2023屆陜西省榆林市高三上學(xué)期一模數(shù)學(xué)（文）試題 一、單選題1．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運算計算出即可得出結(jié)果.【詳解】因為，可知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限.故選：D2．已知集合，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由對數(shù)型函數(shù)定義域和一元一次不等式解法可求得集合，再進(jìn)行集合基本運算即可求得結(jié)果.【詳解】由函數(shù)可得，即，所以；易得，所以.故選：C3．若為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】D【分析】根據(jù)空間中直線與平面的位置關(guān)鍵逐項判斷即可【詳解】解：對于A，若，則或，故A不正確；對于B，若，則或，故B不正確；對于C，若，則或，故C不正確；對于D，若，則，故D正確.故選：D.4．已知，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)兩角和的正切公式計算即可求解.【詳解】由，解得.故選：A.5．已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為，則（    ）A． B． C．0 D．1【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，從而可得的值，再利用切點在曲線也在切線上，可得的值，即可求得答案.【詳解】解：因為，所以.又的圖象在處的切線方程為，所以，解得，則，所以，代入切線方程得，解得，故.故選：B.6．為了解市民的生活幸福指數(shù)，某組織隨機選取了部分市民參與問卷調(diào)查，將他們的生活幸福指數(shù)（滿分100分）按照分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)此頻率分布直方圖，估計市民生活幸福指數(shù)的中位數(shù)為（    ）A．70 B． C． D．60【答案】C【分析】根據(jù)頻率分布直方圖所有小長方形面積是1可得，根據(jù)中位數(shù)的定義即可求得結(jié)果.【詳解】由題意可得，解得.因為成績在的頻率為，成績在的頻率為，故市民生活幸福指數(shù)的中位數(shù)在內(nèi).設(shè)市民生活幸福指數(shù)的中位數(shù)為，則，解得.故選：C7．如圖1，某建筑物的屋頂像拋物線，建筑師通過拋物線的設(shè)計元素賦予了這座建筑輕盈?極簡和雕塑般的氣質(zhì).若將該建筑外形弧線的一段按照一定的比例處理后可看成圖2所示的拋物線的一部分，為拋物線上一點，為拋物線的焦點，若，且，則（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】寫出焦點坐標(biāo)，設(shè)，由得出點坐標(biāo)，根據(jù)焦半徑公式得，再由求得．【詳解】由題意知，設(shè)，則，由拋物線的幾何性質(zhì)知，則，所以，所以，解得.故選：A．8．的內(nèi)角所對的邊分別為，若，則的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正弦、余弦定理可得，結(jié)合即可求解.【詳解】因為，由正弦定理得.又，所以.因為，所以，故.故選：A.9．在平行四邊形中，，則（    ）A．4 B． C． D．3【答案】B【分析】根據(jù)題意，以向量為基底分別表示出向量，再利用向量數(shù)量積公式即可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示：在平行四邊形中，因為，所以，因此.又，所以，故.故選：B10．已知四面體外接球的球心與正三角形外接圓的圓心重合，若該四面體體積的最大值為，則該四面體外接球的體積為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)四面體的幾何特征可知，當(dāng)平面時該四面體的體積最大，計算可得外接球半徑即求出外接球的體積.【詳解】設(shè)球的半徑為，可得. 當(dāng)平面時，四面體的體積最大，此時，即，得，則該四面體外接球的體積.故選：B11．已知，函數(shù)在上恰有3個極大值點，則的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)，由于在上恰有3個極大值點，則可列不等式，即可求得的取值范圍.【詳解】解：，因為在上恰有3個極大值點，由，得，又函數(shù)的極大值點滿足，所以，解得.故選：C.12．已知，則下列結(jié)論一定成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)得出其單調(diào)性，則結(jié)合已知得出，即，即可得出.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，故在上單調(diào)遞增.因為，所以，故.故選：D. 二、填空題13．設(shè)滿足約束條件，則的最小值為__________.【答案】【分析】根據(jù)線性規(guī)劃的求解過程畫出可行域，得出的大小與什么有關(guān)，即可平移或旋轉(zhuǎn)目標(biāo)直線得出答案.【詳解】根據(jù)已知畫出可行域，如圖紅色部分，變形為，即是斜率為的與可行域相交的直線的截距，由圖可知，要使截距在可行域最小，需過直線與的交點，聯(lián)立與，解得，代入得出取得最小值為.故答案為：.14．自然對數(shù)的底數(shù)，也稱為歐拉數(shù)，它是數(shù)學(xué)中重要的常數(shù)之一，和一樣是無限不循環(huán)小數(shù)，的近似值約為.若從歐拉數(shù)的前4位數(shù)字中任選2個，則至少有1個偶數(shù)被選中的概率為__________.【答案】【分析】可以列舉出從前4位數(shù)字中任選2個所有的可能結(jié)果，再選出至少有1個偶數(shù)被選中的總數(shù)，即可求得結(jié)果.【詳解】由題可知，總的事件包括這6種情況，至少有1個偶數(shù)被選中的事件包括這5種情況，故所求的概率為.故答案為：15．已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，且的圖象關(guān)于點對稱，則關(guān)于的不等式的解集為__________.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和對稱性以及不等式的特征，可構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和奇偶性即可解出不等式.【詳解】令函數(shù)，因為的圖象關(guān)于點對稱，所以的圖象關(guān)于原點對稱，故是定義在上的奇函數(shù)；因為是定義在上的增函數(shù)，所以也是定義在上的增函數(shù)，由，得，則，則，解得，故不等式的解集為.故答案為：16．已知雙曲線的右焦點為，直線與雙曲線相交于兩點，點，以為直徑的圓與相交于兩點，若為線段的中點，則__________.【答案】2【分析】根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系確定交點坐標(biāo)關(guān)系，利用直線和圓的幾何性質(zhì)，即可求得的長.【詳解】解：如圖，由題可知，的坐標(biāo)為，設(shè)，聯(lián)立方程組，可得，則，.因為為線段的中點，所以的坐標(biāo)為.又以為直徑的圓與相交于兩點，所以，所以，解得，又，所以，所以，故.故答案為：2. 三、解答題17．第二十二屆世界杯足球賽在卡塔爾正式拉開序幕，這是歷史上首次在北半球冬季舉行的世界杯足球賽.某市為了解高中生是否關(guān)注世界杯足球賽與性別的關(guān)系，隨機對該市50名高中生進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表. 關(guān)注不關(guān)注合計男高中生 4 女高中生14  合計    已知在這50名高中生中隨機抽取1人，抽到關(guān)注世界杯足球賽的高中生的概率為.(1)完成上面的列聯(lián)表；(2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，判斷能否有的把握認(rèn)為該市高中生是否關(guān)注世界杯足球賽與性別有關(guān).附：，其中.  【答案】(1)列聯(lián)表見解析(2)沒有 【分析】（1）根據(jù)已知得出世界杯足球賽的高中生人數(shù)，不關(guān)注世界杯足球賽的高中生人數(shù)，即可完成列聯(lián)表；（2）根據(jù)已知公式得出，查表即可得出答案.【詳解】（1）由題可知，關(guān)注世界杯足球賽的高中生有人，不關(guān)注世界杯足球賽的高中生有人.故完成的列聯(lián)表如下： 關(guān)注不關(guān)注合計男高中生26430女高中生14620合計401050 （2），因為，所以沒有的把握認(rèn)為該市高中生是否關(guān)注世界杯足球賽與性別有關(guān).18．已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用和之間的關(guān)系式可得，再利用累乘即可求得的通項公式；（2）寫出數(shù)列的通項公式利用裂項求和即可得出結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時，，解得.當(dāng)時，由，得，兩式相減得，即，利用累乘可得，即，因為，所以；所以的通項公式為.（2）由（1）可知，裂項可得，則.所以數(shù)列的前項和19．如圖，在四棱錐中，平面底面，且.(1)證明：；(2)求點A到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）取的中點，證明平面，得線線垂直；（2）利用體積法求點面距：．【詳解】（1）取的中點，連接.因為，所以.又，所以.又，所以為正三角形，所以.因為，且在平面內(nèi)，所以平面.又平面，所以.（2）因為，所以.又，所以，則.由，得，故，連接，則.因為平面底面，平面，所以平面，則連接.因為，所以，在中，到的距離，則.設(shè)點A到平面的距離為，由，得，解得，即點到平面的距離為.20．已知是橢圓的一個頂點，圓經(jīng)過的一個頂點.(1)求的方程；(2)若直線與相交于兩點（異于點），記直線與直線的斜率分別為，且，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由題意確定的值，即可求得答案；（2）設(shè)，聯(lián)立直線和橢圓方程，得到根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合化簡求值，可得k的值，驗證即得答案.【詳解】（1）因為是的一個頂點，所以.又圓與坐標(biāo)軸交于兩點，圓經(jīng)過的一個頂點,則頂點為，故，故的方程為.（2）設(shè)，聯(lián)立方程組，消去整理得，，則，，因為，所以，整理得，則，則，即，解得或，當(dāng)時，在上，不符合題意，時，符合題意，故.【點睛】方法點睛：解答關(guān)于直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的問題時，一般方法是聯(lián)立方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行化簡，要注意的是化簡過程計算量較大，比較復(fù)雜，要注意計算準(zhǔn)確.21．已知函數(shù).(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，且當(dāng)時，，求的最大值.【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)2 【分析】（1）得出函數(shù)定義域，求導(dǎo)得出導(dǎo)數(shù)大于小于零即可得出答案；（2）當(dāng)時，，等價于當(dāng)時，，令函數(shù)，求導(dǎo)得出，無法確定單調(diào)性，則再令函數(shù)，求導(dǎo)得出，即在上單調(diào)遞增，根據(jù)，設(shè)，，則當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，則，即可得出答案.【詳解】（1）的定義域為，，由，得或，若，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）因為，所以等價于，令函數(shù)，則，令函數(shù)，則，則在上單調(diào)遞增.因為，所以，即，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以.故的最大值為2.22．在直角坐標(biāo)系中，已知點，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；(2)若與交于兩點，求.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）利用消參法即可得到的普通方程為，根據(jù)即可得到的直角坐標(biāo)方程.（2）首先設(shè)出的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入的普通方程得，再根據(jù)直線的參數(shù)方程的幾何性質(zhì)求解即可.【詳解】（1）消去參數(shù)，得到的普通方程為.由，得.因為所以的直角坐標(biāo)方程為.（2）由題可知，點在上，故的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入的普通方程得，則，，設(shè)對應(yīng)的參數(shù)分別為，故.23．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求不等式的解集；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】(1)利用絕對值的幾何意義將表示成分段函數(shù)形式，即可解不等式；(2)利用絕對值不等式得，進(jìn)而可求的取值范圍.【詳解】（1）因為，所以.當(dāng)時，,不等式轉(zhuǎn)化為，解得.當(dāng)時，,不等式轉(zhuǎn)化為，無解.當(dāng)時，,不等式,轉(zhuǎn)化為，解得.綜上所述，不等式的解集為.（2）因為，所以.又，所以，解得或.故的取值范圍為. 

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