2022-2023學(xué)年山西省呂梁市汾陽市第五高級中學(xué)校高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．的展開式中的系數(shù)是（    ）A． B．12 C． D．6【答案】C【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理求展開式的通項(xiàng)即可求解.【詳解】的展開式的通項(xiàng)為： ，令，所以的系數(shù)是：故選：C.2．從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小分隊(duì)，至少有一名女醫(yī)生，則不同的組隊(duì)方案共有（    ）A．140種 B．80種 C．112種 D．74種【答案】D【解析】先求出選3名醫(yī)生的總數(shù)，再減去沒有女醫(yī)生的種數(shù)，即可得答案.【詳解】先求出選3名醫(yī)生的總數(shù)，再減去沒有女醫(yī)生的種數(shù)，∴.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查組合數(shù)的計(jì)算，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意從對立的角度考慮問題.3．從甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中選派三人分別從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀三項(xiàng)不同工作，若其中乙和丙只能從事前兩項(xiàng)工作，其余三人均能從事這三項(xiàng)工作，則不同的選派方案共有A．36種 B．12種 C．18種 D．24種【答案】A【解析】利用分類加法原理，對所選的3人中分三種情況：乙和丙有2人；乙和丙有1人；都沒有；再利用排列數(shù)和組合數(shù)公式計(jì)算，即可得答案.【詳解】利用分類加法原理，對所選的3人中分三種情況：乙和丙有2人，對兩個(gè)人進(jìn)行排列，第三項(xiàng)工作再從乘下的3人中選1人，即；乙和丙有1人，則有2種情況，這個(gè)人可以從兩項(xiàng)工作中任取一項(xiàng)有2種情況，則乘下的兩項(xiàng)工作由3個(gè)人來排列，即；乙和丙都沒有，三項(xiàng)工作就由其他3個(gè)人來進(jìn)行排列，即；∴.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查排列數(shù)和組合數(shù)公式的應(yīng)用，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意分類的標(biāo)準(zhǔn).4．從1，2，3，4，5中先后選兩個(gè)不同的數(shù)，第一個(gè)數(shù)記為，第二個(gè)數(shù)記為，記事件為“是奇數(shù)”，事件為“”，則（    ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】由列舉法可得答案．【詳解】由題知，表示“第一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)且取到的兩數(shù)之和不大于5”，分別有，，，，，共5種情況，即，又，所以．故選：B.5．某人家里有3個(gè)臥室1個(gè)大門，共有4把鑰匙，其中僅有一把能打開大門，但他忘記是哪把鑰匙．如果他每次都隨機(jī)選取一把鑰匙開門，不能打開門時(shí)就扔掉，則他第四次才能打開門的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】題意相當(dāng)于將四把鑰匙排成一列，將大門鑰匙排在第四個(gè)位置的概率,根據(jù)古典概率可得答案.【詳解】由題意知，此人第一、二、三次不能打開門，第四次打開門，相當(dāng)于將四把鑰匙排成一列，將大門鑰匙排在第四個(gè)位置的概率.因此他第四次才能打開門的概率為．故選：C6．的展開式中的系數(shù)為（    ）A．24 B．144 C．-104 D．-60【答案】A【解析】分三種情況討論，出項(xiàng)，出項(xiàng)；出項(xiàng)，出項(xiàng)；出項(xiàng)，出項(xiàng)，即可得答案.【詳解】分三種情況討論：出項(xiàng)，出項(xiàng)；出項(xiàng)，出項(xiàng)；出項(xiàng)，出項(xiàng)；∴，∴的系數(shù)為：24.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理求指定項(xiàng)的系數(shù)，考查函數(shù)與方程思想、分類討論思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.7．有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（    ）A．甲與丙相互獨(dú)立 B．甲與丁相互獨(dú)立C．乙與丙相互獨(dú)立 D．丙與丁相互獨(dú)立【答案】B【分析】根據(jù)獨(dú)立事件概率關(guān)系逐一判斷【詳解】 ，故選：B【點(diǎn)睛】判斷事件是否獨(dú)立，先計(jì)算對應(yīng)概率，再判斷是否成立   8．從裝有個(gè)不同小球的口袋中取出個(gè)小球（），共有種取法．在這種取法中，可以視作分為兩類：第一類是某指定的小球未被取到，共有種取法；第二類是某指定的小球被取到，共有種取法．顯然，即有等式：成立．試根據(jù)上述想法，下面式子（其中）應(yīng)等于 A． B． C． D．【答案】A【詳解】分析：從裝有個(gè)不同小球的口袋中取出個(gè)小球（），共有種取法．在這種取法中，可以視作分為兩類：第一類是某指定的小球未被取到，第二類是某指定的小球被取到，即有等式：成立，題中的式子表示的是從裝有個(gè)球中取出個(gè)球的不同取法數(shù)，從而得到選項(xiàng).詳解：在中，從第一項(xiàng)到最后一項(xiàng)分別表示：從裝有個(gè)白球，個(gè)黑球的袋子里，取出個(gè)球的所有情況取法總數(shù)的和，故答案為從裝有個(gè)球中取出個(gè)球的不同取法數(shù)，故選A.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)球的取法問題，涉及到的是有關(guān)組合數(shù)的性質(zhì)，認(rèn)真分析題中式子的關(guān)系，最后求得結(jié)果. 二、多選題9．甲、乙、丙、丁四名同學(xué)和一名老師站成一排合影留念．若老師站在正中間，則下列選項(xiàng)中恰有8種不同站法的是（    ）A．甲、乙都不與老師相鄰 B．甲、乙都與老師相鄰C．甲與老師不相鄰，乙與老師相鄰 D．甲、乙相鄰【答案】CD【分析】根據(jù)題意，依次分析四個(gè)選項(xiàng)各有幾種不同的站法，即可選出答案.【詳解】對于A，甲、乙只能站左、右兩端，有2種站法，丙、丁在老師相鄰兩邊，有2種站法，所以有種站法，不符合；對于B，同A一樣，有4種站法，不符合；對于C，甲站兩端，有2種站法，乙與老師相鄰，有2種站法，丙、丁站剩下位置，有2種站法，所以有種站法，C符合；對于D，甲、乙要么都在老師左邊，要么都在老師右邊，且甲、乙還可以相互交換，有種站法，丙、丁站剩下兩個(gè)位置，有2種站法，所以共有種站法，D符合．故選：CD. 三、單選題10．設(shè)A，是兩個(gè)事件，且發(fā)生A必定發(fā)生，，給出下列各式，其中正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合和事件、積事件的概念及條件概率公式，即可求解．【詳解】解：發(fā)生必定發(fā)生，（A），（B），故A，D錯(cuò)誤，，故B錯(cuò)誤，，故C正確．故選：C． 四、多選題11．甲和乙兩個(gè)箱子中各有質(zhì)地均勻的9個(gè)球，其中甲箱中有4個(gè)紅球，2個(gè)白球，3個(gè)黑球，乙箱中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球，2個(gè)黑球，先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入到乙箱中，分別以，，表示從甲箱中取出的球是紅球、白球、黑球的事件，再從乙箱中隨機(jī)取出一球，以B表示取出的球是紅球的事件，則（    ）A．B與相互獨(dú)立 B．，，兩兩互斥C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的定義判斷A，根據(jù)互斥事件的定義判斷B，由條件概率公式計(jì)算出概率判斷C，由互斥事件與獨(dú)立事件概率公式計(jì)算概率判斷D．【詳解】事件的發(fā)生與事件的發(fā)生有影響，因此事件的發(fā)生與事件不獨(dú)立，A錯(cuò)；中任何兩個(gè)事件都不可能同時(shí)發(fā)生，因此它們兩兩互斥，B正確；，C正確；，D錯(cuò)．故選：BC．12．為滿足人們對美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改．設(shè)企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系為，用的大小評價(jià)在這段時(shí)間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱．已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系如圖所示，則下列結(jié)論中正確的有（    ）A．在這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)B．在時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)C．在時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)D．甲企業(yè)在，，這三段時(shí)間中，在的污水治理能力最強(qiáng)【答案】ABC【分析】結(jié)合甲乙企業(yè)污水排放量與時(shí)間關(guān)系圖象，利用曲線在區(qū)間的變化率判斷企業(yè)的治污能力，進(jìn)而判斷各選項(xiàng)的正誤即可．【詳解】由題圖可知甲企業(yè)的污水排放量在時(shí)刻高于乙企業(yè)，而在時(shí)刻甲、乙兩企業(yè)的污水排放量相同，故在這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)，故A正確；由題圖知在時(shí)刻，甲企業(yè)在該點(diǎn)的切線斜率的絕對值大于乙企業(yè)的，故B正確；在時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都低于污水達(dá)標(biāo)排放量，故都已達(dá)標(biāo)，故C正確；由題意可知，甲企業(yè)在，，這三段時(shí)間中，在時(shí)的污水治理能力明顯低于時(shí)的，故D錯(cuò)誤．故選：ABC． 五、填空題13．若，且，則用排列數(shù)符號(hào)表示為__________．【答案】【分析】逆用排列數(shù)公式可得結(jié)果.【詳解】從到一共有個(gè)數(shù)相乘，相鄰30個(gè)自然數(shù)相乘，且最大的自然數(shù)是，所以用排列數(shù)符號(hào)表示為．故答案為：14．的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)之和為1，則實(shí)數(shù)_______．（用數(shù)字填寫答案）【答案】【分析】通過給二項(xiàng)式中的賦值1求出展開式的各項(xiàng)系數(shù)和，即可求出．【詳解】解：令，得各項(xiàng)系數(shù)之和為，解得．故答案為：．15．習(xí)近平總書記在“十九大”報(bào)告中指出：堅(jiān)定文化自信，推動(dòng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化創(chuàng)造性轉(zhuǎn)化，“楊輝三角”揭示了二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列規(guī)律，最早在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)歐洲數(shù)學(xué)家帕斯卡在1654年才發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，比楊輝要晚近四百年.“楊輝三角”是中國數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就，激發(fā)起一批又一批數(shù)學(xué)愛好者的探究欲望.如下圖，在由二項(xiàng)式系數(shù)所構(gòu)成的“楊輝三角”中，第10行中從左至右第5與第6個(gè)數(shù)的比值為________.【答案】【解析】第10行的數(shù)就是二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，由此可得．【詳解】由題意第10行的數(shù)就是二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，因此從左至右第5與第6個(gè)數(shù)的比值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)文化，考查二項(xiàng)式系數(shù)與楊輝三角的關(guān)系．掌握二項(xiàng)式定理是解題關(guān)鍵．16．如圖所示，用不同的五種顏色分別為A，，，，五部分著色，相鄰部分不能用同一種顏色，但同一種顏色可以反復(fù)使用，也可不使用，符合這些要求的不同著色的方法共有____．（用數(shù)字填寫答案）【答案】540【分析】利用分步計(jì)數(shù)原理并按AD同色和AD不同色分類討論，即可求得符合這些要求的不同著色的方法數(shù).【詳解】按照的順序依次著色：當(dāng)AD同色時(shí)，不同著色的方法有； 當(dāng)AD不同色時(shí)，不同著色的方法有則符合這些要求的不同著色的方法共有（種）故答案為：540 六、解答題17．設(shè)某廠有甲、乙、丙三個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，已知各車間的產(chǎn)量分別占全廠產(chǎn)量的25%，35%，40%，并且各車間的次品率依次為5%，4%，2%.現(xiàn)從該廠這批產(chǎn)品中任取一件.(1)求取到次品的概率；(2)若取到的是次品，則此次品由三個(gè)車間生產(chǎn)的概率分別是多少？【答案】(1)(2)此次品由甲車間生產(chǎn)的概率為：，由乙車間生產(chǎn)的概率為：，由丙車間生產(chǎn)的概率為： 【分析】（1）根據(jù)全概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求概率.（2）根據(jù)貝葉斯公式，計(jì)算出所求概率.【詳解】（1）取到次品的概率為（2）若取到的是次品，則：此次品由甲車間生產(chǎn)的概率為：.此次品由乙車間生產(chǎn)的概率為：.此次品由丙車間生產(chǎn)的概率為：.18．已知.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值.【答案】（1）945；（2）；（3）【解析】（1）寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，令，即代入通項(xiàng)公式，即可得答案；（2）即展開式的各項(xiàng)系數(shù)和，令，可得結(jié)論．（3）令，再求出和，可得的值．【詳解】（1）∵令，即，∴．（2），即展開式的各項(xiàng)系數(shù)和，在展開式中，令，可得．（3）令，則，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點(diǎn)，通過給二項(xiàng)式的賦值，求展開式的系數(shù)和，可以簡便的求出答案，屬于中檔題．19．（1）把6本不同的書分給3位學(xué)生，每人二本，有多少種方法？（2）由這6個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有多少個(gè)？（3）某旅行社有導(dǎo)游9人，其中3人只會(huì)英語，4人只會(huì)日語，其余2人既會(huì)英語，也會(huì)日語，現(xiàn)從中選6人，其中3人進(jìn)行英語導(dǎo)游，另外3人進(jìn)行日語導(dǎo)游，則不同的選擇方法有多少種？【答案】（1）90；（2）156；（3）92.【分析】（1）將6本書平均分為三組，再分給三位學(xué)生，可得答案;（2）先考慮個(gè)位上的數(shù)字是不是0，因此分為兩類情況考慮，可得答案；（3）分三類情況考慮：會(huì)雙語的導(dǎo)游都不選和選一個(gè)會(huì)雙語的導(dǎo)游和選兩個(gè)會(huì)雙語的導(dǎo)游，求出每種情況的選擇方法，可得答案.【詳解】（1）把6本不同的書分給3位學(xué)生，每人2本，的方法種方法；（2）若個(gè)位是0，則有種，若個(gè)位不是0，先從2?4中選一個(gè)，再從剛選的數(shù)字和0之外的4個(gè)中選1個(gè)放在首位，中間兩位從剩余4個(gè)中選2個(gè)排上即可，共有種，故這6個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)共個(gè)；（3）分類計(jì)數(shù)：若1個(gè)會(huì)雙語的導(dǎo)游都不選，則有種，若恰選1個(gè)會(huì)雙語的導(dǎo)游，則有種，若恰選2個(gè)會(huì)雙語的導(dǎo)游，則有種，故不同的選擇方法有種.20．已知，函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；(2)若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍．【答案】(1)或；(2)或 【分析】（1）分類討論并列出不等式組即可求得不等式的解集；（2）按分類討論，求得不同條件下符合以要求的的取值范圍，進(jìn)而得到函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)的取值范圍.【詳解】（1）時(shí)，，不等式等價(jià)于或解之得或，則不等式的解集為或（2）的根為；的兩根為或當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)1和3，符合要求；當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)1和3和4，不符合要求；當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)1和4，符合要求；當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有1個(gè)零點(diǎn)4，不符合要求.綜上，若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為或．21．某校從學(xué)生文藝部6名成員（4男2女）中，挑選2人參加學(xué)校舉辦的文藝匯演活動(dòng).（1）求男生甲被選中的概率；（2）在已知男生甲被選中的條件下，女生乙被選中的概率；（3）在要求被選中的兩人中必須一男一女的條件下，求女生乙被選中的概率.【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）將所有的基本事件一一列舉出來，從中找出該事件所發(fā)生的基本事件，從而計(jì)算概率；（2）利用條件概率的公式即可計(jì)算結(jié)果；（3）與（2）解法相同.【詳解】（1）記4名男生為A，B，C，D，2名女生為a，b，從6名成員中挑選2名成員，有，，，，，，，，，，，，，，共有15種情況，，記“男生甲被選中”為事件M，不妨假設(shè)男生甲為A事件M所包含的基本事件數(shù)為，，，，共有5種，故．（2）記“男生甲被選中”為事件，“女生乙被選中”為事件，不妨設(shè)女生乙為，則，又由（1）知，故．（３）記“挑選的2人一男一女”為事件，則，“女生乙被選中”為事件，，故．【點(diǎn)睛】本題考查了等可能事件的概率，列舉法求古典概型的概率，條件概率的計(jì)算，屬于中檔題.22．為了預(yù)防流感，某學(xué)校對教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒.已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時(shí)間（小時(shí)）成正比；藥物釋放完畢后，與的函數(shù)關(guān)系式為（為常數(shù)），如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，求：（1）從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時(shí)間（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室，那從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過多少小時(shí)候后，學(xué)生才能回到教室.【答案】（1），（2）【分析】（1）利用函數(shù)圖像，借助于待定系數(shù)法，求出函數(shù)解析式，（2）結(jié)合圖像可知由藥物釋放完畢后的函數(shù)解析式中的可求得結(jié)果【詳解】（1）由圖可知直線的斜率為，所以圖像中線段的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以，解得，所以從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時(shí)間（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式為，（2）因?yàn)樗幬镝尫胚^程中室內(nèi)藥量一直在增加，即使藥量小于0.25毫克，學(xué)生也不能進(jìn)入教室，所以只能當(dāng)藥物釋放完畢，室內(nèi)藥量減少到0.25毫克以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)入教室，即，解得，所以從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過小時(shí)，學(xué)生才能回到教室 

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2020-2021學(xué)年山西省呂梁市汾陽市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）人教A版
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