2022-2023學(xué)年湖南省邵陽市第二中學(xué)高一上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．下列表示正確的個數(shù)是（   ）　（１）；（４）若則A．０ B．１ C．２ D．３【答案】D【詳解】選項（1）中元素與空集的關(guān)系是不屬于，正確；（2）空集是非空集的子集正確；（3）集合前后不相等，一個是方程的根構(gòu)成的集合，有一個元素，一個是兩個實數(shù)構(gòu)成的集合，故不正確；（4）根據(jù)集合子集的意義知若則正確.2．設(shè)集合，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】化簡集合M，N，根據(jù)并集、補(bǔ)集運算求解即可.【詳解】因為，所以，，故選：D3．已知，若集合，則的值為（    ）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)兩集合相等，對應(yīng)元素相等，然后列出方程求出即可得到結(jié)果.【詳解】因為所以有，解得或當(dāng)時，不滿足集合中元素的互異性，故則故選:B.4．已知函數(shù) ，若值域為，則實數(shù)的范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由函數(shù)的解析式確定區(qū)間端點處函數(shù)值，結(jié)合函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合，確定參數(shù)的范圍，即得答案.【詳解】當(dāng)時，，值域為當(dāng)時，由，得，此時，由，得，得或，此時，綜上，即實數(shù)的取值范圍是，故選：5．已知a，b，c∈R，那么下列命題中正確的是（    ）A．若，則 B．若，，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】，當(dāng)時，A不正確；利用不等式的性質(zhì)可推出B不正確；作差后，可知當(dāng)時，C不正確；利用基本不等式可推出D正確.【詳解】對于A，當(dāng)時，不成立，故A不正確；對于B，若，則，又，所以，故B不正確；對于C，因為，，所以當(dāng)時，，此時，故C不正確；對于D，因為，所以，，所以，故D正確.故選：D6．已知函數(shù)的定義域，則函數(shù)的定義域是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出的定義域，再求使有意義的自變量范圍即可．【詳解】因為函數(shù)的定義域，所以，即定義域為，由題意，解得且．所以定義域為．故選：C．7．已知，，不等式恒成立，則的取值范圍為　　A．，， B．，，C．，， D．【答案】C【分析】把不等式看作是關(guān)于的一元一次不等式，然后構(gòu)造函數(shù)，由不等式在，上恒成立，得到，求解關(guān)于的不等式組得得取值范圍．【詳解】解：令，則不等式恒成立轉(zhuǎn)化為在上恒成立．有，即，整理得：，解得：或．的取值范圍為．故選：C．8．設(shè)集合，集合若中恰含有一個整數(shù) ，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先化簡集合A，再根據(jù)函數(shù)y=f（x）=x2﹣2ax﹣1的零點分布，結(jié)合A∩B恰有一個整數(shù)求解.【詳解】A={x|x＜﹣3或x＞1}， 函數(shù)y=f（x）=x2﹣2ax﹣1的對稱軸為x=a＞0，而f（﹣3）=6a+8>0，f（﹣1）=2a>0，f（0）<0，故其中較小的零點為（-1，0）之間，另一個零點大于1，f（1）<0，要使A∩B恰有一個整數(shù)，即這個整數(shù)解為2，∴f（2）≤0且f（3）＞0，即，解得： ，即≤a＜，則a的取值范圍為．故答案為：A.【點睛】本題主要考查集合的交集運算的應(yīng)用以及二次函數(shù)的零點分布問題，還考查了轉(zhuǎn)化求解問題的能力，屬于中檔題. 二、多選題9．已知，且，則（    ）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為16 D．的最小值為【答案】AD【解析】利用基本不等式可求出，即可判斷AB；由利用基本不等式可判斷C；將代入可求出最值，判斷D.【詳解】，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即的最大值為，故A正確；B錯誤；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，，，故C錯誤；，，可得，，當(dāng)時，取的最小值為，故D正確.故選：AD.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.10．已知關(guān)于的不等式，下列結(jié)論正確的是（    ）A．不等式的解集不可能為．B．不等式的解集可能為或．C．存在實數(shù)，使得不等式的解集為閉區(qū)間的形式．D．存在唯一一對實數(shù)對，使得不等式的解集為．【答案】CD【分析】當(dāng)時，解集為，A錯誤，根據(jù)對稱關(guān)系不成立，B錯誤，取，，解不等式得到C正確，根據(jù)不等式的解與系數(shù)的關(guān)系得到D正確，得到答案.【詳解】，當(dāng)時，解集為，A錯誤；若不等式的解集可能為或，根據(jù)二次不等式解與系數(shù)的關(guān)系，需滿足，，不成立，故B錯誤；取，，得到，解得，C正確；和的解都關(guān)于對稱，故只能是恒成立，，的解集為，故，解得或（舍去），D正確；故選：CD.11．如圖，建立平面直角坐標(biāo)系軸在地平面上，軸垂直于地平面，單位長度為1千米，某炮位于坐標(biāo)原點，已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程表示的曲線上，其中與發(fā)射方向有關(guān)，炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標(biāo).設(shè)在第一象限有一飛行物（忽略其大?。?，其飛行高度為千米，它的橫坐標(biāo)為.則下列結(jié)論正確的是（    ）A．炮的最大射程為10千米B．炮的最大射程為20千米C．當(dāng)飛行物的橫坐標(biāo)超過6時，炮彈可以擊中飛行物D．當(dāng)飛行物的橫坐標(biāo)不超過6時，炮彈可以擊中飛行物【答案】AD【分析】由，用k表示x并求出最大值判斷A，B；由直線與炮彈軌跡有無公共點判斷C，D作答.【詳解】在中，令，可得，顯然，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，即炮的最大射程為10千米，A正確，B錯誤；依題意，炮彈擊中飛行物，即直線與炮彈軌跡有公共點，而，，于是得關(guān)于的方程，即有正根，當(dāng)，即時，方程兩根之和為正，兩根之積為正，因此當(dāng)時，關(guān)于的方程有正根，即當(dāng)不超過6千米時，炮彈可以擊中目標(biāo)，C錯誤，D正確.故選：AD12．若函數(shù)，數(shù)，則下列等式成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)題意由可得，，，從而歸納出，然后對選項逐一判斷即可得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，則，同理：，歸納可得：，依次分析選項：對于AA正確；對于BB錯誤；對于CC正確；對于DD正確；故選:ACD. 三、填空題13．寫出命題：，的否定：________________【答案】【解析】根據(jù)含全稱量詞命題的否定，直接寫出即可.【詳解】因為含全稱量詞命題的否定，先改量詞為存在性量詞，再否定結(jié)論，所以：，的否定：，故答案為：14．若，則的解析式為________.【答案】【解析】換元法令即可求出函數(shù)解析式；或者配湊法求解析式．【詳解】解：（換元法）令，則，∴，，∵，∴，（配湊法）∵，且，∴，故答案為：．【點睛】方法點睛：本題主要考查函數(shù)解析式的求法，常用方法有：（1）換元法或配湊法：已知求，一般采用換元法或配湊法，令，代入求出，或者將中配湊成關(guān)于的式子，由此可求得；（2）待定系數(shù)法：已知函數(shù)類型常用待定系數(shù)法；（3）方程組法：已知、滿足的關(guān)系式或、滿足的關(guān)系式常用方程組法，將條件中的或替換成得另一方程，再解方程組即可求得答案．15．設(shè)為不相等的正實數(shù)，若二次函數(shù)滿足，且存在最小值，則的最小值為___________.【答案】18【分析】根據(jù)給定條件，建立a，b的關(guān)系等式，再利用均值不等式求解作答.【詳解】因二次函數(shù)滿足，則有，有或，當(dāng)時，在時無最小值，不符合題意，因此，又，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，整理得，解得，即，由解得， 所以當(dāng)時，有最小值18.故答案為：18 四、雙空題16．已知函數(shù)的最大值是9，最小值是1，則___________，___________.【答案】          【分析】將變形為，利用判別式法可得的兩根為1，9，利用韋達(dá)定理即可求得答案.【詳解】由得，故，當(dāng)時，的兩根為1，9，故的兩根為1，9，故 ，解得，當(dāng)時， ，也適合題意；故答案為：. 五、解答題17．求下列函數(shù)的值域.(1)；(2)；.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）將函數(shù)分離常數(shù)變形為，即可求得函數(shù)值域；（2）采用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得函數(shù)值域.【詳解】(1)函數(shù)值域為；(2)令，則且，故，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時函數(shù)取得最大值，沒有最小值，故值域為.18．已知命題：“，都有不等式成立”是真命題.（1）求實數(shù)的取值集合；（2）設(shè)不等式的解集為，若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）分離出，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值，求出，即可求出范圍；（2）分析討論二次不等式對應(yīng)方程的兩個根的大小，寫出解集A, 是 的充分不必要條件得出,求出的范圍.【詳解】（1）命題：“，都有不等式成立”是真命題，得在時恒成立，∴，得，即.（2）不等式，①當(dāng)，即時，解集，若是的充分不必要條件，則是的真子集，∴，此時；②當(dāng)，即時，解集，滿足題設(shè)條件；③當(dāng)，即時，解集，若是的充分不必要條件，則是的真子集，，此時.綜上①②③可得【點睛】本題主要考查了含參數(shù)一元二次不等式的解法，分類討論的思想，以及充分必要條件的理解轉(zhuǎn)化，集合的交集運算等，屬于中檔題.解決不等式恒成立求參數(shù)的范圍問題，常采用分離參數(shù)求最值；解含參數(shù)的二次不等式時，常從二次項系數(shù)、判別式、兩個根的大小進(jìn)行討論.19．函數(shù)，，其中表示不超過的最大整數(shù)，例，.（1）寫出的解析式；（2）作出相應(yīng)函數(shù)的圖象；（3）根據(jù)圖象寫出函數(shù)的值域.【答案】（1）；（2）圖象見解析；（3）.【解析】（1）根據(jù)題意，分別求出，，時的，代入解析式即可得答案；（2）根據(jù)解析式，作出圖象即可；（3）根據(jù)圖象，直接可得到的值域.【詳解】（1）當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，所以，綜上；（2）圖象如圖所示：；（3）由圖象可得的值域為20．某汽車制造企業(yè)計劃在2020年引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，通過市場分析，全年需投入固定成本2500萬元，每生產(chǎn)x（百輛）需另投入成本萬元，該企業(yè)確定每輛新能源汽車的售價為6萬元，并且年內(nèi)生產(chǎn)的汽車當(dāng)年全部售完．（1）寫出2020年的利潤L（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；（收益=銷售額-成本）（2）2020年年產(chǎn)量為多少百輛時，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤．【答案】（1）；（2）2020年年產(chǎn)量為100百輛時，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤為.【解析】（1）分析題干，分段列出函數(shù)解析式；（2）由（1）得函數(shù)解析式，分別求最值并比較.【詳解】（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，取得最大值；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，當(dāng)時，取得最大值為.即2020年年產(chǎn)量為100百輛時，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤為.【點睛】(1)很多實際問題中，變量間的關(guān)系不能用一個關(guān)系式給出，這時就需要構(gòu)建分段函數(shù)模型.(2)求函數(shù)最值常利用基本不等式法、導(dǎo)數(shù)法、函數(shù)的單調(diào)性等方法．在求分段函數(shù)的最值時，應(yīng)先求每一段上的最值，然后比較得最大值、最小值．21．設(shè)二次函數(shù)，，，滿足條件：①當(dāng)時，，且②當(dāng)時，；③在上的最小值為0．求最大的，使得存在，只要，就有． 【答案】【分析】通過三個條件先求出函數(shù)解析式，只要，，就有．那么當(dāng)時也成立確定出的范圍，然后研究當(dāng)時也應(yīng)成立，利用函數(shù)的單調(diào)性求出的最值．【詳解】解：①因，則函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，，即，由③可知時，，即，由①得，，由②得，，則，即．所以，，，所以．驗證滿足條件假設(shè)存在，只要，就有．取，有，即，解得，對固定的，取，有，即．化簡有：，解得，故當(dāng)時，對任意的，恒有．的最大值為9．22．對在直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)的任意兩點作如下定義：若，那么稱點，）是點的“上位點”，同時點是點的“下位點”.(1)試寫出點（3，5）的一個“上位點”坐標(biāo)和一個“下位點”坐標(biāo)；(2)已知點是點的“上位點”，判斷是否一定存在點滿足是點，d）的“上位點”，又是點的“下位點”，若存在，寫出一個點坐標(biāo)，并證明；若不存在，則說明理由；(3)設(shè)正整數(shù)滿足以下條件，對集合，總存在，使得點既是點的“下位點”，又是點的“上位點”，求正整數(shù)的最小值.【答案】(1)點的一個“上位點”坐標(biāo)是，一個“下位點”坐標(biāo)是(答案不唯一)；(2)存在，，證明見解析；(3)201. 【分析】（1）根據(jù)新定義，直接求解即可；（2）存在，利用所給定義及作差法證明即可得解；（3）由新定義及（2）結(jié)論可知時滿足條件，再由的范圍知時不成立即可得解.【詳解】(1)對在直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)的任意兩點作如下定義：若，那么稱點是點的“上位點”，同時點是點的“下位點”.點的一個“上位點”坐標(biāo)可以是，一個“下位點”坐標(biāo)可以是(答案不唯一).(2)點是點的“上位點”，一定存在點滿足是點的“上位點”，又是點的“下位點”.證明如下：點是點的“上位點”，，即，即，即點是點的“上位點”，，即，即點是點的“下位點”.綜上可得：點滿足是點的“上位點”，又是點的“下位點”.(3)若正整數(shù)滿足條件，則，在時恒成立，由（2）中結(jié)論可得：時，滿足條件，若，則不成立，(因為即).故的最小值為201. 

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