一次函數(shù)與一元一次方程
我們就從函數(shù)的角度看一下方程與不等式.
視角不同，即使同一個東西看在眼里也是不同的.這次
下面3個方程有什么共同點和不同點？你能從函數(shù)的角度對解這3個方程進行解釋嗎？
(1) 2x + 1 = 3； (2) 2x + 1 = 0； (3) 2x + 1 = ?1.
一次函數(shù)y=2x+1 ，
當(dāng)y分別為3，0，?1時，
在直線y=2x+1上，
取縱坐標(biāo)分別為3，0，?1的點，
問題1：你能把得到的結(jié)論推廣到一般情況嗎？
求一次函數(shù)y=4x+5的函數(shù)值
問題2：我們知道任何一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為ax+b=0的形式，你能用函數(shù)的觀點解釋這個方程嗎？
一元一次方程ax+b=0的解
一次函數(shù)y=ax+b的函數(shù)值為0時，x的值.
直線y=ax+b(a≠0)與x軸交點的橫坐標(biāo).
下面3個不等式有什么共同點和不同點？類比一次函數(shù)和一元一次方程的關(guān)系，你能從函數(shù)的角度對解這3個不等式進行解釋嗎？
3x + 2 ? 2； (2) 3x + 2 ? 0； (3) 3x + 2 ? ?1.
在一次函數(shù)y=3x+2 的
函數(shù)值分別大于2、小于0、小于?1時，
求自變量x的取值范圍.
在直線y=3x+2 上取
縱坐標(biāo)分別滿足大于2、小于0、小于?1的
點，看它們的橫坐標(biāo)分別滿足什么條件.
小于9時，自變量x的取值范圍.
我們知道任何一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為ax+b?0(或者小于0)的形式，所以：
一元一次方程ax+b?0(或?0)的解
一次函數(shù)y=ax+b的函數(shù)值大(小)于 0時，
直線y=ax+b(a≠0)在x軸上(下)方的部分所
【例1】一次函數(shù)y=3x?b的圖象與x軸交于點(1，0)，則方程3x ?b=0的解為 ，b= .
①∵一次函數(shù)y=3x?b的圖象與x軸交于點(1，0)
∴方程3x ?b=0的解為x=1.
(方程3x ?b=0的解?直線y=3x?b與x軸交點的橫坐標(biāo))
②將點(1，0)代入函數(shù)y=3x?b得，3×1 ?b=0，
【例2】如圖，一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過A、B兩點，則關(guān)于x的不等式ax+b＜0的解集是 .
直線y=ax+b在x軸下方的部分所對應(yīng)的x的取值范圍.
求不等式的解集反應(yīng)在函數(shù)圖象上，即求自變量的取值范圍.
【例3】如圖，一次函數(shù)y=kx+b(k，b為常數(shù)，且k≠0)與正比例函數(shù)y=ax(a為常數(shù)，且a≠0)的圖象相交于點P，則不等式kx+b?ax的解集是 .
解決此類問題一般不求函數(shù)的解析式，而是根據(jù)不等式找到對應(yīng)部分的圖象，進而確定自變量的取值范圍.
不等式kx+b?ax的解集
y=kx+b的圖象在y=ax的上方時，所對
一次函數(shù)與二元一次方程（組）
1號探測氣球從海拔5 m 處出發(fā)，以1 m/min 的速度上升．與此同時，2號探測氣球從海拔15 m 處出發(fā)，以0.5 m/min 的速度上升．兩個氣球都上升了1 h．請用式子分別表示兩個氣球所在位置的海拔 y(單位：m)關(guān)于上升時間 x(單位：min)的函數(shù)關(guān)系．
1號探測氣球，y關(guān)于x的函數(shù)解析式為：
2號探測氣球，y關(guān)于x的函數(shù)解析式為：
問題1：如果把兩個式子： y=x+5，y=0.5x+15 中的變量都看作未知數(shù)，那么這兩個式子表示什么意義？
二元一次方程x?y=?5
一次函數(shù)y=0.5x+15
二元一次方程0.5x?y=15
請你寫出3個一次函數(shù)，用方程觀點看式子，有什么發(fā)現(xiàn)？再寫3個二元一次方程，如果把未知數(shù)看作變量，變量間的關(guān)系是什么？
問題2：如果從形的角度看，它們之間又有什么聯(lián)系呢？
在同一坐標(biāo)系內(nèi)，(1)畫出y=x+5的圖象；(2)畫出以方程x?y=?5的5個解為坐標(biāo)的點.你有什么發(fā)現(xiàn)？
以方程x?y=?5的解為坐標(biāo)的點都在一次函數(shù)y=x+5的圖象上，
點的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式
以滿足函數(shù)解析式的數(shù)對為坐標(biāo)畫點
函數(shù)y=x+5圖象上的點的坐標(biāo)都是二元一次方程y=x+5的解.
一般地，因為每個含有未知數(shù)x和y的二元一次方
程，都可以改寫為y=kx+b(k，b是常數(shù)，k≠0)的形式，所以每個這樣的方程都對應(yīng)一個一次函數(shù)，于是也對應(yīng)一條直線.這條直線上每個點的坐標(biāo)(x，y)都是這個二元一次方程的解.
口訣：坐標(biāo)是解， 解是坐標(biāo).
問題3：在某時刻兩氣球能否位于同一高度？如果能，這時氣球上升了多長時間？位于什么高度？你會從數(shù)和形兩方面進行研究嗎？
對于x的某個值(0≤x≤60)，函數(shù)y=x+5和y=0.5x+15有相同的值y.
因此，氣球上升20分鐘時，它們的高度相同，都是25m.
我們知道含有相同未知數(shù)的二元一次方程組成的方程組一般有一個解，那么從函數(shù)的觀點看，這有什么含義？讓我們還是從氣球的上升問題說起.
在同一坐標(biāo)系中畫出兩個函數(shù)的圖象，如右圖.
當(dāng)上升20min時，兩個
氣球都位于海拔25m的高度.
由上可知，每個二元一次方程組都對應(yīng)兩個一次函數(shù)，于是也對應(yīng)兩條直線.
求自變量為何值時，相應(yīng)的
兩個一次函數(shù)的值相等，以及這個函數(shù)值是多少.
二元一次方程組的解?兩條相應(yīng)直線交點的坐標(biāo)
【例4】下列各圖象上點的坐標(biāo)都是二元一次方程x?2y=2的解的是 (　 ).
令x=0，得y=?1；令y=0，得x=2.故函數(shù)與坐標(biāo)軸得交點分別為(0，?1)、(2，0).
【例5】請用圖象法求方程組 的解.
建立平面直角坐標(biāo)系，分別作出一次函數(shù)y=?x?1與y=2x+2的圖象，如右圖所示.
確定直線y=?x+2與直線y=?x+5
你能從中“悟”出些什么嗎？
(2)二元一次方程組有一解?對應(yīng)一次函數(shù)的圖象_____(有一個交點)；
(3)二元一次方程組有無數(shù)解?一次函數(shù)的圖象______（有無數(shù)個交點）；
2.如圖,一次函數(shù)y=ax+b的圖象與x軸相交于點(2，0)，與y軸相交于點(0，4)，結(jié)合圖象可知，關(guān)于x的方程ax+b=0的解是　 　. ?
3.如圖，直線y=kx+b交x軸于點A，交y軸于點B，則不等式kx+b＜0的解集是　 　.
4.如圖是一次函數(shù)y=kx+b(k，b為常數(shù)，且k≠0)的圖象，根據(jù)圖象信息求關(guān)于x的方程kx+b=4的解.
解:由圖象求得一次函數(shù)解析式為y=x+1，令y=x+1=4，解得x=3，即方程kx+b=4的解是x=3.
5.若直線y＝－x＋a與直線y＝x＋b的交點坐標(biāo)為(2，8)，則a－b的值為(　　)A．2 B．4 C．6 D．8
6.在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出二元一次方程2x－y－2＝0和x－y＋3＝0所對應(yīng)的一次函數(shù)的圖象．利用圖象求：(1)方程2x－2＝x＋3的解；(2)方程組 的解．
分析：首先畫出y＝2x－2，y＝x＋3的圖象．(1)求方程的解看兩直線的交點的橫坐標(biāo)的值．(2)求方程組的解看兩直線的交點，x＝橫坐標(biāo)的值，y＝縱坐標(biāo)的值．
一次函數(shù)與一元一次方程、不等式
一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系：
(1)二元一次方程組中的每個方程均可看作函數(shù)解析式.(2)求二元一次方程組的解可看作求兩個一次函數(shù)的交點坐標(biāo).

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19.2.2 一次函數(shù)

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