2023屆河南省五市高三二模數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題1．已知集合，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，分別求得集合，結(jié)合集合的概念及運算，即可求解.【詳解】由集合，根據(jù)集合交集的運算，可得.故選：A.2．已知為實數(shù)，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】利用純虛數(shù)的定義求出a，即可判斷作答.【詳解】因為復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則，解得，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限.故選：D3．已知向量，若，則在上的投影是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)坐標先求得向量，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算律求得，即可由平面向量投影的定義求得在上的投影.【詳解】向量，則，因為，則，即，所以，在上的投影為.故選：D.【點睛】本題考查由坐標求平面向量模，平面向量數(shù)量積的運算律簡單應(yīng)用，投影的定義和求法，屬于基礎(chǔ)題.4．設(shè)橢圓的離心率為，則“”是“”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分、必要性定義，結(jié)合橢圓方程，討論判斷充分性，由離心率定義判斷必要性，即可得答案.【詳解】當時，則；當時，則；所以推不出，充分性不成立；當時，則，必要性成立；綜上，“”是“”的必要不充分條件.故選：B5．已知，，則的值為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用三角函數(shù)之間關(guān)系化簡得，再利用兩角差的余弦公式得，最后再利用兩角和的余弦公式即可得到答案.【詳解】,且,則整理得：,則，整理得,所以故選：D.6．設(shè)，是兩個隨機事件，且發(fā)生必定發(fā)生，，，給出下列各式，其中正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題設(shè)知，即，，結(jié)合條件概率公式判斷各項正誤.【詳解】由，是兩個隨機事件，且發(fā)生必定發(fā)生，知：，即，，所以，，，A、B、D錯，C對；故選：C7．安排4名男生和3名女生參與完成3項工作，要求必須每人參與一項，每項工作至少由1名男生和1名女生完成，則不同的安排方式種數(shù)為（    ）A．432 B．144 C．216 D．1296【答案】C【分析】先從4個男生選2個一組，將4人分成三組后全排列，然后3個女生分成三組，全排列即可.【詳解】由于每項工作至少由名男生和名女生完成，則先從4個男生選2個一組，將4人分成三組，所以男生的排法共有，女生的安排方法共有，故不同的安排共有種.故選：C8．已知底面邊長為1的正三棱柱既有外接球也有內(nèi)切球，則與該三棱柱共底面的外接圓錐的軸截面面積的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可利用內(nèi)切球半徑等于三角形內(nèi)切圓半徑求出，再由正弦定理求出三角形外接圓半徑，即可利用比例關(guān)系求出軸截面三角形高與底邊的關(guān)系，得出軸截面面積表達式，利用均值不等式求出最小值即可.【詳解】如圖，正三棱柱內(nèi)切球半徑即為內(nèi)切圓半徑，由等面積法可知，，，,設(shè)分別為和外接圓的圓心，則，由正弦定理知，，設(shè)，，則，，解得，圓錐軸截面面積，，，當且僅當，即時等號成立，即軸截面面積的最小值是，故選：B9．已知中，內(nèi)角，，滿足，則（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】通過特值檢驗，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，利用正余弦定理可得結(jié)果.【詳解】對于選項A，不妨取，滿足，但，故A錯誤；對于選項B，由，得，即，構(gòu)造函數(shù)，則，故在上單調(diào)遞減.因為，所以，故，可得.因為在上單調(diào)遞增，所以，即.因為在上單調(diào)遞減，所以，即.可得，故B錯誤；對于選項C，因為，，即，可得，故C錯誤；對于選項D，因為，即，由正弦定理，可得，即，故D正確.故選：D10．在當前市場經(jīng)濟條件下，私營個體商店中的商品，所標價格與其實際價值之間，存在著相當大的差距.對顧客而言，總是希望通過“討價還價”來減少商品所標價格與其實際價值的差距.設(shè)顧客第次的還價為，商家第次的討價為.有一種“對半討價還價”法如下：顧客第一次的還價為標價的一半，即第一次還價，商家第一次的討價為與標價的平均值，即；…；顧客第次的還價為上一次商家的討價與顧客的還價的平均值，即，商家第次的討價為上一次商家的討價與顧客這一次的還價的平均值，即.現(xiàn)有一件衣服標價1200元，若經(jīng)過次的“對半討價還價”，與相差不到元，則最小值為（    ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】判斷出數(shù)列是等比數(shù)列，由此列不等式，從而求得的最小值.【詳解】依題意可知，，所以數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列，所以，由得，其中，經(jīng)檢驗可知，的最小值為.故選：C11．已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，且滿足，當時，，則關(guān)于的方程在上所有實數(shù)解之和為（    ）A．9 B． C． D．7【答案】B【分析】分析函數(shù)及的性質(zhì)，再出兩個函數(shù)的部分圖象，利用對稱性求解作答.【詳解】函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，當時，，則當時，，又，則函數(shù)的周期是3，顯然，即直線是圖象的一條對稱軸，因此直線是圖象的對稱軸，函數(shù)的最小正周期是，直線是圖象的對稱軸，函數(shù)與在當時取得相同最大值，在同一坐標平面內(nèi)作出函數(shù)與的圖象，如圖，觀察圖象知，函數(shù)與在上有7個公共點，對應(yīng)橫坐標依次為，由對稱性知，，于是，所以關(guān)于的方程在上所有實數(shù)解之和為.故選：B12．已知函數(shù)，其中，若函數(shù)滿足以下條件：①函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)；②對任意恒成立；③經(jīng)過點的任意直線與函數(shù)恒有交點，則的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意得到函數(shù)的周期為，由②得到是函數(shù)的一條對稱軸，結(jié)合①可知，，再結(jié)合②和③即可求解.【詳解】由函數(shù)可知，函數(shù)的周期為，由條件②對任意恒成立，可知是函數(shù)的一條對稱軸，結(jié)合條件①函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則有，又，解得，即，又因為，故，解得，又，從而或.當時，；當時，，由②對任意恒成立，，則，由③經(jīng)過點的任意直線與函數(shù)恒有交點，得，解得，易知，，，此時由，可得，從而，由或，得或，所以或，故選：A.【點睛】根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性和對稱軸求參數(shù)，研究三角函數(shù)的性質(zhì)基本思想將函數(shù)看成的形式，根據(jù)整體思想來研究相關(guān)性質(zhì). 二、填空題13．已知的展開式中的系數(shù)是20，則實數(shù)__________.【答案】2【分析】根據(jù)二項展開式可得，則可得展開式中的系數(shù)，列方程即可得實數(shù)的值.【詳解】解：因為則展開式中的系數(shù)是，求得.故答案為：2.14．已知，，則______．【答案】/【分析】根據(jù)指對數(shù)互化可得，結(jié)合求參數(shù)值即可.【詳解】由題設(shè)，則且，所以，即，故.故答案為：15．如圖，已知圓柱，A在圓上，，，，在圓上，且滿足，則直線與平面所成角余弦的最小值是______．【答案】【分析】建系，利用空間向量求線面夾角，整理得，結(jié)合正弦函數(shù)的有界性分析運算.【詳解】如圖所示，以為坐標原點建立空間直角坐標系，則，不妨取，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量，則，令，則，即，設(shè)直線與平面所成角為，則，當且僅當，即時，等號成立，即直線與平面所成角正弦的最大值是，所以直線與平面所成角余弦的最小值是.故答案為：.16．已知雙曲線的左、右頂點分別為，左焦點為，為上一點，且軸，過點的直線與線段交于點（異于，），與軸交于點，直線與軸交于點，若（為坐標原點），則的離心率為______．【答案】2【分析】畫出圖形，利用三角形相似，列出關(guān)系式，結(jié)合已知條件和雙曲線的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由和相似，可得，又由和相似，可得，因為，可得，即，解得，所以離心率為.故答案為：. 三、解答題17．已知數(shù)列滿足，且，．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)記，，．證明：．【答案】(1)證明見解析，；(2)證明見解析. 【分析】（1）由遞推式整理得，結(jié)合等差數(shù)列定義證為等差數(shù)列，進而寫出其通項公式，注意驗證；（2）由（1）及題設(shè)得，應(yīng)用放縮可得，再利用裂項相消法即可證結(jié)論.【詳解】（1）由得：，整理為：，所以為等差數(shù)列，公差，首項為；所以，整理為，經(jīng)檢驗，符合要求.（2）由（1）得：，，∴，∴，即．18．如圖，平面四邊形中，，是上的一點，是的中點，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且.（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）要證平面平面，只需證平面，而，所以只需證，而由已知的數(shù)據(jù)可證得為等邊三角形，又由于是的中點，所以，從而可證得結(jié)論；（2）由于在中，，而平面平面，所以點在平面的投影恰好為的中點，所以如圖建立空間直角坐標系，利用空間向量求解.【詳解】（1）由，所以平面四邊形為直角梯形，設(shè)，因為.所以在中，，則，又，所以，由，所以為等邊三角形，又是的中點，所以，又平面，則有平面，而平面，故平面平面.（2）解法一：在中，，取中點，所以，由（1）可知平面平面，平面平面，所以平面，以為坐標原點，方向為軸方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，設(shè)平面的法向量，由得取，則設(shè)直線與平面所成角大小為，則，故直線與平面所成角的正弦值為. 解法二：在中，，取中點，所以，由（1）可知平面平面，平面平面，所以平面，過作于，連，則由平面平面，所以，又，則平面，又平面所以，在中，，所以，設(shè)到平面的距離為，由，即，即，可得，設(shè)直線與平面所成角大小為，則.故直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】此題考查的是立體幾何中的證明面面垂直和求線面角，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于中檔題.19．某電臺舉辦有獎知識競答比賽，選手答題規(guī)則相同．對于每道題，若甲自己有把握答對，則選擇獨立答題．甲每道題自己有把握獨立答對的概率為；若甲自己沒有把握答對，則在規(guī)定時間內(nèi)連線親友團尋求幫助，其親友團每道題能答對的概率為，假設(shè)每道題答對與否互不影響．(1)當時，若甲答了4道題，計甲答對題目的個數(shù)為隨機變量，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)乙答對每道題的概率為（含親友團），現(xiàn)甲乙兩人各答兩個問題，若甲答對題目的個數(shù)比乙答對題目的個數(shù)多的概率不低于，求甲的親友團每道題答對的概率的最小值．【答案】(1)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為；(2)． 【分析】（1）可能取值為0，1，2，3，4，而，由二項分布得概率后可得分布率，再由二項分布的期望公式得期望；（2）結(jié)合求得甲答對1道和2道題的概率，乙答對0道和1道題的概率，然后由互斥事件、獨立事件概率公式求得甲答對題目的個數(shù)比乙答對題目的個數(shù)多的概率，利用不等式求得的最小值．【詳解】（1）可能取值為0，1，2，3，4，記甲答對某道題的概率為事件，則，則，，則的分布列為：01234則（2）記事件為“甲答對了道題”，事件為“乙答對了道題”，其中甲答對某道題的概率為，答錯某道題的概率為，則，，，，所以甲答對題數(shù)比乙多的概率為：，解得，甲的親友團助力的概率的最小值為．20．已知拋物線的焦點為，直線與軸的交點為，與的交點為，且．（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）設(shè)過定點的直線與拋物線交于，兩點，連接并延長交拋物線的準線于點，當直線恰與拋物線相切時，求直線的方程．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或【分析】（Ⅰ））設(shè)，代入，得，利用解得答案.（Ⅱ）由題知直線的斜率存在，設(shè)其方程為，由消去y整理得，拋物線在點處的切線方程為利用韋達定理，整理得到答案.【詳解】（Ⅰ）設(shè)，代入，得，所以，．由題設(shè)得，解得（舍去）或，∴C的方程為． （Ⅱ）由題知直線的斜率存在，設(shè)其方程為，由消去y整理得，顯然．設(shè)，，則 拋物線在點處的切線方程為，令，得，可得點， 由Q，F，R三點共線得，所以，即，整理得，所以，解得，即，故所求直線的方程為或【點睛】本題考查了拋物線方程，直線方程，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.21．已知函數(shù)，其中，．（1）當時，求函數(shù)的值域；（2）若函數(shù)在上恰有兩個極小值點，，求的取值范圍；并判斷是否存在實數(shù)，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）；存在；．【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進行求解即可；（2）判斷函數(shù)的奇偶性，根據(jù)二次求導(dǎo)法分類討論求出的取值范圍，最后再根據(jù)，之間的關(guān)系進行求解即可.【詳解】解：（1）當時，，則．設(shè)，則，．顯然．在上單調(diào)遞增．又，當時，；當時，．在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．，，函數(shù)的值域為．（2），是上的偶函數(shù)．“函數(shù)在上恰有兩個極小值點”等價于“函數(shù)在上恰有一個極小值點”．因，設(shè)，則．①當時，，則在上單調(diào)遞減．．則，此時在上單調(diào)遞減，無極小值．②當時，，則在上單調(diào)遞增．．則，此時在上單調(diào)遞增，無極小值．③當時，存在，使．當時，；當時，．在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．，．又，（i）當，即時，．，此時在上單調(diào)遞減，無極小值．（ii）當，即時，．則存在，使得．……（*）當時，；當時，．在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．函數(shù)在上恰有一個極小值點．此時，是函數(shù)的極大值點．當函數(shù)在上恰有兩個極小值點時，的取值范圍為．，若，則由（*）式，知．．整理得．，，．存在，使得成立．【點睛】關(guān)鍵點睛：運用二次求導(dǎo)法、分類討論思想是解題的關(guān)鍵.22．在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為(1)求曲線C的普通方程和直線的直角坐標方程；(2)若點，直線與曲線C的交點為M，N，求的值.【答案】(1)曲線的普通方程為；直線的直角坐標方程為(2) 【分析】（1）利用消參法求曲線的普通方程，根據(jù)求直線的直角坐標方程；（2）根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義結(jié)合韋達定理運算求解.【詳解】（1）∵曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)可得：，∴曲線的普通方程為，又∵直線的極坐標方程為，且，∴直線的直角坐標方程為綜上所述：曲線的普通方程為；直線的直角坐標方程為.（2）由（1）可知：直線的直角坐標方程為，即直線過點，斜率為，傾斜角為，則可設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將代入整理得：，設(shè)點對應(yīng)的參數(shù)分別為，判別式恒成立，可得：，即，∴.23．設(shè)，且.（1）證明：；        （2）若恒成立，求的最大值.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）用柯西不等式，直接證明不等式成立．（2）用柯西不等式，求出的最小值，即可求出參數(shù)的取值范圍．【詳解】解：（1）因為，且.所以，所以，當且僅當時，等號成立．（2），所以，當且僅當時，等號成立．所以故的最大值為【點睛】利用柯西不等式求最值①先變形湊成柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征，是利用柯西不等式求解的先決條件；②有些最值問題從表面上看不能利用柯西不等式，但只要適當添加上常數(shù)項或和為常數(shù)的各項，就可以應(yīng)用柯西不等式來解，這也是運用柯西不等式解題的技巧；③而有些最值問題的解決需要反復(fù)利用柯西不等式才能達到目的，但在運用過程中，每運用一次前后等號成立的條件必須一致，不能自相矛盾，否則就會出現(xiàn)錯誤．多次反復(fù)運用柯西不等式的方法也是常用技巧之一． 

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