2022-2023學年四川省德陽市第五中學高二下學期4月月考數(shù)學（理）試題 一、單選題1．復數(shù)，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算法則即可得到答案.【詳解】由題意得，故選：B.2．在等比數(shù)列中，已知，則等于（    ）A．128 B．64 C．64或 D．128或【答案】D【分析】由等比數(shù)列的性質可得，求出的值，再結合條件求出公比，進而即得.【詳解】由等比數(shù)列的性質可得，∴或，設數(shù)列的公比為，因為，當時，，即，則；當時，，即，則.故選：D .3．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（    ）A． B．C．， D．【答案】B【分析】先求出函數(shù)的定義域，再對函數(shù)求導，然后由導數(shù)大于零，可求出函數(shù)的增區(qū)間.【詳解】函數(shù)的定義域為，由，得，令，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故選：B.4．已知函數(shù)，在上任取一個實數(shù)x，使得的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，再利用幾何概型的概率公式即可得解.【詳解】由，得，則所求概率.故選：A.5．圓錐側面展開圖扇形的圓心角為60°，底面圓的半徑為8，則圓錐的側面積為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】運用扇形的弧長公式及圓錐的側面積公式計算即可.【詳解】設圓錐的半徑為r，母線長為l，則，由題意知，，解得：，所以圓錐的側面積為.故選：A.6．已知平面向量，若，則（    ）A． B．1 C．或1 D．0或1【答案】C【分析】由可得，求解即可【詳解】若，則，解得或.故選：C7．命題：已知一條直線a及兩個不同的平面，，若，則“”是“”的充分條件；命題：有兩個面相互平行，其余各面均為梯形的多面體是棱臺．則下列為真命題的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】確定是真命題，是假命題，再依次判斷每個選項得到答案.【詳解】若，，則，充分性；若，，不能得到，不必要，故是真命題.棱臺的側棱延長線需相交于一點，故是假命題.故為假命題，為真命題，為假命題，為假命題.故選：B8．已知函數(shù)的圖象如圖所示，為了得到的圖象，只需把的圖象上所有點（    ）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【答案】A【分析】依據(jù)圖象可知，可得，然后代入點計算可得，最后根據(jù)平移知識可得結果.【詳解】有圖象可知：，則所以，將點代入解析式可得由圖象可知：，又，所以令，所以，只需將函數(shù)向左平移個單位長度則可得到的圖象，故選：A9．我國古代數(shù)學典籍《九章算術》卷九“勾股”中有一測量問題：“今有立木，系索其末，委地三尺.引索卻行，去本八尺而索盡，問索長幾何?這個問題體現(xiàn)了古代對直角三角形的研究，現(xiàn)有一豎立的木頭柱子，高4米，繩索系在柱子上端，牽著繩索退行，當繩索與底面夾角為75°時繩索未用盡，再退行米繩索用盡（繩索與地面接觸），則繩索長為（   ）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】依題意畫出圖形，利用兩角差的正切公式及銳角三角函數(shù)求出，最后利用勾股定理計算可得.【詳解】解：依題意可得如下圖形：則，，，所以，所以，所以，所以，所以繩索長為米.故選：B10．已知，為正實數(shù)，直線與曲線相切，則的最小值是（    ）A．6 B． C．8 D．【答案】C【分析】設切點為（m，n），求出曲線對應函數(shù)的導數(shù)，可得切線的斜率，代入切點坐標，解方程可得n＝0，進而得到2a+b＝1，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值．【詳解】設切點為（m，n），y＝ln（x+b）的導數(shù)為，由題意可得=1，又n＝m﹣2a，n＝ln（m+b），解得n＝0，m＝2a，即有2a+b＝1，因為a、b為正實數(shù)，所以，當且僅當時取等號，故的最小值為8．故選：C．11．橢圓的左，右焦點為，且，點P是橢圓C上異于左、右端點的一點，若M是的內(nèi)心，且，則實數(shù)（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】設的內(nèi)切圓半徑為，由可得，進而得到，由可得，同除以即可求解.【詳解】設的內(nèi)切圓半徑為，則 ，，，可得 .，解得.又因為，所以，即，所以，即，解得（舍去負值），所以.故選：A12．已知，若關于的方程有三個不同的實根，且，則的值為（    ）A． B． C． D．1【答案】D【分析】設，由已知可得方程組有三組解，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，由此確定的解，由此確定方程的解的特征，再求的值.【詳解】設，由已知方程組有三組解，又函數(shù)的定義域為，導函數(shù)為，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且時，，當時，，當時，，當時，，當，時，，由此可得函數(shù)的大致圖象如下：所以當時，方程沒有解，當時，方程有兩個解，當或時，方程有一個解，又方程至多有兩個不相等的解，由已知可得，方程必有兩個解，且其中一個解，若另一個解，則，，矛盾，若另一個解，則，，矛盾，故另一個解，且，因為，所以，，所以，故選：D.【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵在于通過換元將條件轉化為方程組有三組解，結合二次方程性質和函數(shù)的性質和圖象確定的關系. 二、填空題13．_____【答案】2【分析】應用微積分基本定理即可求值.【詳解】.故答案為：214．已知復數(shù)為純虛數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則__________.【答案】【分析】由于復數(shù)為純虛數(shù)，所以可得，從而可求出的值，進而可求得答案【詳解】根據(jù)已知得，所以，于是.故答案為：15．若點是曲線上的點，則的最小值為_________．【答案】/【分析】令，不妨設，，代入可得，由有最大值得到有最小值，從而可解.【詳解】令，則原問題轉化為求解的最小值，不妨設，，由題意可得：，即整理可得：，所以當時，有最大值，即有最小值，所以可得的最小值是.故答案為：16．在《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，在鱉臑中，平面，，，已知動點從點出發(fā)，沿外表面經(jīng)過棱上一點到點的最短距離為，則該棱錐的外接球的體積為______. 【答案】【分析】將沿翻折到與共面得到平面四邊形如圖1所示，設，利用余弦定理求出，將三棱錐補成長方體如圖2所示，該棱錐的外接球即為長方體的外接球，求出外接球的半徑，即可求出其體積.【詳解】解：將沿翻折到與共面得到平面四邊形如圖1所示，設，即，由題意得，在中，由余弦定理得即即，解得或（舍去），將三棱錐補成長方體如圖2所示，該棱錐的外接球即為長方體的外接球，則外接球的半徑，所以外接球的體積.故答案為： 三、解答題17．已知函數(shù)在處取得極值.（1）求實數(shù)的值；（2）當時，求函數(shù)的最小值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求導，根據(jù)極值的定義可以求出實數(shù)的值；（2）求導，求出時的極值，比較極值和之間的大小的關系，最后求出函數(shù)的最小值.【詳解】（1），函數(shù)在處取得極值，所以有；（2）由（1）可知：，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，故函數(shù)在處取得極大值，因此，，，故函數(shù)的最小值為.【點睛】本題考查了求閉區(qū)間上函數(shù)的最小值，考查了極值的定義，考查了數(shù)學運算能力.18．某學校為學生開設了一門模具加工課，經(jīng)過一段時間的學習，擬舉行一次模具加工大賽，學生小明?小紅打算報名參加大賽.賽前，小明?小紅分別進行了為期一周的封閉強化訓練，下表記錄了兩人在封閉強化訓練期問每天加工模具成功的次數(shù)，其中小明第7天的成功次數(shù)忘了記錄，但知道，. 第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天序號1234567小明成功次數(shù)162020253036小紅成功次數(shù)16222526323535(1)求這7天內(nèi)小明成功的總次數(shù)不少于小紅成功的總次數(shù)的概率；(2)根據(jù)小明這7天內(nèi)前6天的成功次數(shù)，求其成功次數(shù)關于序號的線性回歸方程，并估計小明第七天成功次數(shù)的值.參考公式：回歸方程中斜率與截距的最小二乘估計公式分別為參考數(shù)據(jù)：.【答案】(1)(2)，小明第七天成功次數(shù)為 【分析】（1）根據(jù)古典概型算算即可；（2）先利用最小二乘法求出回歸方程，再令即可得解.【詳解】（1）因為，且，所以的取值共有25種情況，、分別表示小明、小紅第i天成功次數(shù)，又當小明成功的總次數(shù)不少于小紅成功的總次數(shù)時，在，即，得，所以小明成功的總次數(shù)不少于小紅成功的總次數(shù)時，的取值共有17情況，所以這7天內(nèi)小明成功的總次數(shù)不少于小紅成功的總次數(shù)的概率為；（2）由題設可知，，所以，所以關于序號的線性回舊方程為.當時，，估計小明第7天成功次數(shù)的值為38.19．如圖，在直三棱柱中，，，，M是的中點，.(1)求的長；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）證明，再利用相似三角形求解；（2）證明為直線與平面所成角，再解三角形求解.【詳解】（1）解：取中點，連接，，則，∵平面ABC，∴，又，平面，∴平面，故平面，AN即為AM在平面內(nèi)的射影，又，∴，故，∴，而，∴；（2）解：連接，由（1）知平面，故為直線與平面所成角，，，∴，即所求角的正弦值為.20．在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線的方程為.（1）求曲線的直角坐標方程；（2）設曲線與直線交于點，點的坐標為（3，1），求.【答案】（1）（2）【解析】利用極坐標與直角坐標的互化公式:即可求解;聯(lián)立直線的方程和曲線的方程,整理化簡得到關于的一元二次方程,由題知點在直線上,利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義及一元二次方程中的韋達定理即可求出的值.【詳解】因為曲線的方程， ∴， ∴，化簡得,曲線的直角坐標方程為：.（2）把直線代入曲線得，整理得，.∵，所以方程有兩個不等實根，設為方程的兩個實數(shù)根，由韋達定理可得,，，∴為異號，又∵點（3，1）在直線上，由參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義可得,.所以.【點睛】本題考查極坐標與直角坐標的互化、參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義等知識，考查學生的運算能力、推理論證能力；其中正確掌握參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是求解本題的關鍵;屬于中檔題.21．在圓上任取一點P，過點P作y軸的垂線，垂足為D，點Q滿足．當點P在圓O上運動時，點Q的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)設曲線C與y軸正半軸交點為A，不過點A的直線l與曲線C交于M，N兩點，若，試探究直線l是否過定點．若過定點，求出該點的坐標；若不過定點，請說明理由．【答案】(1)(2)恒過點，理由見解析 【分析】（1）設點，由得出，繼而由圓的方程得出曲線的方程；（2）討論斜率存在和不存在兩種情況，由得出，結合韋達定理以及數(shù)量積公式得出，進而得出定點.【詳解】（1）設點∵，∴∵，，則曲線的方程為（2），設，由∴當直線軸時，△MAN為鈍角三角形，且，不滿足題意．∴直線l的斜率存在．設直線l的方程為：由，化簡得：∴∴整理得，∵，∴∴直線l的方程為：，恒過點．【點睛】關鍵點睛：對于第（2）問，關鍵是聯(lián)立直線和橢圓的方程，由韋達定理結合數(shù)量積公式得出，進而由斜截式方程得出定點.22．已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)的零點個數(shù)；（2）若，求的值．【答案】（1）有且只有一個零點；（2）．【分析】（1）利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，結合零點存在定理可得出結論；（2）分析可知不等式對任意的恒成立，令，，可得出，對實數(shù)的取值進行分類討論，利用導數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，結合可求得實數(shù)的值.【詳解】（1）因為，該函數(shù)的定義域為，且，       令，所以.當時，，所以在上單調(diào)遞增；當時，，所以在上單調(diào)遞減；當時，，所以在上單調(diào)遞增；            因為，，，所以有且只有一個零點，即有且只有一個零點；（2）因為，所以，則， 即，令，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，令，則對任意的恒成立，因為，，且.①若，則對任意的恒成立，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，此時函數(shù)無最小值，不合乎題意；②若，由，可得，此時函數(shù)單調(diào)遞減，由，可得，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，所以，.綜上所述，.【點睛】方法點睛：利用導數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導，根據(jù)導數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質作出圖象，然后將問題轉化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉化與化歸思想、數(shù)形結合思想和分類討論思想的應用；（2）構造新函數(shù)法：將問題轉化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題. 

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