2022-2023學年山西省大同市陵川縣平城中學高二下學期第一次月考數(shù)學試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】化簡集合，判斷兩個集合之間的關(guān)系即可得答案.【詳解】由題可得，，所以，且?，，.故選：B.2．已知向量，，且，則實數(shù)（    ）A．3 B．1 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量垂直的坐標表示可直接構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由得：，解得：.故選：B.3．在中，角，，的對邊分別為，，，若，且，則角的余弦值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)余弦定理即得．【詳解】由題可得，，試題.故選：C．4．設(shè)為所在平面內(nèi)一點，，則（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用平面向量的線性運算求解作答.【詳解】在中，，.故選：A5．在中，三角形三條邊上的高之比為，則為（    ）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰三角形【答案】A【分析】由題可得三角形三條邊之比為，然后利用余弦定理，求出最大邊所對角的余弦值，即可判斷出結(jié)果.【詳解】因為三角形三條邊上的高之比為，所以三角形三條邊之比為，即，不妨設(shè)，則最大角的余弦值為，因此角為鈍角，三角形為鈍角三角形.故選：A.6．定義在上的偶函數(shù)滿足，且在區(qū)間上遞增，則（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由條件求出函數(shù)的周期，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合條件即得.【詳解】∵定義在R上的偶函數(shù)，所以，又滿足，所以，所以是周期為4的函數(shù)，又函數(shù)在區(qū)間上遞增，所以在區(qū)間上遞減，所以，，因為，，所以，所以，即.故選：B．7．已知是的外心，，，則（    ）A．10 B．9 C．8 D．6【答案】A【分析】根據(jù)三角形外心的性質(zhì)，結(jié)合數(shù)量積的幾何意義以及數(shù)量積運算律，即可求得答案.【詳解】如圖，O為的外心，設(shè)為的中點，則,故,故選：A8．在中，角所對的邊分別為，，，若，則的值為（    ）A．2013 B． C．2029 D．【答案】D【分析】對，利用正、余弦定理整理得，根據(jù)題意結(jié)合三角恒等變換分析運算即可.【詳解】∵，由正弦定理可得：，整理得：，由余弦定理可得：，故.故選：D. 二、多選題9．下列說法中錯誤的是（    ）A．若，，則 B．C．若，則 D．【答案】ABC【分析】根據(jù)共線向量的概念，向量數(shù)量積的概念及運算法則逐項分析即得.【詳解】對于A，若時，，不一定能推出，故A錯誤；對于B，不妨考慮不共線且不互相垂直時，向量與向量不共線，所以不能推出，故B錯誤；對于C，若且時，則，而不一定相等，故C錯誤；對于D，根據(jù)數(shù)量積的運算法則可知，故D正確.故選：ABC.10．在中，，則的面積可以是（    ）A． B．1 C． D．【答案】AD【分析】由余弦定理求出，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出答案．【詳解】解：∵，由余弦定理得，∴，∴，或，∴由的面積公式得或，故選：AD．【點睛】本題主要考查三角形的面積公式的應用，考查余弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題．11．在中，，，，則下列說法正確的是（    ）A． B．的面積為2C．的外接圓直徑是 D．的內(nèi)切圓半徑是【答案】ABD【分析】利用二倍角公式求出，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，再由余弦定理求出，由正弦定理求出外接圓的直徑，利用面積公式及等面積法判斷B、D；【詳解】解：因為，所以，所以，，故A、B正確；由余弦定理，即，所以，所以外接圓的直徑，故C錯誤；設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，即，所以，故D正確；故選：ABD12．設(shè)P為所在平面內(nèi)一點，則下列說法正確的是（    ）A．若，則點P是的重心B．若，則點P是的垂心C．若，，則點P是的內(nèi)心D．若，則點P是的外心【答案】ABD【分析】對于A：以，為鄰邊作平行四邊形PADB，M為PD的中點，利用向量的線性運算得到，即可證明；對于B：利用數(shù)量積運算證明出，，得到P為的垂心，即可證明；對于C：在邊AB，AC上分別取點E，F，使，，以AE，AF為鄰邊作平行四邊形AEGF，則四邊形AEGF為菱形，即可判斷；對于D：證明出，，，即可證明.【詳解】對于A：若，則.以，為鄰邊作平行四邊形PADB，M為PD的中點，則，所以，又，所以，故P為的重心.所以A正確；對于B：若，則，即，即，所以.同理，則，故P為的垂心.故B正確；對于C：在邊AB，AC上分別取點E，F，使，，則，以AE，AF為鄰邊作平行四邊形AEGF，則四邊形AEGF為菱形.連接AG，則AG為的角平分線，由，所以點P在角平分線AG上，故點P的軌跡一定通過的內(nèi)心.所以C錯誤；對于D：若，則，同理有，，故P為的外心.所以D正確.故選：ABD 三、填空題13．在△ABC中，，則=__________【答案】2π3【分析】由可得，再由余弦定理可得結(jié)果.【詳解】，所以，故答案為.【點睛】本題主要考查余弦定理及特殊角的三角函數(shù)，屬于簡單題.對余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時還要熟練掌握運用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問題時，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應用.14．若，且，則的最小值為______.【答案】5【分析】由，且，得到,進而有，利用基本不等式求解.【詳解】解：因為，且，所以,則，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為5，故答案為：515．探空氣球是將探空儀器帶到高空進行溫度、大氣壓力、濕度、風速、風向等氣象要素測量的氣球，利用探空儀將實時探測到的大氣垂直方向上的氣象數(shù)據(jù)反饋給地面雷達，通過數(shù)據(jù)處理，成為全球預報員制作天氣預報的重要依據(jù).大氣壓強對氣球能達到的最大高度和停留時間有非常大的影響.已知大氣壓強隨海拔高度的變化規(guī)律是，其中是海平面大氣壓強.若探空氣球在兩處測得的大氣壓強分別為，，且，那么兩處的海拔高度的差約為______m.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】5500【分析】根據(jù)題意結(jié)合對數(shù)運算求解.【詳解】設(shè)兩處的海拔高度分別為，由題意可得：，且，即，且，可得，兩邊同時取對數(shù)可得：，即，整理得，即兩處的海拔高度的差約為5500 m.故答案為：5500.16．已知為的垂心（三角形的三條高線的交點），若，則______.【答案】##【分析】由題可得，，利用，得，，可得， 再利用平方關(guān)系結(jié)合條件即得.【詳解】因為，所以，同理，由H為△ABC的垂心，得，即，可知，即，同理有，即，可知，即，所以， ，又，所以．故答案為：. 四、解答題17．已知，，且與的夾角為.(1)求.(2)求.【答案】(1)(2) 【分析】（1）先求得，再利用數(shù)量積的運算律求解；（2）先求得，根據(jù)向量模的求法，結(jié)合數(shù)量積的運算律求解.【詳解】（1）解：因為，，且與的夾角為，所以，所以；（2），.18．在中，角，，的對邊為，，，已知.(1)證明：；(2)若，求的值.【答案】(1)證明見解析；(2). 【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，再利用和差角的正弦公式推理作答.（2）由已知結(jié)合余弦定理角化邊，代入計算作答.【詳解】（1）在中，由及正弦定理得：，而，因此，即有，顯然，有，即，角B為銳角，又，，因此，所以.（2）在中，由及余弦定理得：，整理得，而，即，于是，又，即所以.19．如圖，在矩形中，和分別是邊和上的點，滿足，.(1)若，其中，，求，的值；(2)連接分別交，于，兩點.記，，以，為基底來表示.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根據(jù)給定的圖形，利用作基底，結(jié)合平面向量基本定理求解作答.（2）結(jié)合（1）中信息，利用平面向量基本定理確定點的位置，即可求解作答.【詳解】（1）在矩形中，，，則，，因此，又，不共線，于是，解得，所以.（2）為與的交點，則，，，又，即存在，，則，因為不共線，因此，解得，顯然與的交點是線段、的中點，則，即是線段的中點，所以.20．已知函數(shù)的最小正周期為，的圖象過點，且，將的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象.(1)求函數(shù)在上的值域；(2)若在上恰有兩個不同的實數(shù)解，求的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用函數(shù)的最小正周期公式表示點，代入求解角，再根據(jù)對稱性求解，得到函數(shù)，根據(jù)圖像平移變換得到函數(shù)，并求其在給定區(qū)間上的值域；（2）化簡變形，再求解方程，通過恰有兩個不同的實數(shù)解，限制的取值范圍，從而得解.【詳解】（1）因為函數(shù)的最小正周期為，所以，.由于的圖象過點，即過，代入得，即.則，或，又，所以取.由于，則的圖象關(guān)于對稱，故，則.又因為，則令.故.將的圖象向左平移個單位長度后得.當，，令，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當時，取最小值，最小值為；當時，取最大值，最大值為.所以，所以函數(shù)在上的值域為.（2）因為，，令,由于在上恰有兩個不同的實數(shù)解，則在上恰有兩個不同的實數(shù)解，當，，當時，，或，或，所以依題意，解得.所以的取值范圍.21．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且.(1)求角的大小；(2)已知，若為銳角三角形，求的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由，利用正弦定理得到，再根據(jù)求解；（2）由（1）求得，再由，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】（1）解：在中， ，所以,因為，所以，即，則；（2）由（1）知：，所以，，，，因為為銳角三角形，所以所以，則，解得，所以，則，所以，所以的取值范圍是.22．已知函數(shù).(1)若的定義域為，求的取值范圍；(2)若，使得在區(qū)間上單調(diào)遞增，且值域為，求的取值范圍.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）由題可得恒成立，然后利用參變分離結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即得；（2）根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合條件可得，且，進而可得在上有兩個不等實根，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】（1）因為的定義域為，，所以，即恒成立，因為，，當時等號成立，所以，即的取值范圍為；（2）因為函數(shù)在其定義域上為增函數(shù)，要使在區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，顯然時不合題意，所以，且，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，且值域為，所以，即，所以在上有兩個不等實根，則，解得，所以的取值范圍為.【點睛】方法點睛：恒（能）成立問題的解法：若在區(qū)間上有最值，則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分離常數(shù)，即將問題轉(zhuǎn)化為：（或），則（1）恒成立：；；（2）能成立：；. 

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