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2023年高考數(shù)學(xué)考前信息必刷卷01
新高考地區(qū)專用

新高考地區(qū)考試題型為8（單選題）＋4（多選題）＋4（填空題）＋6（解答題），其中結(jié)構(gòu)不良型試題是新高考地區(qū)新增加的題型，主要涉及解三角形與數(shù)列兩大模塊，以解答題的方式進(jìn)行考查。
所謂結(jié)構(gòu)不良型試題，就是給出一些條件，另外的條件題干中給出三個(gè)，學(xué)生可從中選擇一個(gè)或者兩個(gè)作為條件，進(jìn)行解題。需要注意的是：題目所給的三個(gè)可選擇的條件是平行的，即無(wú)論選擇哪個(gè)條件，都可解答題目，而且在可選擇的三個(gè)條件中，并沒(méi)有哪個(gè)條件讓解答過(guò)程比較繁雜，只要推理嚴(yán)謹(jǐn)、過(guò)程規(guī)范，都會(huì)得滿分。

2022年新高考地區(qū)解答題中，雖未以結(jié)構(gòu)不良型方式考查數(shù)列與解三角形這兩大知識(shí)模塊，但預(yù)測(cè)2023年新高考地區(qū)將以結(jié)構(gòu)不良型方式考查數(shù)列與解三角形這兩大知識(shí)模塊中的一個(gè)，出現(xiàn)在17題的可能性較大，難度中等偏下，例如本卷第17題。
同時(shí)應(yīng)特別注意以數(shù)學(xué)文化為背景的新情景問(wèn)題，此類試題蘊(yùn)含濃厚的數(shù)學(xué)文化氣息，將數(shù)學(xué)知識(shí)、方法等融為一體，能有效考查學(xué)生在新情景下對(duì)知識(shí)的理解以及遷移到不同情境中的能力，考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，一般出現(xiàn)在選擇題第4題、第5題的位置，難度中等，例如本卷第5題。

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．已知集合，，則集合B中所有元素之和為（????）
A．0 B．1 C．－1 D．
【答案】C
【詳解】根據(jù)條件分別令，解得，
又，所以，，
所以集合B中所有元素之和是，
故選：C．
2．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】因?yàn)椋?
故選：B
3． 的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（????）
A．－20 B．30 C．－10 D．10
【答案】D
【詳解】解:因?yàn)?br /> 的展開式的通項(xiàng)公式為,
令,得;
令,得,
所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為:
.
故選:D
4． “”是“圓：與圓：有公切線”的（????）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【詳解】圓：的圓心，半徑，圓：的圓心，半徑，
若兩圓有公切線，則，即，解得或，
所以“”是“圓：與圓：有公切線”的充分而不必要條件.
故選：A.
5． “省刻度尺”問(wèn)題由英國(guó)數(shù)學(xué)游戲大師杜登尼提出：一根長(zhǎng)的尺子，要能夠量出長(zhǎng)度為到且邊長(zhǎng)為整數(shù)的物體，至少需要6個(gè)刻度（尺子頭尾不用刻）．現(xiàn)有一根的尺子，要能夠量出長(zhǎng)度為到且邊長(zhǎng)為整數(shù)的物體，尺子上至少需要有（????）個(gè)刻度
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【詳解】若有一根的尺子，量出長(zhǎng)度為到且為整數(shù)的物體，
則當(dāng)尺子有4個(gè)刻度時(shí)滿足條件
設(shè)為長(zhǎng)度，為刻度，為刻度對(duì)應(yīng)的數(shù)量，則有且，其中，
當(dāng)時(shí)，


下證，當(dāng)尺子有3個(gè)刻度時(shí)不能量出的物體長(zhǎng)度
設(shè)且，其中，
所以當(dāng)中有1個(gè)0，x的取值至多有3個(gè)
當(dāng)中有2個(gè)0時(shí)，或，x的取值至多有2個(gè)
當(dāng)中沒(méi)有0時(shí)，x的取值有1個(gè)
所以x取值至多有6個(gè)，即當(dāng)尺子有3個(gè)刻度時(shí)不能量出的物體長(zhǎng)度．
故選:B
6．已知函數(shù)的最小正周期為，，且的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，若將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的最小值為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】，，且，
，即，
的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，
，且，即，解得，
，
取，，
，
將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖像，
的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，
，解得，
，
的最小值，令，得，
故選：B.
7．實(shí)數(shù)x，y，z分別滿足，，，則x，y，z的大小關(guān)系為（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】解：由已知得 ，，，
設(shè) ，，當(dāng)時(shí)，，
所以 在上單調(diào)遞減，因此，
即 所以 ，；
又設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，
因此 ，所以 ，則；
綜上得.
故選：B．
8．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（在的左邊），且．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（????）

A．當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，不存在點(diǎn)使得
B．當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，不存在點(diǎn)使得
C．當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角的最大值為
D．當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角為定值
【答案】C
【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則．
因?yàn)樵谏?，且，?br /> 可設(shè)，則，
則，
所以，
故恒為正，故A正確．
若，則四點(diǎn)共面，與和是異面直線矛盾，故B正確．
設(shè)平面的法向量為，
又，所以，即，
取，則，
平面的法向量為，所以．
設(shè)二面角的平面角為，則為銳角，故，
因?yàn)?，在上單調(diào)遞減，
所以，故，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值，即取最小值，故C錯(cuò)誤．

連接．平面即為平面，而平面即為平面，故當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角的大小保持不變，故D正確．

故選：C
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9．已知向量，，則正確的是（????）
A．若，則 B．若，則
C．若與的夾角為鈍角，則 D．若向量是與同向的單位向量，則
【答案】ABD
【詳解】對(duì)于A，若，則，所以，故A正確；
對(duì)于B，若，則，所以，故B正確；
對(duì)于C，若與的夾角為鈍角，則，且與不共線，
即，解得，且，故C不正確；
對(duì)于D，若向量是與同向的單位向量，則，故D正確.
故選：ABD.
10．甲箱中有4個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙箱中有3個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球，先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，分別以，和表示由甲箱取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出一球，以B表示由乙箱取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論正確的是（????）
A．事件B與事件相互獨(dú)立 B．
C． D．
【答案】BD
【詳解】，，
先發(fā)生，則乙袋中有4個(gè)紅球3白球3黑球，
先發(fā)生，則乙袋中有3個(gè)紅球4白球3黑球，，
先發(fā)生，則乙袋中有3個(gè)紅球3白球4黑球，．
，B對(duì)．


，C錯(cuò)．
，A錯(cuò)．
，D對(duì)．
故選:BD.
11．已知分別為橢圓和雙曲線的公共左，右焦點(diǎn)，（在第一象限）為它們的一個(gè)交點(diǎn)，且，直線與雙曲線交于另一點(diǎn)，若，則下列說(shuō)法正確的是（????）
A．的周長(zhǎng)為 B．雙曲線的離心率為
C．橢圓的離心率為 D．
【答案】BCD
【詳解】設(shè)，則，，，
中由余弦定理，得
，化簡(jiǎn)得，
，D正確；
又，所以，又，
的周長(zhǎng)為，A錯(cuò)誤；
中，，由余弦定理得，所以，
因此雙曲線的離心率為，B正確；
橢圓的離心率為，C正確，
故選：BCD．

12．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，；且對(duì)于任意，恒有，則（????）
A．是周期為2的周期函數(shù)
B．
C．當(dāng)時(shí)，方程有且僅有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則k的取值范圍為
D．
【答案】BCD
【詳解】已知對(duì)于任意，恒有，
即任意，恒有，又當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，,.
選項(xiàng)A，由已知對(duì)于任意，恒有，不符合周期性定義，所以A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B，，故B正確；
選項(xiàng)C，如圖1，當(dāng)時(shí)，方程有且僅有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線為，與有9個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)直線與，相切時(shí)，此時(shí)是7個(gè)交點(diǎn)，
令，整理得，
由，解得，
當(dāng)時(shí)，方程，即，解得，舍；當(dāng)時(shí)，方程，即，解得，滿足題意；且，，點(diǎn)在直線的上方.所以k的取值范圍為，故C正確；
選項(xiàng)D， 如圖2，過(guò)點(diǎn)，，，，
成立；
當(dāng)時(shí)，,.
，即，
所以，故D正確；

故選：BCD.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列條件①②的等比數(shù)列{}的通項(xiàng)公式＝___．
①；②
【答案】（答案不唯一）
【詳解】依題意，是等比數(shù)列，設(shè)其公比為，
由于①，所以，
由于②，所以，
所以符合題意.
故答案為：（答案不唯一）
14．從某地抽取1000戶居民用戶進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的用電量都在50~650kW·h之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示.若根據(jù)圖示估計(jì)得該樣本的平均數(shù)為322，則可以估計(jì)該地居民月用電量的第60百分位數(shù)約為______.

【答案】350
【詳解】由題意可得，解得，
由知，估計(jì)該地居民月用電量的第60百分位數(shù)約為.
故答案為：350
15．已知圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，其內(nèi)切球的體積為，則該圓錐的高為________．
【答案】3
【詳解】因?yàn)閮?nèi)切球的體積為，故內(nèi)切球的半徑滿足，故.
設(shè)母線的長(zhǎng)為，底面圓的半徑為，故，故，
故軸截面為等邊三角形（如圖所示），設(shè)分別為等邊三角形的內(nèi)切圓與邊的切點(diǎn)，
為內(nèi)切圓的圓心，則共線且，，
而，故，故，

故答案為：3.
16．三棱錐中，，，點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，的面積為，則AB與平面BCD所成角的正弦值為______，此三棱錐外接球的體積為______．
【答案】???? ##???? ##
【詳解】設(shè)平面，垂足為，如圖，

過(guò)作于點(diǎn)，過(guò)作于，連接，
由平面，平面，得，
又，平面，平面，
平面，得，同理，
從而均為直角三角形，
∵，，
∴，則在的平分線上，易知AB與平面BCD所成角即為．
∵，
∴，
又，
，即，則AB與平面BCD所成角的正弦值為，
又，解得，
又，
，
，同理，
，為外接球直徑，
三棱錐外接球的體積為．
故答案為：，.
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17．（10分）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．從①②③中選取兩個(gè)作為條件，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答．①；②的面積是；③．
問(wèn)題：已知角A為鈍角，，______．
(1)求外接圓的面積；
(2)AD為角A的平分線，D在BC上，求AD的長(zhǎng)．
【答案】(1)條件選擇見(jiàn)解析，
(2)
【詳解】（1）選①②，
，，
又，即，得，
由余弦定理，得，
由正弦定理，得，，
所以，外接圓的面積為．
選①③，因?yàn)椋?br /> 所以由余弦定理，得，
由正弦定理，得，，
所以，外接圓的面積為．
選②③，
由，，A為鈍角，得，
由余弦定理，得，
由正弦定理，得，，
所以，外接圓的面積為．
（2）由AD為角A的平分線，設(shè)，，
則有，
由的面積，
即，解得．
故AD的長(zhǎng)為.
18．（12分）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，，記．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)已知，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【詳解】（1）由，得．
∴，則．∴，
∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，
∴．∵，
∴．
（2）∵，
∴
∴

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，．
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，是遞增數(shù)列，∴．
綜上得：．
19．（12分）某學(xué)校號(hào)召學(xué)生參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)，為了了解學(xué)生參與活動(dòng)的情況，隨機(jī)調(diào)查了100名學(xué)生一個(gè)月（30天）完成鍛煉活動(dòng)的天數(shù)，制成如下頻數(shù)分布表：
天數(shù)
[0，5]
（5，10]
（10，15]
（15，20]
（20，25]
（25，30]
人數(shù)
4
15
33
31
11
6
(1)由頻數(shù)分布表可以認(rèn)為，學(xué)生參加體育鍛煉天數(shù)X近似服從正態(tài)分布，其中μ近似為樣本的平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中間值），且，若全校有3000名學(xué)生，求參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)超過(guò)21天的人數(shù)（精確到1）；
(2)調(diào)查數(shù)據(jù)表明，參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)的天數(shù)在（15，30]的學(xué)生中有30名男生，天數(shù)在[0，15]的學(xué)生中有20名男生，學(xué)校對(duì)當(dāng)月參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)超過(guò)15天的學(xué)生授予“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào).請(qǐng)?zhí)顚懴旅媪新?lián)表：
性別
活動(dòng)天數(shù)
合計(jì)
[0，15]
（15，30]
男生



女生



合計(jì)



并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為學(xué)生性別與獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào)有關(guān)聯(lián).如果結(jié)論是有關(guān)聯(lián)，請(qǐng)解釋它們之間如何相互影響.
附：參考數(shù)據(jù)：；；.
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【答案】(1)476人
(2)答案見(jiàn)解析
【詳解】（1）由頻數(shù)分布表知
，則，，
，
，
參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)超過(guò)21天的人數(shù)約為476人.
（2）由頻數(shù)分布表知，鍛煉活動(dòng)的天數(shù)在的人數(shù)為：，
參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)的天數(shù)在[0，15]的學(xué)生中有20名男生，
參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)的天數(shù)在[0，15]的學(xué)生中有女生人數(shù)：
由頻數(shù)分布表知，鍛煉活動(dòng)的天數(shù)在的人數(shù)為，
參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)的天數(shù)在（15，30]的學(xué)生中有30名男生，
參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)的天數(shù)在[0，15]的學(xué)生中有女生人數(shù)：
列聯(lián)表如下：
性別
活動(dòng)天數(shù)
合計(jì)


男生
20
30
50
女生
32
18
50
合計(jì)
52
48
100
零假設(shè)為：學(xué)生性別與獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào)無(wú)關(guān)

依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即：可以認(rèn)為學(xué)生性別與獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào)有關(guān)；
而且此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)得到，男生、女生中活動(dòng)天數(shù)超過(guò)15天的頻率分別為：和，可見(jiàn)男生中獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào)的頻率是女生中獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”的稱號(hào)頻率的倍，于是依據(jù)頻率穩(wěn)定與概率的原理，我們可以認(rèn)為男生獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”的概率大于女生，即男生更容易獲得運(yùn)動(dòng)達(dá)人稱號(hào).
20．（12分）已知是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，，以為直徑的圓與軸相切于點(diǎn)，且．
(1)求拋物線的方程；
(2)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的切線，切點(diǎn)分別為，證明：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為
【詳解】（1）由拋物線方程知：，
連接，

為切點(diǎn)，，
又，，，．
，，解得：，
則拋物線的方程為．
（2）設(shè)，，，
由得：，，則，
化簡(jiǎn)整理可得：，即，
同理：由得：，
則點(diǎn)都在直線上，
即直線的方程為，
令得：，直線過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)坐標(biāo)為．
21．（12分）如圖，在斜三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)面為菱形，已知，．

(1)當(dāng)時(shí)，求三棱柱的體積；
(2)設(shè)點(diǎn)P為側(cè)棱上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍．
【答案】(1)3
(2)
【詳解】（1）解：如圖，取的中點(diǎn)為O，

因?yàn)闉榱庑?，且，所以為正三角形?br /> 又有為正三角形且邊長(zhǎng)為2，則，，
且，，所以，
所以，因?yàn)橛郑?br /> 平面，平面，所以平面，
所以三棱柱的體積．
（2）在中，，，
由余弦定理可得，
所以，由（1），，
又，平面，平面，
所以平面，因?yàn)槠矫妫?br /> 所以平面平面，所以在平面內(nèi)作，則平面，
以，，所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：

則，，，，
，，
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，
，，
則，即，
取得，設(shè)，
則
，
設(shè)直線與平面所成角為，
則
，
令，則在單調(diào)遞增，
所以，
故直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為．
22．（12分）已知函數(shù),.
(1),求的最值;
(2)若函數(shù)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求的取值范圍.
【答案】(1)最大值是,無(wú)最小值
(2)
【詳解】（1）由題意可得,定義域?yàn)?
設(shè),由,得,由,得.
則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)減,
,
故在上的最大值是,無(wú)最小值.
（2）由題意可得,
,
的定義域是.
①當(dāng),即時(shí),時(shí),時(shí),
則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
因?yàn)闀r(shí),,時(shí),,
所以要有兩個(gè)零點(diǎn),
則,解得,故;
②當(dāng),即時(shí),由,解得,
因?yàn)?所以,則有且僅有1個(gè)零點(diǎn),故不符合題意;
③當(dāng),即時(shí),由,得或,
由,得,
則在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
因?yàn)闀r(shí),,時(shí),,
所以要有兩個(gè)零點(diǎn),則或
,
若,解得,不符合題意,
若,設(shè),則化為,
時(shí),,,
所以,無(wú)解,
即無(wú)解,故不符合題意;
④當(dāng),即時(shí),恒成立,則在上單調(diào)遞增,從而最多有1個(gè)零點(diǎn),則不符合題意;
⑤當(dāng),即時(shí),由,得或,由,得,
則在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
因?yàn)闀r(shí),,時(shí),,
所以要有兩個(gè)零點(diǎn),則或.
若,解得,不符合題意,
若.
設(shè),則化為,
由（1）知在上單調(diào)遞減,所以,無(wú)解,
即無(wú)解,故不符合題意.
綜上,的取值范圍是.




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