第一次月考模擬檢測卷學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________范圍：三角函數(shù)、平面向量（時(shí)間：120 分鐘，滿分：150 分）一、單選題單項(xiàng)選擇題（本題共8 小題，每小題5 分，共 40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合要求的。）1．（2022秋·重慶合川·高一重慶市合川中學(xué)?？计谀┤?/span>，則它是（　?。?/span>A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】B【分析】將弧度制化為角度制，再判斷角度所在象限.【解析】，故，故在第二象限，故選：B.2．半徑為，圓心角為的弧長為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)弧長公式直接計(jì)算求解.【解析】因?yàn)榘霃綖?/span>，圓心角為，所以弧長，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了弧長公式，弧度制，屬于容易題.3．下列化簡結(jié)果錯(cuò)誤的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量加減法運(yùn)算法則計(jì)算即可【解析】對(duì)A，原式，正確；對(duì)B，原式，正確；對(duì)C，原式，正確；對(duì)D，原式，錯(cuò)誤.故選：D．4．把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象的平移變換可得到平移后的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，可求得結(jié)果.【解析】函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后,得到的圖象對(duì)應(yīng)的解析式是： ，由于該函數(shù)為偶函數(shù)，故，即，而，故，故選：D5．已知是上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則（    ）A．－0.75 B．－0.25 C．0.25 D．0.75【答案】D【分析】由條件可得是周期為的函數(shù)，又是偶函數(shù)，所以，代入已知解析式即可求解.【解析】由得，，故，所以4是的一個(gè)周期，故，故選：D．6．滿足的一個(gè)可能值為（    ）.A． B． C． D．【答案】C【分析】借助三角函數(shù)的單調(diào)性，采用中間值法，逐一判斷四個(gè)選項(xiàng)，即可得到答案.【解析】當(dāng)時(shí)，，，不滿足，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，不滿足，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，，滿足，所以C選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，，不滿足，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性，熟記特殊三角函數(shù)值是本題的解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.7．記函數(shù)的圖象為，函數(shù)的圖象為，則（     ）A．把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到；B．把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到C．把向左平移個(gè)單位長度，再把得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到D．把向左平移個(gè)單位長度，再把得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到【答案】B【解析】利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)即可.【解析】對(duì)于A， 把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到，再把得到的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到，錯(cuò)誤；對(duì)于B， 把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到，再把得到的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到，正確；對(duì)于C， 把向左平移個(gè)單位長度，得到，再把得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到，不正確；對(duì)于D， 把向左平移個(gè)單位長度，得到，再把得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到，錯(cuò)誤.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，可以先平移變換再伸縮，或先伸縮變換再平移變換，屬于基礎(chǔ)題.8．已知O是內(nèi)一點(diǎn)，，若與的面積之比為，則實(shí)數(shù)m的值為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由確定點(diǎn)的位置，再利用與的面積之比列方程來求得的值.【解析】由得，設(shè)，則.由于，所以A，B，D三點(diǎn)共線，如圖所示，∵與反向共線，，∴，∴，∴.故選：D二、多選題多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。）9．已知向量是兩個(gè)非零向量，在下列四個(gè)條件中，一定能使共線的是（    ）A．且B．存在相異實(shí)數(shù)λ，μ，使C．x＋y＝(其中實(shí)數(shù)x，y滿足x＋y＝0)D．已知梯形ABCD，其中＝，＝【答案】AB【分析】由向量共線定理即可判斷AB符合條件，C中存在x＝y＝0的情況，D中可能不是梯形上下底.【解析】對(duì)于A，因?yàn)橄蛄?/span>是兩個(gè)非零向量，且，解得：，，此時(shí)，所以共線，故A正確；對(duì)于B，由共線定理知，存在相異實(shí)數(shù)λ，μ，即λ，μ不全為0，使λ－μ＝，則非零向量是共線向量，故B正確；對(duì)于C，x＋y＝ (其中實(shí)數(shù)x，y滿足x＋y＝0)，如果x＝y＝0，則不能保證共線，故C不正確；對(duì)于D，已知梯形ABCD中，＝，＝，不一定是梯形的上、下底，故D錯(cuò)誤．故選：AB10．若為第二象限角，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】AB【解析】根據(jù)角所在象限,判斷三角函數(shù)符號(hào),即可判斷選項(xiàng).【解析】因?yàn)?/span>為第二象限角,,,所以A,B正確，D不正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以C不一定正確.故選:AB11．已知的圖象可由的圖象向右平移個(gè)單位長度得到，則下列說法正確的是（    ）A．的最小正周期為B．在上單調(diào)遞增C．當(dāng)時(shí)，的取值范圍為D．是偶函數(shù)【答案】AB【分析】利用平移的原則得，則最小正周期為，則可判斷A，求出，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性則可判斷BC，根據(jù)奇偶函數(shù)的判定方法則可判定D.【解析】，對(duì)A，的最小正周期為，故A正確；對(duì)B，當(dāng)，，根據(jù)在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)C，由B得，即取值范圍為，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，但，則為奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：AB.12．（2022春·吉林·高一東北師大附中校考階段練習(xí)）已知 兩點(diǎn)位于直線 兩側(cè)， 是直線 上兩點(diǎn)， 且 的面積是 的面積的 2 倍，若 ， 下列說法正確的是（    ）A． 為奇函數(shù)B． 在 單調(diào)遞減C． 在 有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)D． 是周期函數(shù)【答案】ABC【分析】設(shè)與直線交于，利用向量共線定理可得，進(jìn)而可得，然后利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷A，利用基本函數(shù)的單調(diào)性可判斷B，利用數(shù)形結(jié)合可判斷C，利用函數(shù)周期性的可判斷D.【解析】設(shè)與直線交于，由題可得，又，∴，∴，∴，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，又，∴函數(shù)為奇函數(shù)，故A正確；因?yàn)楹瘮?shù)在 上為減函數(shù)，所以 在 上單調(diào)遞減，故B正確；由，可得，所以函數(shù) 在 的零點(diǎn)數(shù)即為與的交點(diǎn)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的圖象可得 在 有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，故C正確；因?yàn)?/span>，函數(shù)為周期函數(shù)，而函數(shù)不是周期函數(shù)，故不是周期函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分。）13．與終邊相同的最小正角的弧度數(shù)是_________.【答案】【分析】根據(jù)終邊相同角的表示法，結(jié)合坐標(biāo)系中角的定義，可得答案.【解析】因?yàn)?/span>，所以與的終邊相同，即.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查終邊相同角的表示法、角度制與弧度制的互化，考查基本的運(yùn)算求解能力.14．已知向量，不平行，向量與平行，則實(shí)數(shù)___________.【答案】【分析】根據(jù)與平行即可得出，根據(jù)平面向量基本定理即可得出，解出即可．【解析】因?yàn)橄蛄?/span>，不平行，向量與平行，所以，所以，解得：.故答案為：.15．函數(shù)，當(dāng)時(shí)恒有解，則實(shí)數(shù)的范圍是______．【答案】【分析】利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍.【解析】，令，得，令，，其對(duì)稱軸，所以在上遞增，當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，取得最大值.所以的取值范圍是.故答案為：16．（2023秋·山西運(yùn)城·高一康杰中學(xué)?？计谀╆P(guān)于函數(shù)有下述結(jié)論：①是偶函數(shù)；②函數(shù)是周期函數(shù)，且最小正周期為；③函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；④函數(shù)在有3個(gè)零點(diǎn)；⑤函數(shù)的最大值為2．其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是__________．【答案】①③④⑤【分析】利用函數(shù)奇偶性的概念即可判斷①；由判斷②；由，去掉絕對(duì)值，得，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷③；由函數(shù)是偶函數(shù)，則只需要考慮上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，，再根據(jù)正弦函數(shù)的零點(diǎn)即可判斷④；由函數(shù)是偶函數(shù)，則考慮的情況即可，寫出分段函數(shù)解析式即可判斷⑤．【解析】①函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R，又，∴函數(shù)是偶函數(shù)，故①正確；②當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，故最小正周期不為，故②錯(cuò)誤；③當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，故③正確；④∵函數(shù)是偶函數(shù)，∴只需要考慮上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，此時(shí)，在上有2個(gè)零點(diǎn)，為，∴在有3個(gè)零點(diǎn)，為，故④正確；⑤∵函數(shù)是偶函數(shù)，∴考慮的情況即可，當(dāng)時(shí)，，∴的最大值為2，故⑤正確．故答案為：①③④⑤四、解答題（本題共6小題，共70分。）17．（1）已知，，求.（2）已知向量，且，，求，.【答案】（1）－ －5；（2） .【分析】(1)利用向量的數(shù)乘及加減法計(jì)算即可；（2）解方程即可得出結(jié)果.【解析】解(1)原式 = + =－ + .∵，，∴原式=－(3+2)+(2)= + =－ －5.(2)將3=兩邊同乘2，得6－2=2.與5+2=相加，得11=+2，∴= + .∴=3=3= .18．已知扇形的圓心角是α，半徑為R，弧長為l.(1)若α＝75°，R＝12 cm，求扇形的弧長l和面積；(2)若扇形的周長為20 cm，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？【答案】(1)見解析;(2)見解析.【解析】分析：（1）利用扇形的弧長公式和面積公式可以直接求值；（2）由已知得，l＋2R＝20，而S＝lR＝－(R－5)2＋25，利用二次函數(shù)的圖像性質(zhì)求最值即可.詳解：(1)α＝75°＝，  l＝12×＝5?(cm)．   所以S=lR=30?(cm2)    (2)由已知得，l＋2R＝20，所以S＝lR＝ (20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，   所以當(dāng)R＝5時(shí)，S取得最大值25，此時(shí)l＝10(cm)，α＝2 rad.  點(diǎn)睛：本題考查扇形的弧長公式和面積公式，考查了邏輯推理能力及計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．19．（2023秋·江蘇無錫·高一統(tǒng)考期末）如圖，以x軸非負(fù)半軸為始邊作角，它的終邊與單位圓O相交于點(diǎn)P，已知點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角函數(shù)的定義及同角三角函數(shù)基本關(guān)系計(jì)算即可；（2）利用誘導(dǎo)公式化簡，然后轉(zhuǎn)化為用表示，代入的值計(jì)算即可.【解析】（1）點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，，又，，；（2）.20．（2022秋·遼寧大連·高一統(tǒng)考期末）如圖所示，在中，D為BC邊上一點(diǎn)，且．過D點(diǎn)的直線EF與直線AB相交于E點(diǎn)，與直線AC相交于F點(diǎn)（E，F兩點(diǎn)不重合）．(1)用，表示；(2)若，，求的值．【答案】(1)(2)3.【分析】（1）向量的線性表示，利用三角形法則及題所給條件即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，轉(zhuǎn)化用，表示，根據(jù)三點(diǎn)共線找出等量關(guān)系；【解析】（1）在中，由,又，所以，所以（2）因?yàn)?/span>，又，所以，，所以，又三點(diǎn)共線，且在線外，所以有：，即.21．（2023秋·湖南郴州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.(1)求函數(shù)的解析式；(2)將圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，若對(duì)于任意的，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)圖像得出周期，即可根據(jù)三角函數(shù)周期計(jì)算得出，將點(diǎn)代入新解析式，得，根據(jù)已知得出范圍，結(jié)合三角函數(shù)的零點(diǎn)得出，將點(diǎn)代入新解析式，即可得出，即可得出答案；（2）設(shè)，根據(jù)已知結(jié)合誘導(dǎo)公式與輔助角公式化簡，結(jié)合已知與函數(shù)單調(diào)性的定義得出在區(qū)間上單調(diào)遞減，由三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解出的單調(diào)遞減區(qū)間，即可根據(jù)范圍結(jié)合集合包含關(guān)系列出不等式組，即可解出答案.【解析】（1）由圖像可知，周期，，因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)圖像上，所以，即，又，，則，即，因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)圖像上，所以，即，故函數(shù)的解析式為.（2）由題意可得，設(shè)，當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，即恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞減，令，解得，因?yàn)?/span>，所以，則，故，解得，所以最大值為.22．（2022春·廣東廣州·高一校聯(lián)考期末）若函數(shù)滿足且，則稱函數(shù)為“函數(shù)”.(1)試判斷是否為“函數(shù)”，并說明理由；(2)函數(shù)為“函數(shù)”，且當(dāng)時(shí)，，求的解析式，并寫出在上的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程（為常數(shù)）有解，記該方程所有解的和為，求.【答案】(1)不是，理由見解析(2)答案見解析(3)【分析】（1）根據(jù)“函數(shù)”的定義判斷可得出結(jié)論；（2）分析可知函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，且，分、兩種情況分析，結(jié)合題意可出函數(shù)的解析式，進(jìn)而可得出函數(shù) 上的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）作出函數(shù)在上的圖象，數(shù)形結(jié)合可得實(shí)數(shù)在不同取值下，方程的根之和，再結(jié)合函數(shù)的周期性可求得的值.【解析】(1)解：函數(shù)不是為“函數(shù)”，理由如下：因?yàn)?/span>，，所以，，因此，函數(shù)不是為“函數(shù)”.(2)解：函數(shù)滿足，所以，函數(shù)為周期函數(shù)，且周期為，因?yàn)?/span>，則.①當(dāng)時(shí)，，則；②當(dāng)，則，則，所以，.綜上所述，，所以，函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為、.(3)解：由（2）可得函數(shù)在上的圖象如下圖所示，下面考慮方程在區(qū)間的根之和.①當(dāng)或時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，其和為；②當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解，其和為；③當(dāng)時(shí)，方程有四個(gè)實(shí)數(shù)解，其和為.當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程（為常數(shù)）有解，記該方程所有解的和為，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.因此，. 

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