2022-2023學(xué)年四川省綿陽南山中學(xué)高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題1．下列語句是命題的是（    ）A．二次函數(shù)的圖象太美啦！ B．這是一棵大樹C．求證： D．3比5大【答案】D【分析】根據(jù)命題的定義逐一判斷即可.【詳解】能夠判斷成立或不成立的陳述句叫命題，只有選項D能夠判斷出真假，3比5大顯然不成立，是假命題，故選：D2．設(shè)命題，則為A． B．C． D．【答案】C【詳解】特稱命題的否定為全稱命題，所以命題的否命題應(yīng)該為，即本題的正確選項為C. 3．為空間的一組基底，則下列各項中能構(gòu)成基底的一組向量是（    ）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【分析】確定，，排除ABD，得到答案.【詳解】對選項A：，向量共面，故不能構(gòu)成基底，錯誤；對選項B：，向量共面，故不能構(gòu)成基底，錯誤；對選項C：假設(shè)，即，這與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，可以構(gòu)成基底，正確；對選項D：，向量共面，故不能構(gòu)成基底，錯誤；故選：C4．有下列四個命題，其中是假命題的是（    ）A．“若，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題B．“全等三角形的面積相等”的否命題C．“若，則有實根”的逆否命題D．“等邊三角形的三個內(nèi)角相等”逆命題【答案】B【分析】根據(jù)逆命題、否命題、逆否命題的定義進行判斷即可.【詳解】，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題為x，y互為相反數(shù)，則，這顯然是真命題；全等三角形的面積相等”的否命題是不全等三角形的面積不相等，這顯然是假命題；，則有實根”的逆否命題是沒有實根，則，由一元二次方程根的判別式得，所以該命題是真命題，等邊三角形的三個內(nèi)角相等”逆命題是三個內(nèi)角相等的三角形是等邊三角形，這顯然正確，故選：B5．已知空間向量，，（其中x、），如果，則（    ）A．1 B．2 C．-2 D．-1【答案】B【分析】根據(jù)空間向量共線的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】因為，所以有，故選：B6．設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，若，則（    ）A．3 B．6 C．8 D．12【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義進行求解.【詳解】，，.故選：D.7．對于命題p：，命題q：方程有兩個同號且不等實根，則p是q的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】先化簡命題p，q，分別求得m的范圍，進而得到二者間的邏輯關(guān)系.【詳解】方程有兩個同號且不等實根，則，解之得，則命題q：，由，可得命題，則p：，則p是q的必要不充分條件.故選：B8．已知命題p：，.命題q：，，若為假命題，則實數(shù)m取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別求出都為假命題的條件，再取交集即可求解.【詳解】若為假命題，則都為假命題，由p：，為假命題，得，，得；由q：，為假命題，得，，，得，或，綜上可知，.故選：A.9．已知為空間任意一點，四點共面，但任意三點不共線．如果，則的值為（    ）A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】A【分析】由題設(shè)條件推得，再由四點共面可求得【詳解】因為，所以由得，即，因為為空間任意一點，滿足任意三點不共線，且四點共面，所以，故.故選：A.10．已知四面體O－ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上一點，且OG＝3GG1，若，則為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】連接AG1并延長，交BC于點E，利用向量加減、數(shù)乘幾何意義用表示出，即可得答案.【詳解】如圖所示，連接AG1并延長，交BC于點E，則點E為BC的中點，，則，由題設(shè)，，所以.故選：A11．如圖，正方體的棱長為1，E，F分別是棱BC，上的點，如果平面ABF，則CE與DF的長度和為（    ）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】設(shè)平面與交于點，連接，，確定得到，計算得到答案.【詳解】設(shè)平面與交于點，連接，， 平面平面，平面平面,平面平面則，平面ABF，平面ABF，故，故，易得，所以，易得，故，，故，.故選：C12．如圖所示，多面體，，，且，，兩兩垂直．給出下列四個命題：其中真命題的個數(shù)是（　　）①三棱錐的體積為定值；②經(jīng)過四點的球的直徑為；③直線平面；④直線與所成角是；A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意，構(gòu)造長方體，設(shè)，，，由已知解得，，，對于①，根據(jù)三棱錐的體積公式可判斷；對于②，球面經(jīng)過點、、、兩點的球的直徑即為長方體的對角線長，由此可判斷；對于③，由可判斷；對于④，由已知得即為直線與所成的角，解三角形可判斷；【詳解】由題意，構(gòu)造長方體，如下圖所示，設(shè)，，，則，，，解得，，，，對于①，三棱錐的體積為，故①對；對于②，球面經(jīng)過點、、、兩點的球的直徑即為長方體的對角線長，即為，故②對；對于③，由于，和平面相交，則和平面相交，故③錯．對于④，由于，則即為直線與所成的角，由，則，故④對；故選：C 二、填空題13．已知直線l的方向向量為，平面的法向量為，且，則_______.【答案】5【分析】運用平面向量數(shù)量積計算即可.【詳解】設(shè) ，由題意： ；故答案為：5.14．過點作曲線的切線，則切點的橫坐標為_______.【答案】【分析】設(shè)出切點，利用導(dǎo)數(shù)求得切線斜率，寫出切線方程，根據(jù)其過點，代值求得參數(shù)的值，則問題得解.【詳解】設(shè)切點為，的導(dǎo)數(shù)為，可得切線斜率，由點斜式方程可得切線方程為，代入點可得，解得，故答案為：.15．已知，，且與的夾角為鈍角，則x的取值范圍是______.【答案】【分析】根據(jù)題意得出且與不共線，然后根據(jù)向量數(shù)量積的定義及向量共線的條件即可求出x的取值范圍.【詳解】因為與的夾角為鈍角，所以且與不共線，因為，，所以，且，解得，且，所以的取值范圍是.故答案為：.16．若不等式x2﹣2x+3﹣a＜0成立的一個充分條件是0＜x＜5，則實數(shù)a的取值范圍是_____．【答案】【詳解】∵不等式 成立的一個充分條件是 ，∴當(dāng)時，不等式不等式成立，設(shè) 則滿足 ，即 解得  故答案為 ． 三、解答題17．已知函數(shù).(1)利用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)函數(shù)；(2)求曲線在點處的切線的方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的定義可求得；（2）分析可知點在曲線上，求出的值，利用到導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得所求直線的方程.【詳解】（1）解：因為，所以，.（2）解：因為，故點在曲線上，又因為，所以，曲線在點處的切線的方程為，即.18．設(shè)命題實數(shù)x滿足，命題實數(shù)x滿足．(1)若，且p與q均是真命題，求實數(shù)x的取值范圍；(2)若p是q成立的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由題意解兩個不等式，求其解集的交集即可;（2）求出命題中的范圍，再根據(jù)集合的包含關(guān)系列不等式求解即可【詳解】（1）當(dāng)時，若命題p為真命題，則可化為，解得；若命題q為真命題，則可轉(zhuǎn)化成，解得，∵p與q均是真命題，∴x的取值范圍是；（2）由可得，又，解得，∵p是q的必要不充分條件，∴?，∴（等號不能同時成立），得，當(dāng)時，滿足?，∴a的取值范圍是．19．如圖所示，平行六面體的底面是菱形，，，，，，設(shè)，，．(1)試用，，表示，；(2)求MN的長度．【答案】(1)(2) 【分析】（1）將 當(dāng)作基底，按照向量線性運算的規(guī)則計算即可；（2）運用向量求模的方法計算.【詳解】（1）如圖，連接AM，AN， ， ， ，  ， ；（2）由條件得： ， ， ， ；綜上，，，  .20．設(shè)命題p：若方程有兩根，其中一根大于3一根小于3；命題q：關(guān)于x的不等式的解集為R.若為真，為假，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】或【分析】根據(jù)且命題或命題的真假性質(zhì)，結(jié)合一元二次不等式的解集性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】由p可知：令，則只需，解得，∴p：，由q可知：當(dāng)時，不等式變?yōu)?/span>，恒成立；當(dāng)時，不等式不恒成立；當(dāng)時，只需，解得，故；由上可知：q：.因為為真，為假，所以p、q一真一假，當(dāng)p真q假時，，得，當(dāng)P假q真時，，得綜上所述：或.21．如圖，在三棱錐中，，，為的中點．（1）證明：平面；（2）若點在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值． 【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得PO垂直AC，再通過計算，根據(jù)勾股定理得PO垂直OB，最后根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論；（2）方法一：根據(jù)條件建立空間直角坐標系，設(shè)各點坐標，根據(jù)方程組解出平面PAM一個法向量，利用向量數(shù)量積求出兩個法向量夾角，根據(jù)二面角與法向量夾角相等或互補關(guān)系列方程，解得M坐標，再利用向量數(shù)量積求得向量PC與平面PAM法向量夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾角互余得結(jié)果．【詳解】（1）因為，為的中點，所以，且．連結(jié)．因為，所以為等腰直角三角形，且 ，由知．由知，平面．（2）［方法一］：【通性通法】向量法如圖，以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系 ．由已知得 取平面的法向量．設(shè)，則．設(shè)平面的法向量為．由得 ，可取所以 ．由已知得 ．所以 ．解得(舍去)， ．所以 ．又 ，所以 ．所以與平面所成角的正弦值為．［方法二］：三垂線＋等積法由（1）知平面，可得平面平面．如圖5，在平面內(nèi)作，垂足為N，則平面．在平面內(nèi)作，垂足為F，聯(lián)結(jié)，則，故為二面角的平面角，即．設(shè)，則，在中，．在中，由，得，則．設(shè)點C到平面的距離為h，由，得，解得，則與平面所成角的正弦值為．［方法三］：三垂線＋線面角定義法由（1）知平面，可得平面平面．如圖6，在平面內(nèi)作，垂足為N，則平面．在平面內(nèi)作，垂足為F，聯(lián)結(jié)，則，故為二面角的平面角，即．同解法1可得．在中，過N作，在中，過N作，垂足為G，聯(lián)結(jié)．在中，．因為，所以．由平面，可得平面平面，交線為．在平面內(nèi)，由，可得平面，則為直線與平面所成的角．設(shè)，則，又，所以直線與平面所成角的正弦值為．［方法四］：【最優(yōu)解】定義法如圖7，取的中點H，聯(lián)結(jié)，則．過C作平面的垂線，垂足記為T（垂足T在平面內(nèi)）．聯(lián)結(jié)，則即為二面角的平面角，即，得．聯(lián)結(jié)，則為直線與平面所成的角．在中，，所以．【整體點評】（2）方法一：根據(jù)題目條件建系，由二面角的向量公式以及線面角的向量公式硬算即可求出，是該類型題的通性通法；方法二：根據(jù)三垂線法找到二面角的平面角，再根據(jù)等積法求出點到面的距離，由定義求出線面角，是幾何法解決空間角的基本手段；方法三：根據(jù)三垂線法找到二面角的平面角，再利用線面角的等價轉(zhuǎn)化，然后利用定義法找到線面角解出，是幾何法解決線面角的基本思想，對于該題，略顯麻煩；方法四：直接根據(jù)二面角的定義和線面角的定義解決，原理簡單，計算簡單，是該題的最優(yōu)解．22．如圖，圓臺的軸截面為等腰梯形，，B為底面圓周上異于A，C的點.(1)在平面內(nèi)，過作一條直線與平面平行，并說明理由；(2)設(shè)平面∩平面，與平面QAC所成角為，當(dāng)四棱錐的體積最大時，求的取值范圍.【答案】(1)作圖及理由見解析；(2). 【分析】（1）取中點P，作直線，再利用線面平行的判定推理作答.（2）延長交于點O，作直線，再確定四棱錐體積最大時，點B的位置，然后建立空間直角坐標系，利用空間向量建立線面角正弦的函數(shù)關(guān)系，求出其范圍作答.【詳解】（1）取中點P，作直線，則直線即為所求，取中點H，連接，則有，如圖，在等腰梯形中，，有，則四邊形為平行四邊形，即有，又平面，平面，所以平面.（2）延長交于點O，作直線，則直線即為直線，如圖，過點B作于，因為平面平面，平面平面，平面，因此平面，即為四棱錐的高，在中，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時點與重合，梯形的面積為定值，四棱錐的體積，于是當(dāng)最大，即點與重合時四棱錐的體積最大，，以為原點，射線分別為軸的非負半軸建立空間直角坐標系，在等腰梯形中，，此梯形的高，顯然為的中位線，則，，設(shè)，則設(shè)平面的一個法向量，則，令，得，則有，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，綜上得，所以的取值范圍是.【點睛】思路點睛：求空間角的最值問題，根據(jù)給定條件，選定變量，將該角的某個三角函數(shù)建立起選定變量的函數(shù)，求出函數(shù)最值即可. 

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