2023屆天津市河?xùn)|區(qū)高三一模數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，，則實(shí)數(shù)的值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題設(shè)知，討論、求a值，結(jié)合集合的性質(zhì)確定a值即可.【詳解】由知：，當(dāng)，即，則，與集合中元素互異性有矛盾，不符合；當(dāng)，即或，若，則，與集合中元素互異性有矛盾，不符合；若，則，，滿足要求.綜上，.故選：A2．命題“有一個(gè)偶數(shù)是素?cái)?shù)”的否定是（    ）A．任意一個(gè)奇數(shù)是素?cái)?shù) B．存在一個(gè)偶數(shù)不是素?cái)?shù)C．存在一個(gè)奇數(shù)不是素?cái)?shù) D．任意一個(gè)偶數(shù)都不是素?cái)?shù)【答案】D【分析】根據(jù)存在量詞命題，否定為，即可解得正確結(jié)果.【詳解】由于存在量詞命題，否定為.所以命題“有一個(gè)偶數(shù)是素?cái)?shù)”的否定是“任意一個(gè)偶數(shù)都不是素?cái)?shù)”.故選：D3．如圖中，①②③④中不屬于函數(shù)，，中一個(gè)的是（    ）A．① B．② C．③ D．④【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象的特征即可得答案.【詳解】解：由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：①是的部分圖象；③是的部分圖象；④是的部分圖象；所以只有②不是指數(shù)函數(shù)的圖象.故選：B.4．《天津日?qǐng)?bào)》2022年11月24日?qǐng)?bào)道，我市扎實(shí)推進(jìn)實(shí)施深入打好污染防治攻堅(jiān)戰(zhàn)“1+3+8”行動(dòng)方案，生態(tài)環(huán)境質(zhì)量持續(xù)穩(wěn)定向好，特別是大氣環(huán)境質(zhì)量改善成效顯著．記者從市生態(tài)環(huán)境局獲悉，1至10月份，全市PM2.5平均濃度為34微克/立方米、同比改善8.1%，優(yōu)良天數(shù)222天，同比增加3天，重污染天2天，同比減少4天，為10年來(lái)最好水平．小明所在的數(shù)學(xué)興趣小組根據(jù)2022年8月天津市空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）趨勢(shì)圖繪制頻率分布直方圖，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（    ）天津2022年08月份空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)A．該組數(shù)據(jù)的極差為B．小明根據(jù)極差確定組距為7，共分為6組C．當(dāng)分為6組時(shí)，小組，的頻數(shù)分別為5，9D．當(dāng)分為6組時(shí)，小組對(duì)應(yīng)縱軸值（）約為0.023【答案】C【分析】選項(xiàng)A：根據(jù)極差的概念求解；選項(xiàng)B：根據(jù)極差確認(rèn)組距，分組；選項(xiàng)C：根據(jù)對(duì)應(yīng)區(qū)間確認(rèn)頻數(shù)；選項(xiàng)D:根據(jù) 確定對(duì)應(yīng)縱軸值；【詳解】選項(xiàng)A：根據(jù)極差=最大值-最小值，極差為，故A對(duì)；選項(xiàng)B：根據(jù)極差41確認(rèn)組距，分組一般為組，組距為7，剛好分為6組，故B對(duì)；選項(xiàng)C：根據(jù)對(duì)應(yīng)區(qū)間確認(rèn)頻數(shù)，小組，的頻數(shù)分別為5，10，C錯(cuò)；選項(xiàng)D：根據(jù)縱軸值=，故D對(duì)；故選：C5．已知函數(shù)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的為（    ）A．最小正周期為 B．為偶函數(shù)C．在單調(diào)遞減 D．【答案】B【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式可得，然后結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果；【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；最小正周期為，故A正確；令，，解得，，即函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，即為，，故C正確；且，故D正確；故選:B6．已知雙曲線的實(shí)軸為4，拋物線的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線的左頂點(diǎn)，拋物線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為，則雙曲線的漸近線方程為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出，，將代入雙曲線和拋物線，求出，，進(jìn)而求出漸近線方程.【詳解】由題意得，，故雙曲線左頂點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線的準(zhǔn)線為，故，解得，點(diǎn)為拋物線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，故，，即，解得，解得，故雙曲線的漸近線方程為.故選：A7．已知，，，則，，的大小順序?yàn)椋?/span>    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，從而即可得答案.【詳解】解：因?yàn)?/span>，，，所以.故選：C.8．在面積為4的扇形中，其周長(zhǎng)最小時(shí)半徑的值為（    ）A．4 B． C．2 D．1【答案】C【分析】設(shè)扇形的半徑為，圓心角為，根據(jù)扇形的面積公式將用表示，再根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)和周長(zhǎng)公式結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，圓心角為，則，所以，則扇形的周長(zhǎng)為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)，所以周長(zhǎng)最小時(shí)半徑的值為.故選：C.9．定義在上的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，設(shè)函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則與的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為（    ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】根據(jù)已知條件求出的周期，利用周期性和偶函數(shù)作出在區(qū)間的圖象，以及的圖象，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>滿足，所以圖象關(guān)于直線對(duì)稱，因?yàn)?/span>是上的偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以的周期為，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，由時(shí)，，作出圖象如圖和的圖象由圖知與的圖象在區(qū)間有四個(gè)交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，且，，所以，所以與的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為，故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是得出兩個(gè)函數(shù)圖象都關(guān)于對(duì)稱，兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)應(yīng)關(guān)于對(duì)稱，數(shù)形結(jié)合判斷出交點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用對(duì)稱性求交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和. 二、填空題10．是復(fù)數(shù)單位，化簡(jiǎn)的結(jié)果為________．【答案】##4i+3【分析】復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算法則計(jì)算:故答案為：11．的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為________．（用數(shù)字作答）【答案】90【分析】求出展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，可得展開(kāi)式為時(shí)的值，代入可得展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù).【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，得，所以項(xiàng)的系數(shù)為故答案為：9012．已知直線與圓相切，則滿足條件的實(shí)數(shù)的值為________．【答案】0【分析】先根據(jù)方程表示圓求出的范圍，再由圓心到直線的距離等于半徑求解即可.【詳解】解：因?yàn)榉匠?/span>表示圓，所以，解得，因?yàn)閳A的圓心為，半徑，又因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離，所以，解得，滿足.故答案為：0 三、雙空題13．甲、乙兩名射手射中10環(huán)的概率分別為、（兩人射中10環(huán)與否相互獨(dú)立），已知兩人各射擊1次．兩人都射中10環(huán)的概率為________；兩人命中10環(huán)的總次數(shù)為，則隨機(jī)變量的期望為________．【答案】          【分析】兩人都射中10環(huán)可以看作2個(gè)互斥事件乘積計(jì)算概率即可；根據(jù)獨(dú)立事件發(fā)生結(jié)果和對(duì)應(yīng)的概率，求期望即可求解.【詳解】互斥事件同時(shí)發(fā)生：由題意可得,，故答案為：；； 四、填空題14．如圖所示，一個(gè)由圓錐和圓柱組成的玻璃容器，中間聯(lián)通（玻璃壁厚度忽略不計(jì)），容器中裝有一定體積的水，圓柱高為10，底面半徑為3，圓錐高為，底面半徑大于圓柱，左圖中，圓柱體在下面，液面保持水平，高度為，右圖中將容器倒置，水恰好充滿圓錐，則圓錐底面的半徑為________．【答案】【分析】根據(jù)前后體積一致，列出計(jì)算式即可求解.【詳解】,解得.故答案為： 五、雙空題15．已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為1，射線、上分別有一動(dòng)點(diǎn)和（點(diǎn)在點(diǎn)與之間），當(dāng)時(shí)，的值為________；當(dāng)時(shí)，的最小值為________．【答案】     ##     【分析】確定，，再計(jì)算即可，設(shè)，則，，，得到最值.【詳解】，，；設(shè)，則，，，當(dāng)時(shí)，有最小值為.故答案為：； 六、解答題16．在三角形中，角，，所對(duì)的邊分別為，，．已知，，．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）利用二倍角公式，結(jié)合正弦定理邊化角求解作答.（2）利用（1）的結(jié)論及余弦定理計(jì)算作答.（3）利用（1）（2）的結(jié)論，利用同角公式、二倍角公式及和角的正弦公式求解作答.【詳解】（1）在中，由已知得，由正弦定理得，而，，所以.（2）在中，由余弦定理得，即，而，解得，所以.（3）在中，，，，有，則，，由（2）知，，即，所以.17．在蘇州博物館有一類典型建筑八角亭，既美觀又利于采光，其中一角如圖所示，為多面體，，，，底面，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形且平行于底面，，，的中點(diǎn)分別為，，，．(1)證明：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)一束光從玻璃窗面上點(diǎn)射入恰經(jīng)過(guò)點(diǎn)（假設(shè)此時(shí)光經(jīng)過(guò)玻璃為直射），求這束光在玻璃窗上的入射角的正切值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3) 【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作的平行線，結(jié)合題意建立空間直角坐標(biāo)系，求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出平面的法向量和的方向向量，利用向量法證明線面平行即可；（2）求出平面的法向量，再結(jié)合（1）中平面的法向量，利用空間向量的夾角公式即可求解；（3）根據(jù)平面鏡原理，設(shè)入射角為，利用空間向量的夾角公式解求出入射角的余弦值，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解.【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)作的平行線，由題意可知以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，．設(shè)平面的法向量為，，，，，令，則，∵，∴，平面.（2）根據(jù)圖形易知平面的法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則.所以平面與平面夾角的余弦值.（3），入射角為，，因?yàn)?/span>，所以，.故這束光在玻璃窗上的入射角的正切值為.18．設(shè)是等差數(shù)列，是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，．(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；(2)的前項(xiàng)和為，求證：；(3)求．【答案】(1)，(2)證明見(jiàn)解析(3) 【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組，解之即可求解； （2）結(jié)合已知條件可得，則，由（1）可知，進(jìn)而得證；（3）利用錯(cuò)位相減法即可求解.【詳解】（1）設(shè)，，，由已知，，，解為，，.（2）由已知左式，右式，∴.（3）由已知，①②為，.19．已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為．(1)求橢圓方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與直線交于點(diǎn)，為等邊三角形，求直線的方程．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）根據(jù)離心率和焦點(diǎn)坐標(biāo)可求出，再根據(jù)，可求得，即可求解；（2）討論直線的斜率存在還是不存在，當(dāng)斜率存在且時(shí)，直線代入橢圓可得，，可求出的中點(diǎn)為，通過(guò)弦長(zhǎng)公式和兩點(diǎn)距離求出,利用即可求解【詳解】（1）由題意可得，，解得，由，∴，則橢圓的方程為（2）當(dāng)直線為軸時(shí)，易得線段的垂直平分線與直線沒(méi)有交點(diǎn)，故不滿足題意；當(dāng)所在直線的斜率存在且不為軸時(shí)，設(shè)該直線方程為，，，，解為，，所以，，設(shè)的中點(diǎn)為，則，設(shè)，由為等邊三角形，，，，所以，解得，所以，當(dāng)所在直線的斜率不存在時(shí)，將代入可得，所以，，不滿足題意，綜上所述，直線的方程為或【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.20．已知函數(shù)，．(1)求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；(2)，，．（ⅰ）證明；（ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)證明．【答案】(1)(2)（ⅰ）證明見(jiàn)解析；（ⅱ）3個(gè)，證明見(jiàn)解析 【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線方程，即可得到結(jié)果；（2）（ⅰ）直接代入計(jì)算，即可證明；（ⅱ）求導(dǎo)可得，得到其極值點(diǎn)，通過(guò)對(duì)其單調(diào)性的研究分分不同區(qū)間進(jìn)行討論，即可得到其零點(diǎn)個(gè)數(shù)；【詳解】（1），切線斜率為，，切線方程為，∴（2）（ⅰ），；（ⅱ）即為，解得，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，且在區(qū)間，上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，∵，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，，，令令，，∵，∴，在上單調(diào)減，，∴在上單調(diào)遞增，，，，在區(qū)間單調(diào)遞減因此在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)由已知，由（2）（ⅰ），，∴在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)綜上所述，在區(qū)間上存在3個(gè)零點(diǎn)．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)是基本的解題思路，因此觀察題目所給的數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，以及數(shù)與數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，合理構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵. 

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