2023屆陜西省西安市周至縣高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)（理）試題含解析

這是一份2023屆陜西省西安市周至縣高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)（理）試題含解析，共17頁。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
2023屆陜西省西安市周至縣高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題1．命題：“，”的否定是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定方法寫出命題的否定即可.【詳解】因?yàn)槿Q量詞命題的否定是存在量詞命題，所以命題“，”的否定為：“，”.故選：B2．設(shè)集合，，若，則的范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，得，從而可求出的范圍.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，，所以，故選：B3．若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，可得，即得解【詳解】由題意：可得：在復(fù)平面中對應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限故選：A4．已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（    ）A．15 B．20 C．25 D．－25【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求得首項(xiàng)和公差即可求解.【詳解】設(shè)公差為，則有，即，聯(lián)立解得，所以，故選:B.5．下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】化簡，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，令，，對賦值，結(jié)合選項(xiàng)即可判斷.【詳解】由題，，令，，則，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?/span>，所以是一個(gè)單調(diào)遞增的區(qū)間，故選：A6．公元五世紀(jì)，數(shù)學(xué)家祖沖之估計(jì)圓周率的范圍是：，為紀(jì)念祖沖之在圓周率方面的成就，把3.1415926稱為“祖率”，這是中國數(shù)學(xué)的偉大成就.甲同學(xué)是個(gè)數(shù)學(xué)迷，他在設(shè)置手機(jī)的數(shù)字密碼時(shí)，打算將圓周率的前6位數(shù)字3，1，4，1，5，9進(jìn)行某種排列得到密碼.如果排列時(shí)要求兩個(gè)1不相鄰，那么甲同學(xué)可以設(shè)置的不同密碼個(gè)數(shù)為（    ）A．240 B．360 C．480 D．720【答案】A【分析】直接利用插空法分兩步完成計(jì)算得到答案.【詳解】先把數(shù)字3，4，5，9四個(gè)數(shù)排列，共有種排列方法，四個(gè)數(shù)排列產(chǎn)生5個(gè)空，把兩個(gè)1插到5個(gè)空里，共有種方法，根據(jù)乘法分步原理得共有種.故選：A7．設(shè)、是兩個(gè)不同的平面．則“中有三個(gè)不共線的點(diǎn)到的距離相等”是“”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】利用平行平面的性質(zhì)、特例法結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】如下圖所示：當(dāng)、相交時(shí)，設(shè)，若、、，且，則、到平面的距離相等，若線段的中點(diǎn)，則、到平面的距離相等，則、、到平面的距離相等，即“中有三個(gè)不共線的點(diǎn)到的距離相等”“”；若，則內(nèi)所有點(diǎn)到平面內(nèi)的距離都相等，即“中有三個(gè)不共線的點(diǎn)到的距離相等”“”.因此，“中有三個(gè)不共線的點(diǎn)到的距離相等”是“”的必要不充分條件.故選：B.8．某種卷筒衛(wèi)生紙繞在圓柱形盤上，空盤時(shí)盤芯直徑為40，滿盤時(shí)直徑為120，已知衛(wèi)生紙的厚度為0.1，則滿盤時(shí)衛(wèi)生紙的總長度大約（    ）（π≈3.14，精確到1）A．60 B．80 C．100 D．120【答案】C【分析】將衛(wèi)生紙的長度近似看成400個(gè)直徑成等差數(shù)列的圓周長的和，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可求得滿盤時(shí)衛(wèi)生紙的總長度大約為100【詳解】空盤直徑是，半徑是，周長是滿盤直徑是，半徑是，周長是，則每一圈周長成等差數(shù)列，共400項(xiàng)，，故選：C.9．某校高二年級學(xué)生舉行中國象棋比賽，經(jīng)過初賽，最后確定甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)入決賽.決賽規(guī)則如下：累計(jì)負(fù)兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場比賽，負(fù)者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，最后的勝者獲得冠軍，比賽結(jié)束.若經(jīng)抽簽，已知第一場甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為，則（    ）A．甲獲得冠軍的概率最大 B．甲比乙獲得冠軍的概率大C．丙獲得冠軍的概率最大 D．甲、乙、丙3人獲得冠軍的概率相等【答案】C【分析】根據(jù)比賽進(jìn)行的場次進(jìn)行分類討論，結(jié)合相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式，求得甲、乙、丙三人獲得冠軍的概率，從而確定正確答案．【詳解】根據(jù)決賽規(guī)則，至少需要進(jìn)行四場比賽，至多需要進(jìn)行五場比賽，（1）甲獲得冠軍有兩種情況：①共比賽四場結(jié)束，甲四連勝奪冠，概率為 ②共比賽五場結(jié)束，并且甲獲得冠軍．則甲的勝、負(fù)、輪空結(jié)果共有四種情況∶勝勝勝負(fù)勝，勝勝負(fù)空勝，勝負(fù)空勝勝，負(fù)空勝勝勝，概率分別為，即，因此，甲最終獲得冠軍的概率為；（2）乙獲得冠軍，與（1）同理，概率也為；（3）丙獲得冠軍，概率為，由此可知丙獲得冠軍的概率最大，即A，B，D錯(cuò)誤，C正確，故選∶C．10．對于函數(shù)，若對任意的，，，為某一三角形的三邊長，則稱為“可構(gòu)成三角形的函數(shù)”，已知是可構(gòu)成三角形的函數(shù)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)構(gòu)成三角形的條件，只需研究該函數(shù)的最小值與最大值，只要保證，即可保證該函數(shù)為“可構(gòu)成三角形的函數(shù)” ，即得答案.【詳解】由題意得，，當(dāng)時(shí)，，適合題意；的定義域?yàn)?/span>R，則，所以是偶函數(shù)，因?yàn)?/span>為偶函數(shù)，故只需考慮在上的范圍，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在單調(diào)遞減，故，由題意知對任意的，恒成立，需，此時(shí)無最小值，故需，即；.當(dāng)，在上單調(diào)遞增，，對對任意的，恒成立，需，但此時(shí)無最大值，需，即，綜上：,故選：B11．已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與圓相切于點(diǎn)Q，與雙曲線的右支交于點(diǎn)P，若線段的垂直平分線恰好過右焦點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為（    ）A． B． C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)題意畫出草圖，由題意O為的中點(diǎn)可得，求出，即可得到，，根據(jù)雙曲線定義推得長度，在直角三角形中用勾股定理即可找到之間的關(guān)系，即可求得離心率.【詳解】設(shè)的焦距為，則，由題意過的直線與圓相切于點(diǎn)Q，連接,則,連接,設(shè)M為的中點(diǎn)，則,則,因?yàn)?/span>O為的中點(diǎn)，故Q為的中點(diǎn)，即,在中，，故，則，由于M為的中點(diǎn)，所以,即,在雙曲線 中，P在右支上，有，所以，又，所以在中，,即，化簡得，故雙曲線的離心率為，故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：要求雙曲線的離心率，即要求出之間的關(guān)系，因而解答本題時(shí)，根據(jù)題意推出相關(guān)線段的長，特別是，繼而在中應(yīng)用勾股定理即是關(guān)鍵所在.12．過點(diǎn)可作三條直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點(diǎn)為，得到切線方程，代入點(diǎn)坐標(biāo)得到，設(shè)，計(jì)算函數(shù)的極值，得到答案.【詳解】，，設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為，切線過點(diǎn)，，整理得到，方程有三個(gè)不等根.令，則，令，則或，當(dāng)或時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，極大值，極小值，函數(shù)與有三個(gè)交點(diǎn)，則，的取值范圍為.故選：D 二、填空題13．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)m的值為______.【答案】－6【分析】先求得的坐標(biāo)，再根據(jù)求解.【詳解】解：因?yàn)橄蛄?/span>，，所以，又因?yàn)?/span>，所以，解得，故答案為：－614．若拋物線y2=2x上的一點(diǎn)M到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為，則點(diǎn)M到該拋物線焦點(diǎn)的距離為_____．【答案】【分析】求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，將點(diǎn)M到該拋物線焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)M到拋物線y2=2x的準(zhǔn)線的距離即可．【詳解】設(shè)點(diǎn)M ，∵|MO|=∴∴y2=2或y2=-6（舍去），∴x==1∴M到拋物線y2=2x的準(zhǔn)線x=-的距離d=1-（-）=∵點(diǎn)M到拋物線焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)M到拋物線y2=2x的準(zhǔn)線的距離，∴點(diǎn)M到該拋物線焦點(diǎn)的距離為故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線定義的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，求得點(diǎn)M的坐標(biāo)是關(guān)鍵.15．若定義域?yàn)?/span>的奇函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且不等式的解集為，則符合題意的一個(gè)函數(shù)解析式為______.【答案】（答案不唯一）【分析】先化簡條件“不等式的解集為”，再結(jié)合奇函數(shù)和單調(diào)性寫出解析式.【詳解】因?yàn)?/span>的解集為，所以時(shí)，的解為；時(shí)，的解為；又因?yàn)槎x域?yàn)?/span>的奇函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以的解析式可以為答案不是唯一的，符合題意即可.故答案為：（答案不唯一）16．我們可以用下面的方法在線段上構(gòu)造出一個(gè)特殊的點(diǎn)集：如圖，取一條長度為1的線段，第1次操作，將該線段三等分，去掉中間一段，留下兩段；第2次操作，將留下的兩段分別三等分，各去掉中間一段，留下四段；按照這種規(guī)律一直操作下去.若經(jīng)過次這樣的操作后，去掉的所有線段的長度總和大于，則的最小值為__________.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】12【分析】設(shè)每次操作留下的長度為，得到為等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，求出，從而得到去掉的所有線段長度總和為，列出不等式，求出答案.【詳解】設(shè)每次操作留下的長度為，則，，且每次操作留下的長度均為上一次操作留下長度的，所以為等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，故，所以經(jīng)過次這樣的操作后，去掉的所有線段長度總和為，故，即，兩邊取對數(shù)得：，因?yàn)?/span>，所以，則n的最小值為12.故答案為：12 三、解答題17．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，滿足.(1)求B；(2)若的周長為6，，求的面積.【答案】(1)(2) 【分析】(1)利用正弦定理先邊化角，再借助和角正弦公式化簡得，從而可解；(2)利用余弦定理和已知的周長得到，再借助三角形的面積公式即可求解.【詳解】（1）∵，根據(jù)正弦定理可得：，即.∴，即.∵，∴，∴，又，∴.（2）由余弦定理知，即，又，，∴.∴18．偏差是指個(gè)別測定值與測定的平均值之差，在成績統(tǒng)計(jì)中，我們把某同學(xué)的某科考試成績與該科平均成績的差叫某科偏差（實(shí)際成績－平均成績＝偏差）.在某次考試成績統(tǒng)計(jì)中，教研人員為了對學(xué)生數(shù)學(xué)偏差x（單位：分）與物理偏差y（單位：分）之間的關(guān)系進(jìn)行分析，隨機(jī)挑選了8位同學(xué)，得到他們的兩科成績偏差數(shù)據(jù)如下：學(xué)生序號12345678數(shù)學(xué)偏差x/分20151332物理偏差y/分6.53.53.51.50.5 (1)若x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程；(2)若本次考試數(shù)學(xué)平均成績?yōu)?/span>100分，物理平均成績?yōu)?/span>70.5分，試由（1）的結(jié)論預(yù)測數(shù)學(xué)成績?yōu)?/span>116分的同學(xué)的物理成績.參考公式：，.參考數(shù)據(jù)：，.【答案】(1)(2)75分. 【分析】(1)根據(jù)線性回歸方程的求法直接求解；(2)利用回歸方程以及偏差的定義求解.【詳解】（1）由題意可得，，，又，，∴，，∴y關(guān)于x的線性回歸方程為：.（2）設(shè)該同學(xué)的物理成績?yōu)?/span>W，則物理偏差為W－70.5.又?jǐn)?shù)學(xué)偏差為，∴，解得.∴預(yù)測這位同學(xué)的物理成績?yōu)?/span>75分.19．如圖，在直三棱柱中，，E為的中點(diǎn)，，.(1)證明：；(2)求平面與平面ABC所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）證明平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理即可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求得平面的法向量，根據(jù)空間角的向量求法即可求得答案.【詳解】（1）證明：在直三棱柱中,平面，平面，故 ,又，平面,故平面,平面,所以.（2）由題意知平面，，分別以所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由已知得E為的中點(diǎn)，，,所以,故,設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，所以，因?yàn)?/span>平面，故平面ABC的一個(gè)法向量可取為，故 ，由圖可知平面與平面ABC所成角為銳角，故平面與平面ABC所成角的余弦值為.20．已知橢圓C：的離心率為，右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)，A關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)為M，證明：三點(diǎn)共線.【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）根據(jù)題意求得c，結(jié)合離心率求得，即得答案；（2）判斷直線l的斜率存在，設(shè)出直線方程，并和橢圓方程聯(lián)立，可得根與系數(shù)的關(guān)系式，表示出，的坐標(biāo)，利用向量的共線證明三點(diǎn)共線，即得結(jié)論.【詳解】（1）∵橢圓C的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，拋物線的焦點(diǎn)為,∴,又，∴,∴,∴橢圓C的方程為.（2）證明：由（1）知橢圓C的左焦點(diǎn)為，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，其方程為：，此時(shí)直線l與橢圓C沒有交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，，，則.聯(lián)立，消去y得，∴，解得,∴，,∵，，又，，∴，∵與共線，而與有公共點(diǎn),即、、 三點(diǎn)共線.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題涉及到直線和橢圓的位置關(guān)系的問題，解答并不困難，要證明三點(diǎn)共線，一般結(jié)合向量的共線來證明，利用向量共線的坐標(biāo)表示，計(jì)算即可.21．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)證明：.【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)(3)證明見解析 【分析】(1)利用導(dǎo)函數(shù)討論單調(diào)性；(2)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性、最值的關(guān)系求解；(3)利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系證明不等式.【詳解】（1）∵，∴，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得；令，得.∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，且，當(dāng)趨于無窮大時(shí)，的增長速率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于的增長速率，所以趨于,由此作出的圖象，∴若有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，只需.設(shè)，則.∴當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.又，∴或.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為.（3）證明：由（1）可知當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.∴.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．22．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)已知直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)，求的值.【答案】(1)，(2) 【分析】(1)消參可求l的普通方程，利用，可求直角坐標(biāo)方程；(2)根據(jù)直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義結(jié)合韋達(dá)定理求解.【詳解】（1）∵直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），∴消去t可得直線l的普通方程為.∵曲線C的極坐標(biāo)方程為，即，又∵，，∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為.（2）將（t為參數(shù)）代入，得，顯然，即方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，設(shè)點(diǎn)A，B在直線l的參數(shù)方程中對應(yīng)的參數(shù)分別是，，則，，∴，∴.23．已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；(2)若，求的取值范圍【答案】(1)(2) 【分析】（1）分類討論去絕對值求解；（2）根據(jù)求的最小值，運(yùn)算求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由，即當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，無解；當(dāng)時(shí)，，解得，綜上所述：不等式的解集為（2）∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，則的最小值為因?yàn)?/span>，所以所以或解得或綜上，即的取值范圍為.