1.2.1 空間中的點(diǎn)、直線與空間向量      本節(jié)課選自《2019人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)》第一章《空間向量與立體幾何》，本節(jié)主要學(xué)空間中的點(diǎn)、直線與空間向量。在向量坐標(biāo)化的基礎(chǔ)上，將空間中點(diǎn)、直線的位置關(guān)系，轉(zhuǎn)化為向量語(yǔ)言，進(jìn)而運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示，從而實(shí)現(xiàn)運(yùn)用空間向量解決立體幾何問(wèn)題，為學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何提供了新的方法和新的觀點(diǎn)，為培養(yǎng)學(xué)生思維提供了更廣闊的空間。課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A. 理解位置向量、方向向量的概念B.能利用直線的方向向量解決兩條直線所成的角問(wèn)題.C.初步了解兩條異面直線的距離的定義.1.數(shù)學(xué)抽象：點(diǎn)的位置向量、直線的方向向量2.邏輯推理：用直線的方向向量解決兩條直線所成的角 3.直觀想象：點(diǎn)的位置向量、直線的方向向量4.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求解異面直線所成的角，直線的平行與垂直判斷  1.教學(xué)重點(diǎn)：點(diǎn)的位置向量與直線的方向向量的概念及其應(yīng)用2.教學(xué)難點(diǎn)：用直線的方向向量解決兩條直線所成的角，判斷兩直線平行與垂直多媒體教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)一、情境導(dǎo)學(xué)在交通繁忙的路口，交警常常借助專(zhuān)用的手勢(shì)，作為 “語(yǔ)言” 來(lái)指揮交通。在不同領(lǐng)域有不同的“語(yǔ)言”,研究空間中的直線及其夾角也可以先提煉出與之有關(guān)聯(lián)的“向量語(yǔ)言”來(lái)進(jìn)行。同學(xué)們,你們知道是如何提煉的嗎?提煉出來(lái)后又將如何運(yùn)用呢?二、探究新知問(wèn)題1：（1）如圖所示的，四面體A-BCD中，怎樣借助空間向量來(lái)描述A，B，C在空間中是不同的點(diǎn)？（2）一般地，怎樣借助空間向量來(lái)刻畫(huà)空間中點(diǎn)的位置？      一般地，如果在空間中指定一點(diǎn)O，那么空間中任意一點(diǎn)P的位置，都可以有向量 唯一確定，此時(shí)，通常稱(chēng)為點(diǎn)P的位置向量。特別地，空間直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)都有它的位置向量唯一確定，從而也就有它的坐標(biāo)唯一確定。問(wèn)題2：（1）如圖所示的長(zhǎng)方體中,設(shè) = ，如果只借助能不能確定直線AB在空間中的位置？
（2）一般地,怎樣借助空間向量來(lái)刻畫(huà)空間中直線的位置？  一般地如果是空間中的一條直線，空間中的一個(gè)非零向量，且表示的有向線段所在的直線與 平行或重合，則稱(chēng) 為直線L的一個(gè)方向向量，此時(shí)也稱(chēng) 與直線 平行，記作 1.點(diǎn)的位置向量、直線的方向向量 位置向量一般地,如果在空間中指定一點(diǎn)O,那么空間中任意一點(diǎn)P的位置,都可以由向量唯一確定,此時(shí),通常稱(chēng)為點(diǎn)P的位置向量方向向量一般地,如果l是空間中的一條直線,v是空間中的一個(gè)非零向量,且表示v的有向線段所在的直線與l平行或重合,則稱(chēng)v為直線l的一個(gè)方向向量.此時(shí),也稱(chēng)向量v與直線l平行,記作v∥l思考：空間一條直線的方向向量唯一嗎?提示:不唯一.2.空間中兩條直線所成的角設(shè)v1,v2分別是空間中直線l1,l2的方向向量,且l1與l2所成角的大小為θ,則θ=<v1,v2>或θ=π-<v1,v2>,特別地,sin θ=sin<v1,v2>,cos θ=|cos<v1,v2>|;l1⊥l2?<v1,v2>=   ?v1·v2=0. 1.已知直線a,b的方向向量分別是m=(1,k,1),n=(k,k+2,2),若a⊥b,則k=　　　　. 解析:∵a⊥b,∴m⊥n,即m·n=0.∴k+k2+2k+2=0,即k2+3k+2=0,∴k=-2或k=-1.答案:-1或-23.兩條異面直線的距離     一般地,如果l1與l2是空間中兩條異面直線,A∈l1,B∈l2,AB⊥l1,AB⊥l2,則稱(chēng)AB為l1與l2的公垂線段.并且空間中任意兩條異面直線的公垂線段都存在并且唯一.兩條異面直線的公垂線段的長(zhǎng),稱(chēng)為這兩條異面直線之間的距離.思考：怎樣在空間直角坐標(biāo)系中求兩條異面直線的公垂線段的長(zhǎng)度?提示:利用向量共線、向量垂直的條件建立方程組,求出公垂線段對(duì)應(yīng)的向量,準(zhǔn)確找出公垂線段在圖中的位置,運(yùn)用向量求出公垂線段的長(zhǎng)度. 例1.已知正方體中，E為的中點(diǎn)，求證:直線與直線不平行證明：以為原點(diǎn)，，，的方向分別為軸正方向，正方體的棱長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則（0,0,1）, 所以= =又因?yàn)?/span>所以與不平行，因?yàn)?/span>為直線的一個(gè)方向，向量為直線的一個(gè)方向，向量,當(dāng)時(shí) 必有 由上可知直線與直線不平行         解決直線的位置關(guān)系,可用直線對(duì)應(yīng)的方向向量的坐標(biāo)來(lái)刻畫(huà),對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題應(yīng)注意先要進(jìn)行宏觀判斷,再合理地選取坐標(biāo)公式.若直線l1的方向向量u1=(a1,b1,c1),直線l2的方向向量為u2=(a2,b2,c2).(注:下面的λ,k∈R).1.如果l1∥l2,那么u1∥u2?u1=λu2?(a1,b1,c1)=λ(a2,b2,c2);2.如果l1⊥l2,那么u1⊥u2?u1·u2=0?a1a2+b1b2+c1c2=0.跟蹤訓(xùn)練1已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),則下列結(jié)論正確的是(　　)A.a∥c,  b∥c            B.a∥b, a⊥cC.a∥c, a⊥b             D.以上都不對(duì)答案:C例2  如圖,在三棱錐O-ABC中,OA, OB,OC兩兩垂直，E為OC的中點(diǎn)，且OB=OC=2OA=2, 求直線AE與BC所成角的余弦值的大小.解：（方法一）  根據(jù)已知可得，， 不共面，且=1, =2= = =0又因?yàn)?/span>= =, =所以=()()=2， =()()=8，所以==因此直線AE與BC所成角的余弦值的大小為.解：（方法二）因?yàn)?/span>OA，OB,OC兩兩互相垂直，所以能以O為原點(diǎn), ，，的方向分別為軸正方向，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，由OB=OC=2OA=2,可知A（0,0,1）, ，所以=(-1,0,1), =(0,0,1) ,    因此所以===因此直線AE與BC所成角的余弦值的大小為.解：（方法三）設(shè)OB的中點(diǎn)為F，連接EF，AF.由E，F分別為OC，OB中點(diǎn)可知EF為OBC的中位線，從而EF BC，因此直線AE與BC所成角的大小等于直線AE與EF所成角的大小.又易知OA=OE=OF=1，而且OA,OE,OF兩兩垂直，因此AE=EF=AF= 所以是等邊三角形,從而,因此直線AE與BC所成角的大小為     求解異面直線夾角方法,常用的就是建系后利用向量的坐標(biāo)處理,除此之外還要注意其他方法的要領(lǐng).(1)傳統(tǒng)法:作出與異面直線所成角相等的平面角,進(jìn)而構(gòu)造三角形求解.這種方法靈活技巧性強(qiáng),強(qiáng)調(diào)對(duì)夾角定義的挖掘. (2)向量法:在兩異面直線a與b上分別取點(diǎn)A,B和C,D,則可分別為a,b的方向向量,則cos θ=.這一方法思路簡(jiǎn)單,不需構(gòu)造,但計(jì)算量一般較大.運(yùn)用向量法常用兩種途徑:①基底法在一些不適合建立坐標(biāo)系的題型中,我們經(jīng)常采用取定基底的方法,這是小技巧.在由公式cos<a,b>=求向量a,b的夾角時(shí),關(guān)鍵是求出a·b及|a|與|b|,一般是把a,b用基向量表示出來(lái),再求有關(guān)的量.②坐標(biāo)法根據(jù)題目條件建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,寫(xiě)出相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo),利用坐標(biāo)法求線線角,避免了傳統(tǒng)找角或作角的步驟,使過(guò)程變得簡(jiǎn)單.跟蹤訓(xùn)練2  如圖,在三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1⊥平面OAB,∠O1OB=60°,∠AOB=90°,且OB=OO1=2,OA=     ,求異面直線A1B與AO1所成角的余弦值的大小.解:以O為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)?/span>x軸,y軸的正方向.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則O(0,0,0),O1(0,1,),A(,0,0),A1(,1,),B(0,2,0),∴=(-,1,-),=(,-1,-).∴|cos<>|==.∴異面直線A1B與AO1所成角的余弦值為.例3 如圖,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F分別為AC,DC的中點(diǎn).求證:EF⊥BC.證明:由題意,以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn),在平面DBC內(nèi)過(guò)點(diǎn)B作垂直于BC的直線為x軸,BC所在直線為y軸,在平面ABC內(nèi)過(guò)點(diǎn)B作垂直BC的直線為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,易得B(0,0,0),A0,-1,,D(,-1,0),C(0,2,0),因而E0,,F,0,，所以=,0,-,=(0,2,0),則=0,所以,即EF⊥BC.               證明兩直線垂直的基本步驟     建立空間直角坐標(biāo)系→寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)→求直線的方向向量→證明向量垂直→得到兩直線垂直.對(duì)于幾何體為三棱錐的情況一定要注意建系的重要性,要使已知數(shù)據(jù)和所用的點(diǎn)更多地落在坐標(biāo)平面或坐標(biāo)軸上為標(biāo)準(zhǔn).本例中要充分抓住平面ABC和平面BCD互相垂直這一條件.跟蹤訓(xùn)練3  已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長(zhǎng)都為1,M是底面上BC邊的中點(diǎn),N是側(cè)棱CC1上的點(diǎn),且CN=  CC1.求證:AB1⊥MN. 證明:設(shè)AB中點(diǎn)為O,作OO1∥AA1.以O為坐標(biāo)原點(diǎn),OB所在直線為x軸,OC所在直線為y軸,OO1所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz. 由已知得A-,0,0,B,0,0,C0,,0,N0,,B1,0,1,∵M為BC中點(diǎn),∴M,0.∴=-,=(1,0,1),∴=-+0+=0,∴,即AB1⊥MN. 金題典例：如圖,已知?ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,將它沿對(duì)角線AC折起,使AB與CD成60°角,求B,D間的距離.錯(cuò)解: 如圖,因?yàn)?/span>∠ACD=90°,所以=0,同理=0.因?yàn)?/span>AB與CD的夾角為60°,所以的夾角為60°.因?yàn)?/span>,所以||2=||2+||2+||2+2+2+2=3+2cos<>=4.所以||=2,即B,D間的距離為2. 錯(cuò)因分析： 由異面直線AB與CD成60°角得到所成的角為60°,這是錯(cuò)誤的.混淆了異面直線所成的角與向量的夾角的定義,從而致誤.向量的夾角與向量的方向有關(guān)系,且向量的夾角的范圍為0≤θ≤π;異面直線的夾角與直線的方向沒(méi)有關(guān)系,異面直線的夾角的范圍是0<θ≤.兩者的范圍不一樣.正解:因?yàn)?/span>∠ACD=90°,所以=0,同理=0.因?yàn)?/span>AB與CD的夾角為60°,所以的夾角為60°或120°,因?yàn)?/span>,所以||2=||2+||2+||2+2+2+2=3+2cos<>.當(dāng)所成的角為60°時(shí),||2=3+2cos<>=4,所以||=2,即B、D間的距離為2;當(dāng)所成的角為120°時(shí),||2=3+2cos<>=2,所以||=.綜上可得,B,D間的距離為2或. 創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)運(yùn)用向量語(yǔ)言，實(shí)現(xiàn)將空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量語(yǔ)言，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)代數(shù)化的基本思想，提升數(shù)形結(jié)合思想。                        由問(wèn)題引導(dǎo)，讓學(xué)生感受到運(yùn)用向量語(yǔ)言表示立體幾何要素，實(shí)現(xiàn)立體幾何向量化。                                    通過(guò)對(duì)立體幾何的向量表示的學(xué)習(xí)，進(jìn)而使向量坐標(biāo)化，讓學(xué)生感受，用代數(shù)方法解決立體幾何問(wèn)題。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。                                          通過(guò)典型例題的分析和解決，讓學(xué)生感受空間向量坐標(biāo)運(yùn)算在解決空間幾何中的應(yīng)用。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。                                                   通過(guò)典例解析，進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)空間向量坐標(biāo)在解決立體幾何中的應(yīng)用，提升推理論證能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理的核心素養(yǎng)。 三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.若A(1,0,-1),B(2,1,2)在直線l上,則直線l的一個(gè)方向向量是(　　)A.(2,2,6)    B.(-1,1,3)     C.(3,1,1)     D.(-3,0,1)解析:∵A,B在直線l上,∴=(1,1,3),與共線的向量(2,2,6)可以是直線l的一個(gè)方向向量.答案:A2.設(shè)直線l1,l2的方向向量分別為a=(-2,2,1),b=(3,-2,m),若l1⊥l2,則m等于(　　)A.-2 B.2 C.10   D.6解析:因?yàn)?/span>a⊥b,故a·b=0,即-2×3+2×(-2)+m=0,解得m=10.答案:C3.已知a,b是異面直線,A,B∈a,C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,則a,b所成的角是　　　　. 解析:∵=()·=||2=1,∴cos<>=.所以<>=.答案:4.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1上的動(dòng)點(diǎn),求證:A1E⊥BD.證明:以D為坐標(biāo)原點(diǎn),以DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a,則A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A1(a,0,a),C1(0,a,a).設(shè)E(0,a,b)(0≤b≤a),=(-a,a,b-a),=(-a,-a,0),=a2-a2+(b-a)·0=0,∴,即A1E⊥BD. 通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。    四、小結(jié)五、課時(shí)練 通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力。 教學(xué)中主要突出創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景和問(wèn)題引導(dǎo)，通過(guò)生活中的手勢(shì)語(yǔ)言類(lèi)比運(yùn)用向量語(yǔ)言表示立體幾何要素，進(jìn)而在將向量坐標(biāo)化，讓學(xué)生初步體會(huì)空間向量坐標(biāo)化的基本思想，并以此來(lái)激發(fā)學(xué)生的探究心理。教學(xué)設(shè)計(jì)盡量做到注意學(xué)生的心理特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，觸發(fā)學(xué)生的思維，使教學(xué)過(guò)程真正成為學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，以思維教學(xué)代替單純的記憶教學(xué)。注意在探究問(wèn)題時(shí)留給學(xué)生充分的時(shí)間， 使數(shù)學(xué)教學(xué)成為數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)。從而發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。 

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

1.2.1 空間中的點(diǎn)、直線與空間向量

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