2023屆江西省鷹潭市高三二模數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題1．如圖,兩個區(qū)域分別對應(yīng)集合,其中.則陰影部分表示的集合為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意表示出集合,將集合中元素還原到圖形中,即可得到結(jié)果.【詳解】解:由題意知,,陰影部分表示的集合為,因為,所以.故選:D2．若復(fù)數(shù)滿足（i是虛數(shù)單位），的共軛復(fù)數(shù)是，則的模是（    ）A． B．4044 C．2 D．0【答案】B【分析】首先根據(jù)題意得到，再求的模長即可.【詳解】因為，所以.所以，，所以.故選：B3．下列命題中錯誤的是（    ）A．命題“”的否定是“”B．命題“若，則”的否命題為“若，則”C．“兩直線斜率相等”是“兩直線平行”的充要條件D．若“p或q”為假命題，則p，q均為假命題【答案】C【分析】利用含有一個量詞的命題的否定、否命題的概念、兩直線平行的充要條件以及的真假進(jìn)行判斷.【詳解】對于A，命題“”的否定是“”，故A正確；對于B，命題“若，則”的否命題為“若，則”，故B正確；對于C，若兩直線斜率相等，則兩直線平行或重合；但若兩直線平行，斜率可能不存在，故C錯誤；對于D，若“p或q”為假命題，則p，q均為假命題，故D正確.故選：C.4．已知，，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（    ）A．2 B． C． D．1【答案】B【分析】根據(jù)程序框圖比較的大小，輸出三個數(shù)中的最小值.【詳解】根據(jù)程序框圖可知，執(zhí)行程序輸出的結(jié)果是三個數(shù)中的最小值.因為，，，所以，所以輸出的值為.故選：B.5．若，則（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由兩角和差的正余弦公式化簡，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可得解.【詳解】[方法一]：直接法由已知得：,即：，即：所以故選：C[方法二]：特殊值排除法解法一:設(shè)β=0則sinα +cosα =0，取，排除A, B；再取α=0則sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；選C.[方法三]：三角恒等變換 所以即故選：C. 6．已知等差數(shù)列滿足，則可能取的值是（    ）A． B． C．4 D．6【答案】A【分析】根據(jù)題意，令，，由等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】設(shè)，，則，所以，故選：A.7．“寸影千里”法是《周髀算經(jīng)》中記載的一種遠(yuǎn)距離測量的估算方法，其具體方法是在同一天（如夏至）的正午，于兩地分別豎起同高的標(biāo)桿，然后測量標(biāo)桿的影長，并根據(jù)“日影差一寸，實地相距千里”的原則推算兩地距離．如圖，某人在夏至的正午分別在同一水平面上的A，B兩地豎起高度均為a寸的標(biāo)桿與，與分別為標(biāo)桿與在地面的影長，再按影長與的差結(jié)合“寸影千里”來推算A，B兩地的距離．記，則按照“寸影千里”的原則，A，B兩地的距離大約為（    ）A．里 B．里C．里 D．里【答案】C【分析】在直角三角形中利用正切表示出，再由同角三角函數(shù)及兩角和的余弦公式化簡，最后根據(jù)“寸影千里”的原則得解.【詳解】由題意可知，所以，所以可以估計A，B兩地的距離大約為里，故選：C．8．已知直線和圓滿足對直線上任意一點，在圓上存在點，使得，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】分析可知直線與圓相切或相離，可知圓心到直線的距離不小于圓的半徑，可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，解之即可.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，因為對直線上任意一點，在圓上存在點，使得，所以直線與圓相切或相離，則，解得.故選：B.9．已知直線經(jīng)過橢圓的左焦點，且直線與軸交于點，與橢圓在第一象限內(nèi)交于點．若，則橢圓的離心率是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直線可得，從而確定，利用余弦定理與橢圓定義可得，即可求得橢圓的離心率.【詳解】如圖，設(shè)橢圓的右焦點為．因為直線的斜率是，所以，所以．因為，所以．在中，由余弦定理可得，則．由橢圓的定義可得，則橢圓的離心率．故選：C.10．已知函數(shù)的圖象如圖所示，圖象與x軸的交點為，與y軸的交點為N，最高點，且滿足．若將的圖象向左平移1個單位得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為，則（    ）A． B．0 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圖象，利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)、向量垂直的充要條件以及誘導(dǎo)公式進(jìn)行求解.【詳解】由圖象可知，，所以，又，所以，所以，又，所以，又，所以，所以，所以點的坐標(biāo)為，因為，所以，即，又，解得，所以，將的圖象向左平移1個單位，得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為，所以，故B，C，D錯誤.故選：A.11．如圖，在棱長為2的正四面體ABCD中，點N，M分別為和的重心，P為線段CM上一點．（    ）A．的最小為2B．若DP⊥平面ABC，則C．若DP⊥平面ABC，則三棱錐P－ABC外接球的表面積為D．若F為線段EN的中點，且，則【答案】D【分析】A選項由線面垂直證得CM⊥BM，CM⊥AM，進(jìn)而由點P與點M重合時即可判斷；B選項利用內(nèi)切球求得即可判斷；C選項找到球心，由勾股定理求得半徑，即可判斷；D選項由空間向量的線性運算即可判斷.【詳解】易得，又，則面，又面，則，同理可得，，則CM⊥平面ABD，又平面，所以CM⊥BM，CM⊥AM．則當(dāng)點P與點M重合時，取得最小值，又，則最小值為，A錯誤．在正四面體ABCD中，因為DP⊥平面ABC，易得在上，所以，又點N，M也是和的內(nèi)心，則點P為正四面體ABCD內(nèi)切球的球心．，．設(shè)正四面體ABCD內(nèi)切球的半徑為r，因為，所以，解得，即，故，B錯誤．設(shè)三棱錐P－ABC外接球的球心為O，半徑為R，易得球心在直線上，且，則，解得，故三棱錐P－ABC外接球的表面積為，C錯誤．若F為線段EN的中點，則，．設(shè)，則．因為，所以設(shè)，則解得故，D正確.故選：D.12．已知二進(jìn)制和十進(jìn)制可以相互轉(zhuǎn)化，例如，則十進(jìn)制85轉(zhuǎn)化二進(jìn)制位．若將正整數(shù)n對應(yīng)的二進(jìn)制中0的個數(shù)記為，例如．則，則下列結(jié)論正確的為（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，設(shè)正整數(shù)，得到正整數(shù)的二進(jìn)制系數(shù)和，及正整數(shù)的二進(jìn)制系數(shù)中0的個數(shù)為，進(jìn)而逐項判定，即可求解.【詳解】設(shè)正整數(shù)（其中個系數(shù)，其中）則正整數(shù)的二進(jìn)制系數(shù)和（也是正整數(shù)的二進(jìn)制系數(shù)中1的個數(shù)），所以正整數(shù)的二進(jìn)制系數(shù)中0的個數(shù)為，因為，所以，所以，所以B錯誤；因為，所以的二進(jìn)制系數(shù)中1的個數(shù)為，所以0的個數(shù)，所以A錯誤；因為，所以的二進(jìn)制系數(shù)中1的個數(shù)為，而，所以的二進(jìn)制系數(shù)中1的個數(shù)為，所以，故的二進(jìn)制的系數(shù)中0的個數(shù)為，所以C正確；因為，所以系數(shù)和，所以的二進(jìn)制中0的個數(shù)為，所以D錯誤.故選：C. 二、填空題13．在二項式的展開式中，常數(shù)項為_____________．【答案】240【分析】根據(jù)二項式定理，展開式中要出現(xiàn)常數(shù)項即需要消掉，不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)的次方為4次方時即可為常數(shù)項.【詳解】常數(shù)項為：.故答案為：240.14．冬奧會設(shè)有冬季兩項、雪車、冰壺、雪橇，滑冰，滑雪、冰球7個大項，現(xiàn)有甲、乙、丙三名志愿者，設(shè)A表示事件為“甲不是雪車項目的志愿者，乙不是雪橇項目的志愿者”，B表示事件為“甲、乙、丙分別是三個不同項目的志愿者”，則__________.【答案】【分析】通過條件概率的公式與求法分析求解即可.【詳解】，表示A事件與B事件同時發(fā)生的概率，冬奧會設(shè)有7個大項，有甲、乙、丙三名志愿者，則每人可有7種選擇，共有種選擇，對B事件：若甲、乙、丙分別是三個不同項目的志愿者，則，對于AB事件：若甲、乙、丙分別是三個不同項目的志愿者，甲不是雪車項目的志愿者，乙不是雪橇項目的志愿者，甲不能選雪車，則甲有6種選法，乙有6種選法，丙有5種選法，共種，但甲不選雪橇，則乙就有可能選雪橇，則要減去乙選雪橇，甲從剩下的5種選，丙依然有5種選擇，共種，則，則.15．已知直線，定點，是直線上的動點，若經(jīng)過點，的圓與直線相切，則這個圓的面積的最小值為_________．【答案】【分析】確定的軌跡為拋物線，拋物線方程為，當(dāng)點與原點重合時，半徑最小為，計算得到面積.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)圓的圓心為，則圓心到的距離等于到直線的距離，故的軌跡為拋物線，拋物線方程為，當(dāng)點與原點重合時，半徑最小為，此時，圓心到直線的距離為，直線與圓有交點，滿足，圓的面積的最小值為.故答案為：16．在中，，D為BC的中點，則的最大值為______．【答案】【分析】先設(shè)，由三角形三邊關(guān)系得到，再利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式與余弦定理得到，從而利用換元與基本不等式求得的最小值，結(jié)合與在上的單調(diào)性即可求得的最大值.【詳解】設(shè)，則，因為為的中點，，所以，由三角形三邊關(guān)系，可知且，解得，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，因為，所以,所以，解得，則，，令，則，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，此時，解得，因為，所以．因為在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)取得最小值時，取得最大值，此時，則，所以的最大值為.故答案為：. .【點睛】關(guān)鍵點睛：本題中突破口為，由此得到，再結(jié)合余弦定理得到，最后利用基本不等式即可得解. 三、解答題17．記Sn為數(shù)列的前n項的和，已知，是公差為的等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，記數(shù)列的前n項和為Tn，試求除以3的余數(shù)．【答案】(1)(2)2 【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義，寫出數(shù)列的通項公式，整理可得數(shù)列的遞通項公式；（2）利用等比數(shù)列前n項和公式求出，然后應(yīng)用二項式展開式求余數(shù)【詳解】（1）由是公差為的等差數(shù)列，且，則，即，當(dāng)時，，兩式相減可得：，即，因為滿足上式，所以數(shù)列的通項公式為（2）由（1）可得，所以，又，因為均為正整數(shù)，所以存在正整數(shù)使得，故，所以除以3的余數(shù)為2.18．某籃球隊為提高隊員訓(xùn)練的積極性，進(jìn)行小組投籃游戲；每個小組由兩名隊員組成，隊員甲與隊員乙組成一個小組．游戲規(guī)則如下：每個小組的兩名隊員在每輪游戲中分別投籃兩次，每小組投進(jìn)的次數(shù)之和不少于3次的稱為“神投小組”，已知甲乙兩名隊員投進(jìn)籃球的概率分別為p1，p2．(1)若，，求他們在第一輪游戲獲得“神投小組”稱號的概率；(2)已知，則：①取何值時能使得甲、乙兩名隊員在一輪游戲中獲得“神投小組”稱號的概率最大？并求出此時的最大概率；②在第①問的前提下，若甲、乙兩名隊員想要獲得297次“神投小組”的稱號，則他們平均要進(jìn)行多少輪游戲？【答案】(1)(2)①當(dāng)時，最大概率為；②625 【分析】（1）先羅列出“神投小組”的可能情況，然后利用獨立事件的乘法公式進(jìn)行求概率即可；（2）①先求出獲得“神投小組”稱號的概率，結(jié)合可得令，，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；②利用二項分布的知識即可求解【詳解】（1）每小組投進(jìn)的次數(shù)之和不少于3次的稱為“神投小組”,則可能的情況有①甲投中一次,乙投中兩次;②甲投中兩次,乙投中一次;③甲投中兩次,乙投中兩次,，他們在第一輪游戲獲得“神投小組”稱號的概率為（2）①由題意得他們在一輪游戲獲得“神投小組”稱號的概率，又,則，令,則,在上單調(diào)遞增,則,此時.②他們小組在輪游戲中獲得“神投小組”稱號的次數(shù)滿足,,則,平均要進(jìn)行625輪游戲.19．如圖，在三棱柱中，△ABC是邊長為2的正三角形，頂點在底面ABC的投影為AB的中點O，已知與底面ABC內(nèi)所有直線所成角中的最小值為，M為棱上一點．(1)求三棱錐的體積；(2)若，求二面角的正弦值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）通過選擇不同的底面和高，將求三棱錐的體積轉(zhuǎn)化為求三棱錐的體積；（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，即可求解.【詳解】（1）因為在三棱柱中，O為在底面投影，所以面ABC，面．又因為O為AB中點，所以，AC＝2，所以．因為與底面ABC內(nèi)所有直線所成角中的最小值為，且面ABC，所以，，所以．（2）以O為原點，OB，OC，為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得，，，，，又因為，所以，所以，，．設(shè)為平面ABM的一個法向量，則 即，令，則；設(shè)為平面CBM的一個法向量，則  即，令，則．所以．所以二面角的正弦值為．20．已知雙曲線C：過點，且漸近線方程為.(1)求雙曲線C的方程；(2)如圖，過點的直線l交雙曲線C于點M、N.直線MA、NA分別交直線于點P、Q，求的值.【答案】(1)(2)1 【分析】（1）根據(jù)漸近線方程設(shè)雙曲線C的方程為，代入點，運算求解即可得結(jié)果；（2）設(shè)，根據(jù)題意求點的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理證明，即可得結(jié)果，注意分類討論直線是否與軸垂直.【詳解】（1）∵雙曲線C的漸近線方程為，則可設(shè)雙曲線C的方程為，代入點，即，故雙曲線C的方程為.（2）由雙曲線C的方程為的方程可得，由題意可得點，則有：當(dāng)直線l與軸垂直時，則，可得直線，令，則，即點，同理可得：點，故，即；當(dāng)直線l不與軸垂直時，設(shè)直線，聯(lián)立方程，消去x得，則，可得直線，令，則，即點，同理可得：點，∵，即點關(guān)于x軸對稱，故，即；綜上所述：的值為1.【點睛】方法定睛：求解定值問題的三個步驟（1）由特例得出一個值，此值一般就是定值；（2）證明定值，有時可直接證明定值，有時將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)（某些變量）無關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；（3）得出結(jié)論．21．已知函數(shù)，，.(1)判斷的單調(diào)性；(2)若有唯一零點，求的取值范圍.【答案】(1)在上單調(diào)遞增．(2). 【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷其正負(fù)，即可確定函數(shù)單調(diào)性.（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對a分類討論，判斷函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)最值以及零點存在定理判斷函數(shù)零點個數(shù)，綜合即可求得答案.【詳解】（1）定義域為 ,記,當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，∴在上單調(diào)遞增．（2）定義域為R，，①當(dāng)時，有唯一零點，符合題意； ②當(dāng)時，，當(dāng)時，在單調(diào)遞減；當(dāng)時，在單調(diào)遞增，故，若，則無零點，不符題意；若，有唯一零點，符合題意；若，則，又，時，，，∴ ，故在內(nèi)各有一個零點，函數(shù)有兩個零點，不符題意；③當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，時，令，令，即在單調(diào)遞增，故，故在單調(diào)遞增，則，所以，故，則，故此時在上有唯一零點，符合題意；綜上，a的取值范圍為.【點睛】方法點睛：解答本題第二問根據(jù)零點的個數(shù)求參數(shù)的范圍時，綜合性較強(qiáng)，計算量大，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)后，對a分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識以及零點存在定理，判斷零點個數(shù)，即可解決問題.22．在平面直角坐標(biāo)系中，以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)寫出曲線的參數(shù)方程；(2)設(shè)是曲線上的動點，是曲線上的動點，求之間距離的最大值.【答案】(1)，（為參數(shù)）.(2) 【分析】（1）利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)方程的互化公式和二倍角公式可得的直角坐標(biāo)方程為，再根據(jù)圓錐曲線參數(shù)方程可得的參數(shù)方程為，（為參數(shù)）；（2）根據(jù)題意可得之間距離的最大值為點到圓心的距離的最大值再加上半徑，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即可求得最大值.【詳解】（1）根據(jù)曲線的極坐標(biāo)方程為可得，，即，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為；根據(jù)圓錐曲線參數(shù)方程定義可得，曲線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)）.（2）由曲線的極坐標(biāo)方程為可得，曲線的直角坐標(biāo)方程為，其圓心，半徑；由題意可得設(shè)，易知之間距離的最大值為點到圓心的距離的最大值再加上半徑，即，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時，；所以之間距離的最大值為23．已知，，.(1)證明：；(2)證明：.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析. 【分析】（1）利用基本不等式可得，由題可得，再利用基本不等式即得；（2）由題可得，利用基本不等式結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即得.【詳解】（1）由，得，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立， 而，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故.（2），當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故. 

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