2022-2023學(xué)年廣東省廣州市天河區(qū)第八十九中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知是第二象限角，則點(diǎn)在（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】由是第二象限角，可得，即可得答案.【詳解】解：因?yàn)?/span>是第二象限角，所以，所以在第三象限.故選：C.2．設(shè)，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示列式計(jì)算.【詳解】根據(jù)向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，得.故選：A3．已知為虛數(shù)單位，則（    ）.A． B．C． D．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡可得結(jié)果.【詳解】，故選：C.4．（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】解：因?yàn)?/span>.故選：D.5．在中，若，，，則等于（    ）A． B．或 C． D．或【答案】D【分析】利用正弦定理以及三角形內(nèi)角的范圍計(jì)算求解.【詳解】由正弦定理可得，，化簡得，又因?yàn)?/span>，且，所以或.故選：D6．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（    ）A．向左平移個(gè)單位長度 B．向右平移個(gè)單位長度C．向左平移個(gè)單位長度 D．向右平移個(gè)單位長度【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)平移變換原則直接判斷即可.【詳解】，只需將的圖象向右平移個(gè)單位長度即可.故選：B.7．下列命題正確的是（    ）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若與是單位向量，則【答案】B【分析】運(yùn)用數(shù)量積的運(yùn)算可判斷A項(xiàng)、D項(xiàng)，對等式兩邊同時(shí)平方可判斷B項(xiàng)，由零向量與任意向量共線可判斷C項(xiàng).【詳解】對于A項(xiàng)，∵，∴，又∵∴或，故A項(xiàng)不成立；對于B項(xiàng)，∵，∴，即：，∴，故B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，因?yàn)榱阆蛄颗c任意向量共線，例如：，，，則滿足，，但不滿足，故C項(xiàng)不成立；對于D項(xiàng)，∵，，∴，又∵不確定，∴的值不確定，故D項(xiàng)不成立.故選：B.8．已知菱形ABCD邊長為2，∠B＝，點(diǎn)P滿足＝λ，λ∈R，若·＝－3，則λ的值為(　　)A．  B．－ C．  D．－【答案】A【分析】根據(jù)向量的基本定理，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算公式，建立方程即可得到結(jié)論．【詳解】法一：由題意可得·＝2×2cos＝2，·＝(＋)·(－)＝(＋)·[(－)－]＝(＋)·[(λ－1)·－]＝(1－λ) 2－·＋(1－λ)··－2＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4＝－6λ＝－3，∴λ＝，故選A.法二：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則B(2,0)，C(1，)，D(－1，)．令P(x,0)，由·＝(－3，)·(x－1，－)＝－3x＋3－3＝－3x＝－3得x＝1.∵＝λ，∴λ＝.故選A.【點(diǎn)睛】1.已知向量a，b的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)形式求解．設(shè)a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則a·b＝a1b1＋a2b2.2.通過建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)形式計(jì)算. 二、多選題9．設(shè)復(fù)數(shù)，（為虛數(shù)單位），則下列結(jié)論正確的為（    ）A．是純虛數(shù) B．對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念判斷A；算出判斷B；算出判斷C；求出判斷D.【詳解】對于A：，其實(shí)部為零，虛部不為零，是純虛數(shù)，A正確；對于B：，其在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限，B錯(cuò)誤；對于C：，則，C錯(cuò)誤；對于D：，則，D正確.故選：AD10．下列各式中，結(jié)果為零向量的是（    ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)向量的加法和減法運(yùn)算，對四個(gè)選項(xiàng)逐一計(jì)算，即可得正確答案.【詳解】對于選項(xiàng)：，選項(xiàng)不正確；對于選項(xiàng)： ，選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)：，選項(xiàng)不正確；對于選項(xiàng)：選項(xiàng)正確.故選：BD【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.11．下列等式成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用二倍角的余弦公式即可判斷A；利用二倍角的正弦公式即可判斷B；利用兩角和的正弦公式即可判斷C；利用兩角差的正切公式即可判斷D.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，故C錯(cuò)誤；對于D，，故D正確.故選：ABD.12．在中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，已知， ，且，則A． B． C． D．【答案】AD【分析】利用正弦定理邊化角，再結(jié)合余弦定理即可求解.【詳解】.整理可得: 可得 為三角形內(nèi)角, 故A正確，B錯(cuò)誤.解得 ,由余弦定理得 解得, 故C錯(cuò)誤，D正確.故選: AD.【點(diǎn)睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理實(shí)現(xiàn)“邊化角”，二是利用余弦定理實(shí)現(xiàn)“角化邊”. 三、填空題13．已知本次數(shù)學(xué)考試總時(shí)間為2小時(shí)，你在奮筆疾書沙沙答題，分針滴答滴答忙著轉(zhuǎn)圈.現(xiàn)在經(jīng)過了1小時(shí)，則此時(shí)分針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)是 _______．【答案】【解析】先明確1小時(shí)是60分鐘，得到分針轉(zhuǎn)過的角度，再算出弧度數(shù).【詳解】因?yàn)?/span>1小時(shí)是60分鐘，分針正好轉(zhuǎn)過一周，所以轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查弧度制，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.14．已知，若，則________.【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等列式求解.【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)相等，列式得，解得，所以.故答案為：15．已知，，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為___________.【答案】【分析】利用投影向量的定義化簡即可求解.【詳解】解：由題意可知，又因?yàn)?/span>，所以在方向上的投影向量為.故答案為：16．如圖，在平面四邊形中，．若點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_________． 【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)條件找出，，且與的夾角為，與的夾角為，從而根據(jù)向量的加法法則和減法的定義寫出，然后表示為關(guān)于的二次函數(shù)，通過求二次函數(shù)的最小值即可解決問題.【詳解】延長交于點(diǎn)，因?yàn)?/span>，所以，，在中，，，所以，在中，，，所以，所以，不妨設(shè)，則，且與的夾角為，與的夾角為，則，所以時(shí)，取最小值.故答案為：. 四、解答題17．已知復(fù)數(shù).(1)若在復(fù)平面中所對應(yīng)的點(diǎn)在直線上，求的值；(2)求的取值范圍.【答案】(1)；(2) 【分析】（1）化間，得在復(fù)平面中所對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，代入直線計(jì)算即可；（2）代入模長公式表示出，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值即可.【詳解】（1）解：化簡得，所以在復(fù)平面中所對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為：，又因?yàn)榇它c(diǎn)在直線上，所以，解得；（2）解：因?yàn)?/span>，所以的取值范圍為.18．已知，均為銳角，，.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2) 【分析】運(yùn)用二倍角公式、同角三角函數(shù)平方關(guān)系、配湊角及差角公式求解即可.【詳解】（1）由題意知，，（2）∵、為銳角，∴，又∵，，∴，，∴.19．設(shè)x，，向量，，，且，．(1)求x，y的值；(2)求的值．【答案】(1)，(2)10 【分析】（1）根據(jù)向量垂直、平行的坐標(biāo)表示即可求解；（2）由（1）知，從而計(jì)算，再根據(jù)模長的坐標(biāo)公式即可求解.【詳解】（1）若，則，且，得且.（2）由（1）可知，，則，則.20．已知，，．（1）求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】（1）最小正周期為，單調(diào)減區(qū)間為；（2）最大值為3，最小值為0．【分析】（1）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算化簡，再利用整體的思想.（2）根據(jù)（1）的結(jié)果及的范圍求出的范圍，從而計(jì)算出函數(shù)的最值.【詳解】解：，，由，的最小正周期，由，得：，的單調(diào)遞減區(qū)間為，；由可得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值為當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值為故得函數(shù)在區(qū)間上的最大值為3，最小值為0．21．由于2020年1月份國內(nèi)疫情爆發(fā)，經(jīng)濟(jì)活動(dòng)大范圍停頓，餐飲業(yè)受到重大影響.3月份復(fù)工復(fù)產(chǎn)工作逐步推進(jìn)，居民生活逐步恢復(fù)正常.李克強(qiáng)總理在6月1日考察山東煙臺一處老舊小區(qū)時(shí)提到，地?cái)偨?jīng)濟(jì)?小店經(jīng)濟(jì)是就業(yè)崗位的重要來源，是人間的煙火，和“高大上”一樣，是中國的生機(jī).某商場經(jīng)營者陳某準(zhǔn)備在商場門前“擺地?cái)?/span>”，經(jīng)營冷飲生意.已知該商場門前是一塊角形區(qū)域，如圖所示，其中，且在該區(qū)域內(nèi)點(diǎn)處有一個(gè)路燈，經(jīng)測量點(diǎn)到區(qū)域邊界、的距離分別為，，（m為長度單位）.陳某準(zhǔn)備過點(diǎn)修建一條長椅（點(diǎn)，分別落在、上，長椅的寬度及路燈的粗細(xì)忽略不計(jì)），以供購買冷飲的人休息.(1)求點(diǎn)到點(diǎn)的距離；(2)為優(yōu)化經(jīng)營面積，當(dāng)等于多少時(shí)，該三角形區(qū)域面積最??？并求出面積的最小值.【答案】(1)；(2)當(dāng)時(shí)，面積取最小值. 【分析】（1）連接，在中，由余弦定理求解的值；（2）由三角形面積公式和，可推出，再結(jié)合基本不等式求解的最小值，從而求解出面積的最小值.【詳解】（1）連接，在中，因?yàn)?/span>，，，所以，由余弦定理得，，所以，即點(diǎn)到點(diǎn)的距離為.（2）由，，，化簡得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，，故當(dāng)時(shí)，三角形面積最小，最小值為.22．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且滿足．(1)求證：；(2)求的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)． 【分析】（1）先利用余弦定理化簡已知條件可得，再利用正弦定理化邊為角，即可證明（2）消元，將要求取值范圍的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為，利用第一問得出的結(jié)論求出角的取值范圍，從而得到的取值范圍，最后應(yīng)用對勾函數(shù)的單調(diào)性即可求解【詳解】（1）由余弦定理得，∵，∴∴∴，由正弦定理得，∴，∴，∵，∴，∴，∴（2）由（1）得，∴，∵，又，∴，∴，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，∴的取值范圍為． 

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