2022-2023學(xué)年河北省保定市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．在平行四邊形ABCD中，（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量加減法規(guī)則求解.【詳解】如圖，根據(jù)平面向量的加法規(guī)則有：  ；故選：D.2．設(shè)，其中a、b為實(shí)數(shù)，則（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等的概念計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?/span>a，，，所以，，解得，．故選：C3．一個(gè)幾何體由6個(gè)面圍成，其中兩個(gè)面是互相平行且全等的正多邊形，其余各面都是全等的矩形，則該幾何體是（    ）A．四棱柱 B．六棱臺(tái) C．六棱柱 D．正方體【答案】A【分析】根據(jù)條件，分別對(duì)題目中四個(gè)選項(xiàng)分析推理.【詳解】不妨假定兩個(gè)平行的面是上下底面，并且必須是6個(gè)面，顯然六棱柱和六棱臺(tái)不滿足要求，正方體要求各棱相等，題目中沒有給出這個(gè)條件，也無法證得，不滿足要求，而四棱柱滿足要求.故選：A.4．已知、、三點(diǎn)共線，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出、，可知，利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)?/span>、、，則，，因?yàn)?/span>、、三點(diǎn)共線，則，所以，即．故選：C.5．已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且，則是（    ）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．鈍角三角形【答案】D【分析】正弦定理和兩角和的正弦公式，化簡得到，進(jìn)而得到，得到，即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，由正弦定理得，又因?yàn)?/span>，可得，所以，因?yàn)?/span>，可得，所以，又因?yàn)?/span>，所以，所以為鈍角三角形.故選：D.6．如圖①，這是一個(gè)小正方體的側(cè)面展開圖，將小正方體從如圖②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格、第6格，這時(shí)小正方體正面朝上的圖案是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正方體的側(cè)面展開圖找出相對(duì)面，再由其特征得到結(jié)果.【詳解】由圖①可知，“同心圓”和“圓”相對(duì)，“加號(hào)”和“箭頭”相對(duì)，“心形”和“星星”相對(duì)．由圖②可得，小正方體從如圖②所示的位置翻到第6格時(shí)正面朝上的圖案是．故選：C.7．如圖，一艘船向正北方向航行，航行速度為每小時(shí)海里，在處看燈塔在船的北偏東的方向上.1小時(shí)后，船航行到處，在處看燈塔在船的北偏東的方向上，則船航行到處時(shí)與燈塔之間的距離為（    ）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】B【分析】確定，，根據(jù)正弦定理得到，解得答案.【詳解】，，，，則，即，，故選：B8．已知復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程（，）的一個(gè)根，若復(fù)平面內(nèi)滿足的點(diǎn)的集合為圖形，則圍成的面積為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由是方程的根求出，，然后由復(fù)數(shù)減法的幾何意義求解即可.【詳解】∵是關(guān)于的方程（，）的一個(gè)根，∴（，），化簡得，∴，解得，∴，如圖所示復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)和表示的點(diǎn)為和，表示的向量為和，則由復(fù)數(shù)減法的幾何意義，復(fù)數(shù)表示的向量為，若，則，∴點(diǎn)的集合圖形是以為圓心，半徑為的圓，∴圍成的面積為.故選：A.9．已知復(fù)數(shù)，，則（    ）A． B．的共軛復(fù)數(shù)為C．復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限 D．復(fù)數(shù)為純虛數(shù)【答案】AD【分析】利用復(fù)數(shù)的模長公式可判斷A選項(xiàng)；利用共軛復(fù)數(shù)的定義可判斷B選項(xiàng)；利用復(fù)數(shù)的乘法以及復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷C選項(xiàng)；利用復(fù)數(shù)的除法以及復(fù)數(shù)的概念可判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?/span>，，則，，故A正確；的共軛復(fù)數(shù)為，故B錯(cuò)誤；，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故C錯(cuò)誤；為純虛數(shù)，故D正確．故選：AD. 二、多選題10．在△ABC中，，，，，E為AC的中點(diǎn)，則（    ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用向量的線性運(yùn)算可得AB選項(xiàng)正誤；利用向量的數(shù)量積公式可得CD選項(xiàng)正誤.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，故A錯(cuò)誤；由向量加法的三角形法則，可得，故B正確；由數(shù)量積公式得：，故C錯(cuò)誤； ，故D正確．故選：BD11．已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若，，，滿足此條件的三角形只有一個(gè)，則x的值可能為（    ）A． B．2 C． D．3【答案】ABC【分析】由正弦定理及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可判定結(jié)果.【詳解】由正弦定理得，則，又，且滿足條件的三角形只有一個(gè)，即x有唯一的角與其對(duì)應(yīng)，所以，故．故選：ABC．12．設(shè)O為△ABC的外心（三角形外接圓的圓心），，，，若AM為∠BAC的平分線，則（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算律求解.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)分別為，因?yàn)?/span>O為△ABC的外心，所以，因?yàn)?/span>，，AM為∠BAC的平分線，所以，則，所以．故選:BC. 三、填空題13．如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形，且，，，則該平面圖形的高為________．【答案】【分析】由直觀圖與平面圖形的關(guān)系還原即可.【詳解】由直觀圖可得如圖所示的平面圖，在直角梯形中，，則該平面圖形的高為．故答案為：.【點(diǎn)睛】四、雙空題14．古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德是世界上公認(rèn)的三位最偉大的數(shù)學(xué)家之一，其墓碑上刻著他認(rèn)為最滿意的一個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)——圓柱容球定理．如圖，一個(gè)“圓柱容球”的幾何圖形，即圓柱容器里放了一個(gè)球，該球頂天立地，四周碰邊（即圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑），則該球與圓柱的體積之比為________，該球與圓柱的表面積之比為________．【答案】          【分析】由題意可設(shè)球的半徑為r，則圓柱的底面半徑為r，高為2r，再利用球體和柱體的體積和表面積公式計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)球的半徑為r，則圓柱的底面半徑為r，高為2r，所以，．故答案為：；. 五、填空題15．已知M為線段AB上的任意一點(diǎn)，O為直線AB外一點(diǎn)，A關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為C，B關(guān)于點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)為D，若，則________．【答案】【分析】以為基底，利用A，B，M三點(diǎn)共線求解.【詳解】因?yàn)?/span>A關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為C，所以， ， ，又B關(guān)于點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)為D，所以，又，所以，因?yàn)?/span>A，B，M三點(diǎn)共線，所以，即 ；故答案為：16．如圖，某公園內(nèi)有一個(gè)邊長為的正方形區(qū)域，點(diǎn)處有一個(gè)路燈，，，現(xiàn)過點(diǎn)建一條直路分別交正方形區(qū)域兩邊，于點(diǎn)和點(diǎn)，若對(duì)五邊形區(qū)域進(jìn)行綠化，則此綠化區(qū)域面積的最大值為________．【答案】【分析】設(shè)和的長，使的面積最小，即可使五邊形面積最大.【詳解】設(shè)，，（，），∵， ，∴，∴的面積為，的面積為，∵的面積，∴，即∵，，∴由基本不等式得，解得，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，∴的面積的最小值為，∴五邊形面積的最大值．故答案為：. 六、解答題17．已知復(fù)數(shù).(1)若為實(shí)數(shù)，求的值；(2)若為純虛數(shù)，求的值；(3)若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，求的取值范圍.【答案】(1)或(2)2(3) 【分析】若為實(shí)數(shù)，則虛部為0，列出方程求解即可；若為純虛數(shù)，則實(shí)部為0，虛部不為0，列出方程組求解即可；若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，則實(shí)部大于0，虛部小于0，列出不等式組求解即可。【詳解】（1）若為實(shí)數(shù)，則虛部為0，所以，解得或（2）若為純虛數(shù)，則實(shí)部為0，虛部不為0，所以解得（3）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，則實(shí)部大于0，虛部小于0，所以解得18．已知平面向量，，，且．(1)求的坐標(biāo)；(2)求向量在向量上的投影向量的模．【答案】(1)(2) 【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義，投影向量的定義和坐標(biāo)運(yùn)算規(guī)則求解.【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)?/span> ，所以，又，解得，，所以；（2），所以， 則向量在向量上的投影向量的模為；綜上，，向量在向量上的投影向量的模為5.19．如圖，在直角梯形中，，，，，以邊所在的直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的面圍成一個(gè)幾何體．(1)求該幾何體的表面積；(2)一只螞蟻在形成的幾何體上從點(diǎn)繞著幾何體的側(cè)面爬行一周回到點(diǎn)，求螞蟻爬行的最短距離．【答案】(1)(2) 【分析】（1）旋轉(zhuǎn)后所得幾何體為圓臺(tái)，由圓臺(tái)表面積公式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）將圓臺(tái)側(cè)面沿母線展開求解即可.【詳解】（1）如圖所示，滿足題意的直角梯形，以邊所在的直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周，形成一個(gè)上底面半徑為，下底面半徑，母線長的圓臺(tái)，其表面積為.（2）將圓臺(tái)的側(cè)面沿母線展開，得到如圖所示的一個(gè)扇環(huán)，∵圓臺(tái)上下底面半徑的關(guān)系為，∴，∴，又∵，∴，，設(shè)，則的弧長，∴，連接，取線段中點(diǎn)，連接，則，在中，，，∴，∴螞蟻從點(diǎn)繞著圓臺(tái)的側(cè)面爬行一周回到點(diǎn)的最短路徑即為線段，.∴螞蟻爬行的最短距離為．20．趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家，他為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成）．類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三角形與中間一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)較大的等邊三角形．已知．(1)證明：F為AD的中點(diǎn)；(2)求向量與夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）由得，再根據(jù)全等三角形性質(zhì)可得，從而可得，繼而得出E為CF的中點(diǎn)，F為AD的中點(diǎn)，從而得證.（2）設(shè)，由向量的線性運(yùn)算可得，分別求出的值，由向量與夾角的余弦值為得出結(jié)論.【詳解】（1）證明：因?yàn)?/span>，所以由正弦定理得．又因?yàn)?/span>，所以，所以，即E為CF的中點(diǎn)，所以F為AD的中點(diǎn).（2）設(shè)，，所以，則，所以．又，所以向量與夾角的余弦值為．21．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．(1)求角C；(2)記的面積為S，△ABC的周長為T，若，求的取值范圍．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用正弦定理角化邊，再由余弦定理求解作答.（2）根據(jù)已知結(jié)合三角形面積公式求出的函數(shù)關(guān)系，再利用均值不等式求解作答.【詳解】（1）在中，由正弦定理及，得，由余弦定理得，，所以．（2）由（1）知，，即，于是，因?yàn)?/span>，即有，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，因此，有，所以的取值范圍為.22．如圖，在平面四邊形ABCD中，，．(1)若，，，求△ACD的面積；(2)若，，求的最大值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）先用余弦定理求出 ，再利用面積公式求解；（2）設(shè)，運(yùn)用正弦定理分別表示出 ，再利用恒等變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】（1）在中，，因?yàn)?/span>，所以，所以的面積；（2）設(shè)， ，則，．在中，，則，在 中，，則，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值；綜上，的面積為 ，的最大值. 

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