2023屆陜西省咸陽市乾縣第一中學高三下學期一模數(shù)學（文）試題 一、單選題1．設集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)集合交集運算求解即可.【詳解】解：因為，，所以故選：C2．已知復數(shù)的共軛復數(shù)為，則在復平面上對應的點在（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根據(jù)復數(shù)與共軛復數(shù)關系，復數(shù)的幾何意義即可解決.【詳解】由題知，，所以共軛復數(shù)為在復平面上對應的點為，在第一象限，故選：A3．已知兩個單位向量的夾角是，則（    ）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)向量模的運算法則運算求解即可.【詳解】解：因為兩個單位向量的夾角是，所以，.故選：A4．古希臘大哲學家芝諾提出一個有名的悖論，其大意是：“阿喀琉斯是古希臘神話中善跑的英雄，在他和烏龜?shù)馁惻苤?，他的速度是烏龜速度?/span>10倍，烏龜在他前面100米爬行，他在后面追，但他不可能追上烏龜，原因是在競賽中，追者首先必須到達被追者的出發(fā)點，當阿喀琉斯追了100米時，烏龜已在他前面爬行了10米，而當他追到烏龜爬行的10米時，烏龜又向前爬行了1米，就這樣，烏龜會制造出無窮個起點，它總能在起點與自己之間制造出一個距離，不管這個距離有多小，只要烏龜不停地向前爬行，阿喀琉斯就永遠追不上烏龜．“試問在阿喀琉斯與烏龜?shù)母傎愔?，當阿喀斯與烏龜相距0.01米時，烏龜共爬行了（    ）A．11.1米 B．10.1米 C．11.11米 D．11米【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列通項及前n項和公式計算作答.【詳解】依題意，烏龜爬行的距離依次排成一列構成等比數(shù)列，，公比，，所以當阿喀斯與烏龜相距0.01米時，烏龜共爬行的距離.故選：C5．若滿足約束條件,則的最小值為（    ）A． B．0 C．4 D．1【答案】A【分析】根據(jù)幾何意義，數(shù)形結合求解即可. 【詳解】解：如圖，作出約束條件的平面區(qū)域，如圖所示陰影部分，將目標函數(shù)變形得，所以，根據(jù)其幾何意義，當直線過點時，其截距最小，所以，的最小值為.故選：A6．設F為拋物線C：的焦點，點A在C上，且A到C焦點的距離為3，到y軸的距離為2，則p＝（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，求出拋物線C的焦點坐標及準線方程，再利用定義求解作答.【詳解】拋物線C：的焦點，準線方程，顯然點A的橫坐標為2，由拋物線定義得：，所以.故選：B7．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出s＝（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定的程序框圖，運行程序，依次計算判斷作答.【詳解】執(zhí)行程序，第一次循環(huán)：；第二次循環(huán)：；第三次循環(huán)：；第四次循環(huán)：，退出循環(huán)，輸出，所以.故選：A8．已知α，β是兩個不同平面，a，b是兩條不同直線，則下列命題正確的是（    ）A．若，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則【答案】C【分析】分別利用線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理，面面垂直的性質(zhì)定理判斷即可.【詳解】對于,若，，則或，故錯誤，對于,若，，時，可能與相交，但不垂直，即不一定，故錯誤，對于,由平面與平面垂直的性質(zhì)定理可知，若，，，時，則，若時，直線與平面不垂直，故錯誤，對于C. 若，則兩平面的法向量互相垂直，因為，，所以，正確 故選：C.9．在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，，，則的面積為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理求出邊長a，再判斷三角形形狀，求出面積作答.【詳解】在中，由正弦定理得：，因此，則，而，即有是正三角形，所以的面積.故選：B10．如圖，中，，為的中點，將沿折疊成三棱錐，則該棱錐體積最大值為（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意易得平面，進而得三棱錐的體積為即可得答案.【詳解】解：因為在中，，為的中點，所以，，所以，在折疊成的三棱錐中，， 因為平面，所以平面，所以，三棱錐的體積為，當且僅當時等號成立，所以，該棱錐體積最大值為故選：B11．雙曲線的兩個焦點為，點在雙曲線上，且滿足，則雙曲線的離心率為（    ）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】設，進而根據(jù)向量垂直的坐標表示得，再根據(jù)點在雙曲線上待定系數(shù)求解即可.【詳解】解：由題，設，因為所以，因為，所以，解得因為，解得，所以，雙曲線的離心率為.故選：A12．已知定義在上的偶函數(shù)滿足：當時，，且，則方程實根個數(shù)為（    ）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】由題知函數(shù)為周期函數(shù)，周期為，在上單調(diào)遞增，再令，易得在上為偶函數(shù)，進而作出函數(shù)與的圖象，數(shù)形結合求解即可.【詳解】解：因為函數(shù)滿足，所以，，即函數(shù)為周期函數(shù)，周期為，因為當時，，所以，當時，恒成立，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為為定義在上的偶函數(shù)，令，則定義域為，，所以函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，因為因為，所以所以，作出函數(shù)，圖象如圖，由圖象可知，當時，函數(shù)與圖象有4個交點，所以，由偶函數(shù)的對稱性可知，當時，函數(shù)與圖象有4個交點，所以，方程實根個數(shù)為個.故選：B【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵在于結合題意，利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，得到函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，進而作出函數(shù)圖象，數(shù)形結合求解. 二、填空題13．某校有高三學生1200名，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣法從中抽取200名學生進行核酸檢測，用電腦對這1200名學生隨機編號1，2，3，…，1200，已知隨機抽取的一個學生編號為10，則抽取的學生最大編號為____.【答案】1198【分析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣法求出分段間隔和最大編號.【詳解】根據(jù)系統(tǒng)抽樣法可知，分段間隔為6，編號共分為200段，編號10屬于第2段，所以最大編號在第200段，號碼為10＋6×(200－2)＝1198．故答案為：1198.14．圓心在軸，半徑為1，且過點的圓的標準方程是_____.【答案】【分析】設圓心坐標為，進而結合題意得，再求圓的標準方程即可.【詳解】由題，可設圓心坐標為，因為所求圓的圓心在軸，半徑為1，且過點，所以，，解得，所以，圓心坐標為，半徑為1，所以，所求圓的標準方程為故答案為：15．已知函數(shù)是奇函數(shù)，則____.【答案】##【分析】由輔助角公式得，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：，因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，解得，因為，所以，故答案為：16．已知函數(shù)，則不等式的解集為______.【答案】【分析】由題意結合函數(shù)的解析式分類討論求解不等式的解集即可.【詳解】解：當時，，解得，當時，，即，解得，綜上，不等式的解集為.故答案為： 三、解答題17．已知數(shù)列的前項之積為.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設公差不為0的等差數(shù)列中，，___________，求數(shù)列的前項和.請從①； ②這兩個條件中選擇一個條件，補充在上面的問題中并作答.注：如果選擇多個條件分別作答，則按照第一個解答計分.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根據(jù)當時，計算并檢驗成立即可得答案；（2）根據(jù)等差數(shù)列基本計算得，進而，再分組求和即可.【詳解】（1）解：當 時，當時，綜上，；（2）解：若選①，設等差數(shù)列的公差為，因為，，所以，解得所以，，所以，，所以，所以，若選②，設等差數(shù)列的公差為，因為，所以，又因為，所以，解得所以，，所以，，所以，所以，18．某學校為研究高三學生的身體素質(zhì)與體育鍛煉時間的關系，對該校400名高三學生(其中女生220名)平均每天體育鍛煉時間進行調(diào)查，得到下表：平均每天體育鍛煉時間（分鐘）人數(shù)4072881008020 將日平均體育鍛煉時間在40分鐘以上的學生稱為“鍛煉達標生”，調(diào)查知女生有40人為“鍛煉達標生”.(1)完成下面2列聯(lián)表，試問：能否有%以上的把握認為“鍛煉達標生”與性別有關? 鍛煉達標生鍛煉不達標合計男   女   合計  400 附：，其中.0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828 (2)在“鍛煉達標生”中用分層抽樣方法抽取5人進行體育鍛煉體會交流，再從這5人中選出2人作重點發(fā)言，這2人中至少有一名女生的概率.【答案】(1)表格見解析，有%以上的把握認為“鍛煉達標生”與性別有關(2) 【分析】（1）利用題意完成列聯(lián)表，然后計算，與臨界值進行比較即可；（2）根據(jù)分層抽樣抽取男生3人，女生2人，然后列舉出抽取兩人的基本事件和至少有一名女生的事件，即可求解【詳解】（1） 鍛煉達標生鍛煉不達標合計男60120180女40180220合計100300400 故有%以上的把握認為“鍛煉達標生”與性別有關.（2）“鍛煉達標生”中男女人數(shù)之比為，故抽取的男生有3人，女生有2人，用表示男生，用表示女生，基本事件有共10個，其中至少有一名女生的事件有共7個，故所求概率為.19．如圖，直三棱柱中，，為上的中點.(1)證明：平面平面;(2)若，求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2). 【分析】（1）分別取的中點，連接，進而證明，再證明平面即可證明結論；（2）由題知平面，進而根據(jù)等體積法計算即可得答案.【詳解】（1）證明：分別取的中點，連接所以，，因為為上的中點，所以，所以，，所以，四邊形是平行四邊形，即因為，是的中點，所以，因為在直三棱柱中,平面，平面，所以，因為平面所以平面又所以平面，而平面所以平面平面；（2）解：因為在直三棱柱中,平面，平面，所以，因為，所以，即,因為平面所以平面，即平面，設點到面的距離為所以，在三棱錐中，因為，即 因為，所以在中，，得所以，，得所以，點到平面的距離為.20．已知橢圓的離心率為，它的四個頂點構成的四邊形的面積為．(1)求橢圓的方程；(2)設過點的直線與圓相切且與橢圓交于、兩點，求的最大值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關于、、的方程，解出、的值，可得出橢圓的方程；（2）分析可知，直線不與軸平行或重合，設直線的方程為，利用直線與圓相切可得出，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，利用弦長公式以及基本不等式可求得的最大值.【詳解】（1）解：橢圓的四個頂點構成的四邊形的面積為，由題意可得，解得，．所以，橢圓的方程為．（2）解：若直線與軸平行或重合，此時直線與圓相交，不合乎題意，設直線的方程為，由題意可得，即.聯(lián)立消去得，即，．設、，則，．所以，．令，則，則，當且僅當時等號成立，此時，．故的最大值為．【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．21．已知函數(shù).(1)求 在點處的切線方程;(2)求證：當時，.【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義直接求解即可；（2）由題知，進而構造函數(shù)，研究最小值即可證明；【詳解】（1）解：由題知，，，所以，切點為，斜率為，所以，所求切線為.（2）證明：，即令，則令，，則在恒成立，所以，在上單調(diào)遞增，有，所以，在恒成立，即在上單調(diào)遞增，所以，，即，綜上，當時，.22．在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線的極坐標方程為．(1)寫出曲線的直角坐標方程；(2)設直線與曲線交于兩點，若，求的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)極坐標與直角坐標方程的互化求解即可；（2）根據(jù)直線的參數(shù)方程的幾何意義求解即可.【詳解】（1）解：曲線：，所以，曲線的直角坐標方程為．（2）解：法1：將直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）代入曲線的直角坐標方程得：，整理得，設方程的實數(shù)根為，所以，，所以一正一負，所以，由直線的參數(shù)方程幾何意義得：．法2：由（1）知曲線表示圓，圓心為，半徑為直線（t為參數(shù)）化為直角坐標方程為，所以，曲線的圓心到直線的距離為，所以，直線與曲線相交，因為，即點在圓內(nèi)，所以，．23．已知函數(shù)．(1)解不等式；(2)設的最小值為m，且，求證．【答案】(1)；(2)證明見解析. 【分析】（1）用分段函數(shù)表示函數(shù)，再分段解不等式作答.（2）利用（1）的結論，利用均值不等式“1”的妙用推理作答.【詳解】（1）依題意，函數(shù)，因此不等式化為：或或，解得或或，所以不等式的解集為．（2）由（1）知，，即有，因此，當且僅當，即，，時等號成立，所以． 

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