2023屆陜西省榆林市高三上學(xué)期一模數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題1．已知集合，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先解出集合,再求.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以.故選：D2．已知，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，化簡(jiǎn)式子，利用復(fù)數(shù)相等求出復(fù)數(shù)，然后求復(fù)數(shù)的模即可【詳解】設(shè)，則，則，故.故選：A3．若為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】D【分析】根據(jù)空間中直線與平面的位置關(guān)鍵逐項(xiàng)判斷即可【詳解】解：對(duì)于A，若，則或，故A不正確；對(duì)于B，若，則或，故B不正確；對(duì)于C，若，則或，故C不正確；對(duì)于D，若，則，故D正確.故選：D.4．已知，則（    ）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】由兩角和的正切公式變形后求得，由誘導(dǎo)公式變形后，利用商數(shù)關(guān)系變形可得．【詳解】由，解得，則.故選：C．5．已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為，則（    ）A． B． C．0 D．1【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，從而可得的值，再利用切點(diǎn)在曲線也在切線上，可得的值，即可求得答案.【詳解】解：因?yàn)?/span>，所以.又的圖象在處的切線方程為，所以，解得，則，所以，代入切線方程得，解得，故.故選：B.6．為了解市民的生活幸福指數(shù)，某組織隨機(jī)選取了部分市民參與問(wèn)卷調(diào)查，將他們的生活幸福指數(shù)（滿分100分）按照分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)此頻率分布直方圖，估計(jì)市民生活幸福指數(shù)的中位數(shù)為（    ）A．70 B． C． D．60【答案】C【分析】根據(jù)頻率分布直方圖所有小長(zhǎng)方形面積是1可得，根據(jù)中位數(shù)的定義即可求得結(jié)果.【詳解】由題意可得，解得.因?yàn)槌煽?jī)?cè)?/span>的頻率為，成績(jī)?cè)?/span>的頻率為，故市民生活幸福指數(shù)的中位數(shù)在內(nèi).設(shè)市民生活幸福指數(shù)的中位數(shù)為，則，解得.故選：C7．如圖1，某建筑物的屋頂像拋物線，建筑師通過(guò)拋物線的設(shè)計(jì)元素賦予了這座建筑輕盈?極簡(jiǎn)和雕塑般的氣質(zhì).若將該建筑外形弧線的一段按照一定的比例處理后可看成圖2所示的拋物線的一部分，為拋物線上一點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，若，且，則（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，由得出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)焦半徑公式得，再由求得．【詳解】由題意知，設(shè)，則，由拋物線的幾何性質(zhì)知，則，所以，所以，解得.故選：A．8．的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正弦、余弦定理可得，結(jié)合即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，由正弦定理得.又，所以.因?yàn)?/span>，所以，故.故選：A.9．在平行四邊形中，，則（    ）A．4 B． C． D．3【答案】B【分析】根據(jù)題意，以向量為基底分別表示出向量，再利用向量數(shù)量積公式即可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示：在平行四邊形中，因?yàn)?/span>，所以，因此.又，所以，故.故選：B10．已知，函數(shù)在上恰有3個(gè)極大值點(diǎn)，則的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)，由于在上恰有3個(gè)極大值點(diǎn)，則可列不等式，即可求得的取值范圍.【詳解】解：，因?yàn)?/span>在上恰有3個(gè)極大值點(diǎn)，由，得，又函數(shù)的極大值點(diǎn)滿足，所以，解得.故選：C.11．已知，則下列結(jié)論一定成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)得出其單調(diào)性，則結(jié)合已知得出，即，即可得出.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，故在上單調(diào)遞增.因?yàn)?/span>，所以，故.故選：D.12．在直三棱柱中，，且分別為和的中點(diǎn)，為線段（包括端點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)，為側(cè)面上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】先判斷出取得最小值時(shí)為點(diǎn)在側(cè)面的投影.把將平面與平面展開(kāi)到同一平面，作于點(diǎn)，交于點(diǎn),此時(shí)達(dá)到最小值，解三角形求出即可.【詳解】當(dāng)為某確定點(diǎn)時(shí)，要使取得最小值，則必須為最小值，此時(shí)，為點(diǎn)在側(cè)面的投影.取的中點(diǎn).因?yàn)?/span>分別為的中點(diǎn)，所以為的中位線，所以.因?yàn)?/span>所以，所以.在直三棱柱中，面，所以.因?yàn)?/span>面，面， ,所以側(cè)面，故在側(cè)面的投影為.作于點(diǎn)，此時(shí)滿足題意..在中，，.在中，因?yàn)?/span>,所以，所以為直角三角形.所以，.將平面與平面展開(kāi)到同一平面，如圖所示，所以.作于點(diǎn)，交于點(diǎn),此時(shí)達(dá)到最小值，則故選：B【點(diǎn)睛】立體幾何中的最值問(wèn)題一般涉及到距離、角度、面積、體積等四個(gè)方面，解決此類(lèi)問(wèn)題一般從三個(gè)方面思考：（1）利用傳統(tǒng)方法轉(zhuǎn)化為空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，建立所求的目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題求解；（2）根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，變動(dòng)態(tài)為靜態(tài)，直觀判斷在什么情況取得最值；（3）將幾何體平面化，如利用展開(kāi)圖，在平面圖形中直觀求解. 二、填空題13．設(shè)滿足約束條件則的最小值為__________.【答案】【分析】畫(huà)出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義即可求解．【詳解】作出可行域如圖所示.把轉(zhuǎn)化為，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，縱截距最低，最小.當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最小值.故答案為：.14．自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，也稱(chēng)為歐拉數(shù)，它是數(shù)學(xué)中重要的常數(shù)之一，和一樣是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，的近似值約為.若用歐拉數(shù)的前6位數(shù)字設(shè)置一個(gè)六位數(shù)的密碼，則不同的密碼共有__________個(gè).【答案】180【分析】利用排列的定義直接求解.【詳解】因?yàn)?/span>2出現(xiàn)2次，8出現(xiàn)2次，所以不同的密碼共有個(gè).故答案為：180.15．已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，且的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則關(guān)于的不等式的解集為__________.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和對(duì)稱(chēng)性以及不等式的特征，可構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和奇偶性即可解出不等式.【詳解】令函數(shù)，因?yàn)?/span>的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故是定義在上的奇函數(shù)；因?yàn)?/span>是定義在上的增函數(shù)，所以也是定義在上的增函數(shù)，由，得，則，則，解得，故不等式的解集為.故答案為：16．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，以為直徑的圓與相交于兩點(diǎn)，若為線段的中點(diǎn)，則__________.【答案】2【分析】根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系確定交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，利用直線和圓的幾何性質(zhì)，即可求得的長(zhǎng).【詳解】解：如圖，由題可知，的坐標(biāo)為，設(shè)，聯(lián)立方程組，可得，則，.因?yàn)?/span>為線段的中點(diǎn)，所以的坐標(biāo)為.又以為直徑的圓與相交于兩點(diǎn)，所以，所以，解得，又，所以，所以，故.故答案為：2. 三、解答題17．第二十二屆世界杯足球賽在卡塔爾正式拉開(kāi)序幕，這是歷史上首次在北半球冬季舉行的世界杯足球賽.某市為了解高中生是否關(guān)注世界杯足球賽與性別的關(guān)系，隨機(jī)對(duì)該市50名高中生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表. 關(guān)注不關(guān)注合計(jì)男高中生 4 女高中生14  合計(jì)    已知在這50名高中生中隨機(jī)抽取1人，抽到關(guān)注世界杯足球賽的高中生的概率為.(1)完成上面的列聯(lián)表；(2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，判斷能否有的把握認(rèn)為該市高中生是否關(guān)注世界杯足球賽與性別有關(guān).附：，其中.  【答案】(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析(2)沒(méi)有 【分析】（1）根據(jù)已知得出世界杯足球賽的高中生人數(shù)，不關(guān)注世界杯足球賽的高中生人數(shù)，即可完成列聯(lián)表；（2）根據(jù)已知公式得出，查表即可得出答案.【詳解】（1）由題可知，關(guān)注世界杯足球賽的高中生有人，不關(guān)注世界杯足球賽的高中生有人.故完成的列聯(lián)表如下： 關(guān)注不關(guān)注合計(jì)男高中生26430女高中生14620合計(jì)401050 （2），因?yàn)?/span>，所以沒(méi)有的把握認(rèn)為該市高中生是否關(guān)注世界杯足球賽與性別有關(guān).18．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用和之間的關(guān)系式可得，再利用累乘即可求得的通項(xiàng)公式；（2）寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式利用裂項(xiàng)求和即可得出結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得.當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得，即，利用累乘可得，即，因?yàn)?/span>，所以；所以的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可知，裂項(xiàng)可得，則.所以數(shù)列的前項(xiàng)和19．如圖，在四棱錐中，平面底面，且.(1)證明：.(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證明線面垂直，然后利用線面垂直證明線線垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量，然后求出二面角的平面角的余弦值【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接.因?yàn)?/span>，所以.又，所以.又，所以為正三角形，所以.因?yàn)?/span>在平面內(nèi)相交，所以平面.又平面，所以.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.設(shè)平面的法向量為，則令，得.由題可知，平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面和平面所成的銳二面角為，則.20．已知是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，圓經(jīng)過(guò)的一個(gè)頂點(diǎn).(1)求的方程；(2)若直線與相交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），記直線與直線的斜率分別為，且，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由題意確定的值，即可求得答案；（2）設(shè)，聯(lián)立直線和橢圓方程，得到根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合化簡(jiǎn)求值，可得k的值，驗(yàn)證即得答案.【詳解】（1）因?yàn)?/span>是的一個(gè)頂點(diǎn)，所以.又圓與坐標(biāo)軸交于兩點(diǎn)，圓經(jīng)過(guò)的一個(gè)頂點(diǎn),則頂點(diǎn)為，故，故的方程為.（2）設(shè)，聯(lián)立方程組，消去整理得，，則，，因?yàn)?/span>，所以，整理得，則，則，即，解得或，當(dāng)時(shí)，在上，不符合題意，時(shí)，符合題意，故.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答關(guān)于直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，一般方法是聯(lián)立方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)，要注意的是化簡(jiǎn)過(guò)程計(jì)算量較大，比較復(fù)雜，要注意計(jì)算準(zhǔn)確.21．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2) 【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，分和分別求解；（2）作差后，定義新函數(shù)，分和兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性，求最值，即可求解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.因?yàn)?/span>，所以.當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，令，解得.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）令函數(shù)，則.當(dāng)時(shí)，則.令函數(shù)，則.因?yàn)?/span>在上為增函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù).而，從而在上恒成立，所以在上為增函數(shù)，所以，則在上單調(diào)遞增，故，符合題意.當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故，不符合題意.綜上所述，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)． （3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題．（4）利用導(dǎo)數(shù)證明不等式或求解零點(diǎn)問(wèn)題．22．在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；(2)若與交于兩點(diǎn)，求.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）利用消參法即可得到的普通方程為，根據(jù)即可得到的直角坐標(biāo)方程.（2）首先設(shè)出的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入的普通方程得，再根據(jù)直線的參數(shù)方程的幾何性質(zhì)求解即可.【詳解】（1）消去參數(shù)，得到的普通方程為.由，得.因?yàn)?/span>所以的直角坐標(biāo)方程為.（2）由題可知，點(diǎn)在上，故的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入的普通方程得，則，，設(shè)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，故.23．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】(1)利用絕對(duì)值的幾何意義將表示成分段函數(shù)形式，即可解不等式；(2)利用絕對(duì)值不等式得，進(jìn)而可求的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以.當(dāng)時(shí)，,不等式轉(zhuǎn)化為，解得.當(dāng)時(shí)，,不等式轉(zhuǎn)化為，無(wú)解.當(dāng)時(shí)，,不等式,轉(zhuǎn)化為，解得.綜上所述，不等式的解集為.（2）因?yàn)?/span>，所以.又，所以，解得或.故的取值范圍為. 

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