂項(xiàng)法，即可求解.
【詳解】（1）證明：由題意得，當(dāng)時(shí)，可得，可得，
因?yàn)?，所以，即?br /> 即，
當(dāng)時(shí)，可得，所以，解得，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．
（2）解：由（1）可得，
所以，
所以
.
18．在中，的對(duì)邊分別為 且.
(1)求C的值；
(2)若邊上的點(diǎn)M滿(mǎn)足，，，求的周長(zhǎng).
【答案】(1)
(2)答案見(jiàn)解析

【分析】（1）由正弦定理邊化角結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)可得答案；
（2）由余弦定理可得，再利用向量的線性運(yùn)算可得結(jié)合可得，兩式聯(lián)立可得的值，即可求得答案.
【詳解】（1）由正弦定理得：,
在三角形中,
故，
即，
因?yàn)?，所以?br /> 即，
而，，，；
（2）因?yàn)?，，?br /> 由余弦定理得
則①，
又，
由于，
故，
則②，
①×7=②即，即，
亦即，則或，
當(dāng)時(shí)，代入①得，，
周長(zhǎng)；
當(dāng)時(shí)，代入①得，，
周長(zhǎng).
19．已知底面為菱形的平行六面體中，，四邊形為正方形，交于點(diǎn)M.

(1)證明：；
(2)若，求直線與平面所成角的余弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)

【分析】（1）利用垂直關(guān)系，首先證明線面垂直，平面，即可證明線線垂直；
（2）根據(jù)垂直關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，根據(jù)線面角的向量法，即可求解.
【詳解】（1）連接交于點(diǎn)O，連接OM
四邊形為菱形，
為中點(diǎn)，
四邊形為正方形
，，
，平面，
平面????
平面

（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，OB所在直線為y軸，過(guò)O且垂直于平面ABCD的直線為z軸，得，，

，
由（1）知，平面
平面，，是等邊三角形
點(diǎn)M作MH垂直O(jiān)C于點(diǎn)H，在中，，，
可得CM邊上的高為，由等面積法可得OC邊上的高，
由勾股定理可得，
故，，,
,,
設(shè)平面的法向量為，則，
即，令，，
所以平面的法向量為，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，，
直線與平面所成角的余弦值
20．為了精準(zhǔn)地找到目標(biāo)人群，更好地銷(xiāo)售新能源汽車(chē)，某4S店對(duì)近期購(gòu)車(chē)的男性與女性各100位進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，并作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到如下列聯(lián)表：

購(gòu)買(mǎi)新能源汽車(chē)（人數(shù)）
購(gòu)買(mǎi)傳統(tǒng)燃油車(chē)（人數(shù)）
男性


女性


(1)當(dāng)時(shí)，將樣本中購(gòu)買(mǎi)傳統(tǒng)燃油車(chē)的購(gòu)車(chē)者按性剔采用分層抽樣的方法抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取3人調(diào)查購(gòu)買(mǎi)傳統(tǒng)燃油車(chē)的原因，記這3人中女性的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；
(2)定義，其中為列聯(lián)表中第i行第j列的實(shí)際數(shù)據(jù)，為列聯(lián)表中第i行與第j列的總頻率之積再乘以列聯(lián)表的總頻數(shù)得到的理論頻數(shù).基于小概率值的檢驗(yàn)規(guī)則：首先提出零假設(shè)（變量X，Y相互獨(dú)立〉，然后計(jì)算的值，當(dāng)時(shí)，我們推斷不成立，即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)；否則，我們沒(méi)有充分證據(jù)推斷不成立，可以認(rèn)為X和Y獨(dú)立.根據(jù)的計(jì)算公式，求解下面問(wèn)題：
（i）當(dāng)時(shí)，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，請(qǐng)分析性別與是否喜愛(ài)購(gòu)買(mǎi)新能源汽車(chē)有關(guān)；
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，若認(rèn)為性別與是否喜愛(ài)購(gòu)買(mǎi)新能源汽車(chē)有關(guān)，則至少有多少名男性喜愛(ài)購(gòu)買(mǎi)新能源汽車(chē)?
附：

0.1
0.025
0.005

2.706
5.024
7.879

【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，
(2)（i）性別與是否購(gòu)買(mǎi)新能源汽車(chē)有關(guān)聯(lián)；（ⅱ）76名

【分析】（1）用分層抽樣的方法抽取的購(gòu)買(mǎi)傳統(tǒng)燃油車(chē)的6人中，男生有2人，女生有4人，由題意可知X的可能取值為1，2，3，求出對(duì)應(yīng)的概率，得到X的分布列，進(jìn)而求出；
（2）（i）根據(jù)題中數(shù)據(jù)及所給公式計(jì)算，與參考數(shù)據(jù)比較即可得出結(jié)論；
（ⅱ）根據(jù)基于小概率值的檢驗(yàn)規(guī)則及的計(jì)算公式得到關(guān)于m的不等式，再根據(jù)m的取值范圍以及實(shí)際意義即可得解．
【詳解】（1）當(dāng)m=0時(shí)，
用分層抽樣的方法抽取購(gòu)買(mǎi)傳統(tǒng)燃油車(chē)的6人中，男性有2人，女性有4人.
由題意可知，X的可能取值為1，2，3.

X的分布列如下表
X
1
2
3




.
（2）（i）零假設(shè)為：
性別與是否購(gòu)買(mǎi)新能源汽車(chē)獨(dú)立，即性別與是否購(gòu)買(mǎi)新能源汽車(chē)無(wú)關(guān)聯(lián).
當(dāng)m=0時(shí)，
，
，



∴根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為性別與是否購(gòu)
買(mǎi)新能源汽車(chē)有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005.
（ⅱ）

由題意可知，
整理得，
，
所以的最大值為4，
又，
至少有76名男性購(gòu)買(mǎi)新能源汽車(chē).
21．已知橢圓：，其右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，.
(1)求證：為定值.
(2)若點(diǎn)不在橢圓的內(nèi)部，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，試求面積的最小值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)

【分析】（1）設(shè)出，，的坐標(biāo)，根據(jù)兩個(gè)向量等式用參數(shù)，，表示出點(diǎn)、，點(diǎn)、坐標(biāo)代入橢圓，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)方程形式上相同，則，是方程的兩個(gè)根，根據(jù)韋達(dá)定理求出解.
（2）把面積轉(zhuǎn)化為面積減去面積，，之后直線與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，構(gòu)造一個(gè)關(guān)于的函數(shù)，進(jìn)而求出最值.
【詳解】（1）
證明：如圖所示，
設(shè)，，，
因?yàn)闄E圓方程：，所以，
由，得，，
又點(diǎn)在橢圓上，故
整理得
由，同理可得
由于，不重合，即，
因此，是方程的兩個(gè)根，所以為定值.
（2）解：直線的方程為，即，
將代入，
得，
于是，，
從而，



若點(diǎn)不在橢圓的內(nèi)部，則，即，
所以，當(dāng)時(shí)，有最小值為，
故面積的最小值為.
22．已知函數(shù)，.
(1)若是函數(shù)的極小值點(diǎn)，討論在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
(2)英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：

這個(gè)公式被編入計(jì)算工具，計(jì)算足夠多的項(xiàng)時(shí)就可以確保顯示值的精確性.
現(xiàn)已知，
利用上述知識(shí)，試求的值.
【答案】(1)答案見(jiàn)解析
(2)

【分析】（1）本小問(wèn)考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，將的表達(dá)式表示出來(lái)，利用導(dǎo)數(shù)的方法討論函數(shù)的單調(diào)性，利用最值、零點(diǎn)定理等進(jìn)行判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）利用給的已知條件，將條件中表達(dá)式進(jìn)行求導(dǎo)處理，求出的表達(dá)式，將條件中的的表達(dá)式與上面得到的進(jìn)行比較，即可得出所要求的結(jié)果.
【詳解】（1）由題意得：，
因?yàn)闉楹瘮?shù)的極值點(diǎn)，
所以，，
知：，，
，
（i）當(dāng)時(shí)，
由，，，，得，
所以在上單調(diào)遞減，，
所以在區(qū)間上不存在零點(diǎn)；
（ii）當(dāng)時(shí)，設(shè)，
則.
①若，令，
則，
所以在上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，?br /> 所以存在，滿(mǎn)足，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
②若，令，，
則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，
又因?yàn)椋?br /> 所以，在上單調(diào)遞減；
③若，則，在上單調(diào)遞減.
由（a）（b）（c）得，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
因?yàn)?，?br /> 所以存在使得，
所以，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，?br /> 所以在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn).
綜上，在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè)；
（2）因?yàn)?，?）
對(duì)，
兩邊求導(dǎo)得：，
，
所以，（**）
比較（*）（**）式中的系數(shù)，得
所以.
【點(diǎn)睛】（1）本問(wèn)考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值零點(diǎn)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)的方法，研究含參函數(shù)的零點(diǎn)的步驟為：首先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)化簡(jiǎn)，根據(jù)自變量和參數(shù)的取值進(jìn)行討論，判斷導(dǎo)數(shù)的函數(shù)值的正負(fù)，進(jìn)而判斷函數(shù)的增減性，結(jié)合函數(shù)的最值點(diǎn)和極值點(diǎn)及零點(diǎn)定理判定零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）本問(wèn)考查新情境下的轉(zhuǎn)化能力，需要對(duì)給出條件兩邊求導(dǎo)得到，與條件進(jìn)行對(duì)比，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為所要求的.

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