絕密★啟用前2023年高考數(shù)學考前信息必刷卷05新高考地區(qū)專用新高考地區(qū)考試題型為8（單選題）＋4（多選題）＋4（填空題）＋6（解答題），其中結構不良型試題是新高考地區(qū)新增加的題型，主要涉及解三角形與數(shù)列兩大模塊，以解答題的方式進行考查。考查學生知識的應用能力，數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。能夠對已知條件進行綜合分析、歸納與抽象，并正確地將實際問題轉化為數(shù)學模型，再用相關的數(shù)學知識，進行合理設計，確定解題方案，進行數(shù)學上的計算求解． 以數(shù)學文化為背景的新情景問題，此類試題蘊含濃厚的數(shù)學文化氣息，將數(shù)學知識、方法等融為一體，能有效考查學生在新情景下對知識的理解以及遷移到不同情境中的能力，考查學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力，例如本卷第16題，以中國傳統(tǒng)刺繡工藝為背景，考查數(shù)列的知識，難點較大。本卷中預測考查數(shù)學建模的核心素數(shù)，例如本卷第20題以蘇州博物館八角亭為背景，考查二面角，線面角的同時，讓學生體驗數(shù)學的立體美。再如第22題以倉儲型物流干線為背景，考查學生應用函數(shù)知識求解實際應用問題的方法。一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，則z的虛部為（    ）A． B． C．2 D．【答案】C【詳解】設，則，因為，即有，整理得，解得，所以z的虛部為2．故選：C2．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意得，，∴.故選:D．3．已知函數(shù)，圖像上每一點的橫坐標縮短到原來的，得到的圖像，的部分圖像如圖所示，若，則等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【詳解】根據，可得，故，所以，故的周期為24，所以，，故選：A．4．為做好“甲型流感”傳染防控工作，某校堅持每日測溫報告，以下是高三一班，二班各10名同學的體溫記錄（從低到高）：高三一班：36.1，36.2，，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（單位：℃），高三二班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，，37.1（單位：℃）若這兩組數(shù)據的第25百分位數(shù)、第90百分位數(shù)都分別對應相等，則為（    ）A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3【答案】C【詳解】由，可得第25百分位數(shù)分別為和，則；由，可得第90百分位數(shù)分別為和，則，解得；故.故選：C.5．如圖，直三棱柱中，，，，點是的中點，點是線段上一動點，點在平面上移動，則，兩點之間距離的最小值為（    ）A． B． C． D．1【答案】A【詳解】連接交于點，連接，∵分別為的中點，則，且平面，平面，∴平面，則點到平面的距離相等，設為，則，兩點之間距離的最小值為，即點到平面的距離為，∵的中點在上，則點到平面的距離為，由題意可得為，由，則，解得，故，兩點之間距離的最小值為.故選：A.6．如圖所示，當籃球放在桌面并被斜上方一個燈泡（當成質點）發(fā)出的光線照射后，在桌面上留下的影子是橢圓，且籃球與桌面的接觸點是橢圓的右焦點．若籃球的半徑為個單位長度，燈泡與桌面的距離為個單位長度，燈泡垂直照射在平面上的點為，橢圓的右頂點到點的距離為個單位長度，則此時橢圓的離心率等于（    ）A． B． C． D．【答案】D【詳解】以為坐標原點，可建立如圖所示平面直角坐標系，由題意知：，，，，則直線，即，設，則，點到直線的距離，解得：，，即；設直線，即，點到直線的距離，解得：或，又直線，，即直線，令，解得：，即，，即；由得：，橢圓離心率.故選：D.7．已知數(shù)列滿足：當時，，其中為正整數(shù)，則使得不等式成立的的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【詳解】記數(shù)列的前項和為，當時，，即數(shù)列中值為的項數(shù)為，則，令，可得，因為，所以，滿足不等式的的最小值為．因為，，，故的最小值為．故選：C.8．已知，，.其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，令，令，則，當時，，所以在上單調遞增，又，所以，又，所以，在成立，所以，即，所以，即，令，所以，因為，所以，即，所以在上單調遞減，所以，即令，所以，因為，所以，即，所以在上單調遞減，所以，即，所以，在成立，令，則上式變?yōu)?/span>，所以，即，綜上，.故選：B.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9． “50米跑”是《國家學生體質健康標準》測試項目中的一項．已知某地區(qū)高中女生的“50米跑”測試數(shù)據（單位：秒）服從正態(tài)分布，且．現(xiàn)從該地區(qū)高中女生中隨機抽取5人，并記這5人“50米跑”的測試數(shù)據落在內的人數(shù)為，則下列正確的有（    ）A． B．C． D．【答案】BC【詳解】因為服從正態(tài)分布，故，，則，故A錯誤，B正確；5人“50米跑”的測試數(shù)據符合二項分布，即，故C正確；，故D錯誤；故選：BC.10．如圖，在直角梯形ABCD中，，，，是的中點，則（    ）A． B．C． D．【答案】ABC【詳解】如圖建立平面直角坐標系，則，對A，，正確；對B，，，正確；對C，，正確；對D，，，錯誤.故選：ABC.11．在中，所對的邊為，，邊上的高為，則下列說法中正確的是（    ）A． B． C．的最小值為 D．的最大值為【答案】ABD【詳解】設邊上的高為，則，，，即，A正確；由余弦定理得：，又，，，B正確；，，，，；，，，，C錯誤，D正確.故選：ABD.12．設，當時，規(guī)定，如，．則（    ）A．B．C．設函數(shù)的值域為M，則M的子集個數(shù)為32D．【答案】BCD【詳解】對于A中，例如，則，可得，所以A錯誤；對于B中，由，所以，所以，所以，所以B正確；對于C中，因為，可得，當時，可得，即函數(shù)的值域為，所以集合的子集個數(shù)為，所以C正確；對于D中，設，若，可得，所以，，則，所以的周期為，又當時，可得，此時；，此時； ，此時；，此時，所以，結合周期為，即恒為，所以D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．為了研究高三（1）班女生的身高x（單位；cm）與體重y（單位：kg）的關系，從該班隨機抽取10名女生，根據測量數(shù)據的散點圖可以看出y與x之間有線性相關關系，設其回歸直線方程為．已知，，．該班某女生的身高為170cm，據此估計其體重為________________kg．【答案】54.5【詳解】，，故，解得：，故回歸直線方程為，則當時，(kg).故答案為：54.514．如圖，已知圓的方程為，圓的方程為，若動圓與圓內切與圓外切．則動圓圓心的軌跡的方程為___________.【答案】【詳解】因為圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，設動圓的半徑為，因為動圓與圓內切，與圓外切，所以，，于是，所以動圓圓心的軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓，從而，所以.所以動圓圓心的軌跡的方程為．故答案為：.15．隨著疫情解除，經濟形勢逐漸好轉，很多公司的股票價格開始逐步上升．經調查，A公司的股價在去年年初（時）的股價是每股5元人民幣，到了年末（時）漲到了每股6元人民幣．經過建立模型分析發(fā)現(xiàn)，在第t個月的時候，A公司的股價可以用函數(shù)來表示，其中k為常數(shù)．假設A公司的股價繼續(xù)按照上述的模型持續(xù)增長，則當A公司的股價漲到10元時，t的值約為______（結果精確到個位數(shù)，參考數(shù)據：，，．）【答案】42【詳解】解：因為A公司的股價在時是每股5元人民幣，所以，所以．經過12個月后，得到，所以．根據題意，要股價漲到10元，則，所以，所以．故答案為：42.16．刺繡是中國優(yōu)秀的民族傳統(tǒng)工藝之一，已經有2000多年的歷史.小王同學在刺繡選修課上，設計了一個螺旋形圖案--即圖中的陰影部分.它的設計方法是：先畫一個邊長為3的正三角形，取正三角形各邊的三等分點，得到第一個陰影三角形；在正三角形中，再取各邊的三等分點，得到第二個陰影三角形；繼續(xù)依此方法，直到得到圖中的螺旋形圖案，則______;圖中螺旋形圖案的面積為______.【答案】          【詳解】解：設正三角形的邊長為，后續(xù)各正三角形的邊長依次為，，，設第一個陰影三角形面積為,后續(xù)陰影三角形面積為由題意知，，，所以為以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以；所以，又，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故圖中陰影部分面積為，故答案為：；.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知銳角△ABC的內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．(1)求角C的大??；(2)若，求c的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由已知及正弦定理，得，即，∴．又∵，∴；（2）由（1）及正弦定理得，∵，∴，∴．∵，∴，，∴，∴．18．（12分）已知正項數(shù)列的前n項和為，且 ，， ．(1)求；(2)在數(shù)列的每相鄰兩項之間依次插入，得到數(shù)列 ，求的前100項和.【答案】(1)，(2)186【詳解】（1）因為，當時，，                        因為，所以，故．當時，適合上式，所以，.（2）（方法1）因為，，所以當時，．所以所以數(shù)列：1，1，2，1，2，2，1，2，2，2，……，設，則，因為，所以.                       所以的前100項是由14個1與86個2組成．所以.                             （方法2）設，則，因為，所以.                             根據數(shù)列的定義，知.19．（12分） “稻草很輕，但是他迎著風仍然堅韌，這就是生命的力量，意志的力量”“當你為未來付出踏踏實實努力的時候，那些你覺得看不到的人和遇不到的風景都終將在你生命里出現(xiàn)”……當讀到這些話時，你會切身體會到讀書破萬卷給予我們的力量．為了解某普通高中學生的閱讀時間，從該校隨機抽取了名學生進行調查，得到了這名學生一周的平均閱讀時間（單位：小時），并將樣本數(shù)據分成九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求的值；(2)為進一步了解這名學生閱讀時間的分配情況，從周平均閱讀時間在，，三組內的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了人，現(xiàn)從這人中隨機抽取人，記周平均閱讀時間在內的學生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望；(3)以樣本的頻率估計概率，從該校所有學生中隨機抽取名學生，用表示這名學生中恰有名學生周平均閱讀時間在內的概率，其中．當最大時，寫出的值．【答案】(1)(2)分布列見解析；數(shù)學期望(3)【詳解】（1），.（2）由頻率分布直方圖可得：周平均閱讀時間在，，三組的頻率之比為，人中，周平均閱讀時間在的人數(shù)為人；在的人數(shù)為人；在的人數(shù)為人；則所有可能的取值為，；；；；的分布列為：數(shù)學期望.（3）用頻率估計概率，從該校所有學生中隨機抽取名學生，周平均閱讀時間在內的概率；則，若最大，則最大，當時，取得最大值.20．（12分）在蘇州博物館有一類典型建筑八角亭，既美觀又利于采光，其中一角如圖所示，為多面體，，，，底面，四邊形是邊長為2的正方形且平行于底面，，，的中點分別為，，，．(1)證明：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)一束光從玻璃窗面上點射入恰經過點（假設此時光經過玻璃為直射），求這束光在玻璃窗上的入射角的正切值．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）過點作的平行線，由題意可知以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，，，，，．設平面的法向量為，，，，，令，則，∵，∴，平面.（2）根據圖形易知平面的法向量為，設平面與平面的夾角為，則.所以平面與平面夾角的余弦值.（3），入射角為，，因為，所以，.故這束光在玻璃窗上的入射角的正切值為.21．（12分）在平面直角坐標系中，已知橢圓：焦距為2，過點的直線與橢圓交于兩點.當直線過原點時，.(1)求橢圓的標準方程；(2)若存在直線，使得，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為直線過原點時，，設，由可得：，即設不妨點在第一象限，所以，代入橢圓的方程，可得，又由題意可知，，且，解得，，所以橢圓的標準方程為；（2）易知直線的斜率存在，設：，與橢圓的方程聯(lián)立，消去，整理得，由題意可知，，整理得，解得，設，，則，，①由題意，，將①代入上式，整理得，有，由，則，故，即.22．（12分）我國南北朝時期的數(shù)學家祖沖之（公元429年-500年）計算出圓周率的精確度記錄在世界保持了千年之久，德國數(shù)學家魯?shù)婪颍ü?/span>1540年-1610年）用一生精力計算出了圓周率的35位小數(shù)，隨著科技的進步，一些常數(shù)的精確度不斷被刷新．例如：我們很容易能利用計算器得出函數(shù)的零點的近似值，為了實際應用，本題中取的值為-0.57．哈三中畢業(yè)生創(chuàng)辦的倉儲型物流公司建造了占地面積足夠大的倉庫，內部建造了一條智能運貨總干線，其在已經建立的直角坐標系中的函數(shù)解析式為，其在處的切線為，現(xiàn)計劃再建一條總干線，其中m為待定的常數(shù)．注明：本題中計算的最終結果均用數(shù)字表示．(1)求出的直線方程，并且證明：在直角坐標系中，智能運貨總干線上的點不在直線的上方；(2)在直角坐標系中，設直線，計劃將倉庫中直線與之間的部分設為隔離區(qū)，兩條運貨總干線、分別在各自的區(qū)域內，即曲線上的點不能越過直線，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)，證明見解析.(2)【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得，則且，所以的方程為，即因為函數(shù)的零點的近似值，即，所以，可得又因為，所以的直線方程為令其中，則，令，解得，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以當時，函數(shù)取得極大值，也為最大值，即，所以在直角坐標系中，智能運貨總干線上的點不在直線的上方.（2）解：由曲線且，令，要使得兩條運貨總干線、分別在各自的區(qū)域內，則滿足恒成立，又由，令，可得，即，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，當時，函數(shù)取得最小值，最小值為，令，即，即，即，因為，可得，又因為函數(shù)的零點的近似值，即，所以，則，又由，所以，所以實數(shù)的取值范圍是.   
 

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