數(shù)學(xué)選擇性必修 第一冊(cè)1.1.2 空間向量基本定理一等獎(jiǎng)ppt課件

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1.1.2 空間向量基本定理      本節(jié)課選自《2019人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)》第一章《空間向量與立體幾何》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)空間向量基本定理?？臻g向量基本定理也成為空間向量分解定理，它與平面向量基本定理類似，區(qū)別僅在于基底中多了一個(gè)向量，從而分解結(jié)果中多了一“項(xiàng)”.證明的思路、步驟也基本相同．空間向量基本定理的推論意在用分解定理確定點(diǎn)的位置，它對(duì)于今后用向量方法解幾何問題很有用，也為今后學(xué)習(xí)空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算作準(zhǔn)備．課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.理解并記住共線向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理及空間向量基本定理的內(nèi)容及含義.(數(shù)學(xué)抽象)B.熟記基底、基向量的概念.會(huì)選擇恰當(dāng)?shù)幕妆硎究臻g向量.(數(shù)學(xué)抽象)C.會(huì)用共線向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理和空間向量基本定理解決空間幾何中的簡(jiǎn)單問題.1.數(shù)學(xué)抽象：空間向量基本定理的證明2.邏輯推理：共面向量定理證明共面問題 3.直觀想象：空間向量基本定理在立體幾何的運(yùn)用；4.數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用基底思想和向量運(yùn)算解決立體幾何問題；  1.教學(xué)重點(diǎn)：理解共面向量定理及空間向量基本定理2.教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用空間向量基本定理解決有關(guān)問題. 多媒體教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)一、情境導(dǎo)學(xué)      “道生一,一生二,二生三,三生萬(wàn)物”這句話出自老子《道德經(jīng)》,它表示“道”生萬(wàn)物從少到多，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的一個(gè)過(guò)程。    聯(lián)系到我們學(xué)過(guò)的平面向量基本定理,可以概括為給出一組二維的基底可以生成平面中所有的向量;推廣到三維空間,仍然為給出一組三維的基底,可以生成空間中的所有向量.二、探究新知           1.平面向量中的結(jié)論(1)共線向量基本定理:如果a≠0且b∥a,則存在唯一的實(shí)數(shù)λ,使得b=λa.(2)平面向量基本定理:如果平面內(nèi)兩個(gè)向量a與b不共線,則對(duì)該平面內(nèi)任意一個(gè)向量c,存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)(x,y),使得c=xa+yb.1.已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩個(gè)向量a=(1,3),b=(m,2m-3),使得平面內(nèi)的任意一個(gè)向量c都可以唯一的表示成c=λa+μb,則m的取值范圍是　　　　　　. 解析:要使c=λa+μb成立,則只需a與b不共線,即只需滿足,即3m≠2m-3,故m≠-3.答案:{m|m≠-3}                 2.空間中的共線向量基本定理兩個(gè)空間向量a,b,如果a≠0,且b∥a,則存在唯一的實(shí)數(shù)λ,難得b=λa.點(diǎn)睛： 證明(或判斷)三點(diǎn)A,B,C共線時(shí),只需證明存在實(shí)數(shù)λ,使=λ(或=λ)即可;也可用“對(duì)空間任意一點(diǎn)O,有=t+(1-t)”來(lái)證明三點(diǎn)共線. 2.兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量,一定是共線向量.(　　)答案:×3.已知向量a,b不共線,p=ka+b,q=a-k2b,若p,q共線,則k的值是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.0　　　　　B.1　　　　　C.-1　　　　　D.2解析:若p,q共線,則存在唯一的實(shí)數(shù)x,使p=xq,即ka+b=xa-xk2b,則解得k=-1.答案:C                       3.共面向量定理    如果兩個(gè)向量a,b不共線,則向量a,b,c共面的充要條件是,存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)(x,y),使c=xa+yb.有=x+y+z,且x+y+z=1成立,則P,A,B,C四點(diǎn)共面.點(diǎn)睛： 證明空間向量共面或四點(diǎn)共面的方法(1)向量表示:設(shè)法證明其中一個(gè)向量可以表示成另兩個(gè)向量的線性組合,即若p=xa+yb,則向量p,a,b共面.(2)若存在有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)使得對(duì)于空間任一點(diǎn)O,及不共線的三點(diǎn)A,B,C,4.判斷(1)若p與a,b共面,則p=xa+yb.(　　)(2)若=x+y,則P,M,A,B共面. (　　)(3)若P,M,A,B共面,則=x+y. (　　)答案:(1)×　(2)√　(3)×例1.如圖所示，已知斜三棱柱中， =, =在上和BC上分別有一點(diǎn)M和N，且= , = ,其中。求證：,共面證明：因?yàn)?/span>= = = += = = (1- )+ 所以= =(1- )+ 由共面向量定理可知,共面                 證明空間三向量共面或四點(diǎn)共面的方法向量表示:設(shè)法證明其中一個(gè)向量可以表示成另兩個(gè)向量的線性組合,即若p=xa+yb,則向量p,a,b共面.對(duì)于此方法的使用要注意涉及的向量的始點(diǎn)、終點(diǎn)問題,如,本例中當(dāng)MN和CD、DE沒有關(guān)聯(lián)的端點(diǎn)時(shí)要說(shuō)明不共線.除了例題中記法,另,若存在有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)使得對(duì)于空間任一點(diǎn)O,有=x+y+z,且x+y+z=1成立,則P,A,B,C四點(diǎn)共面.可使用這一推論進(jìn)行共面的證明.跟蹤訓(xùn)練1.如圖所示,已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直, 點(diǎn)M,N分別在對(duì)角線BD,AE上,且BM=BD,AN=AE.求證:向量共面.證明:因?yàn)?/span>M在BD上,且BM=BD,所以.同理.所以=++=.又不共線,根據(jù)向量共面的充要條件可知共面.跟蹤訓(xùn)練2已知A,B,C三點(diǎn)不共線,點(diǎn)M滿足.(1)三個(gè)向量是否共面?(2)點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi)?解:(1)∵=3,∴=()+(),∴=-,∴向量共面.(2)由(1)知向量共面,又它們有共同的起點(diǎn)M,且A,B,C三點(diǎn)不共線,∴M,A,B,C四點(diǎn)共面,即點(diǎn)M在平面ABC內(nèi).               4.空間向量基本定理    如果空間中的三個(gè)向量a,b,c不共面,那么對(duì)空間中的任意一個(gè)向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.其中,空間中不共面的三個(gè)向量a,b,c組成的集合{a,b,c},常稱為空間向量的一組基底.此時(shí),a,b,c都稱為基向量;如果p=xa+yb+zc,則稱xa+yb+zc為p在基底{a,b,c}下的分解式.點(diǎn)睛 (1)任意三個(gè)不共面向量都可構(gòu)成空間的一組基底;任意一組空間的基底都可生成空間的所有向量;每一個(gè)空間向量都可被分解到任意一組基底中基向量的三個(gè)不同方向;同一個(gè)向量在同一組基底下的分解式是唯一的.(2)對(duì)空間任一點(diǎn)O,及不共線的三點(diǎn)A,B,C,若=x+y+z,則P,A,B,C四點(diǎn)共面的充要條件是x+y+z=1.1.判斷(1)空間的任何一個(gè)向量都可用三個(gè)給定向量表示.(　　)(2)若{a,b,c}為空間的一組基底,則a,b,c全不是零向量.(　　)(3)如果向量a,b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一組基底,則一定有a與b共線.(　　)(4)任何三個(gè)不共線的向量都可構(gòu)成空間的一組基底.(　　)答案:(1)×　(2)√　(3)√　(4)×2.長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,若=3i,=2j,=5k,則等于(　　)A.i+j+k　　　　　 B.i+j+kC.3i+2j+5k D.3i+2j-5k解析: =3i+2j+5k.答案:C 例2. 如圖所示，平行六面體中，設(shè) =, =  試用基底表示向量, , , .解：因?yàn)槭瞧叫辛骟w，所以= ++= ++= 類似地，有 ++= - ++= +  += =++1.空間中,任一向量都可以用一組基底表示,且只要基底確定,則表示形式是唯一的.2.用基底表示空間向量時(shí),一般要結(jié)合圖形,運(yùn)用向量加法、減法的平行四邊形法則、三角形法則,以及數(shù)乘向量的運(yùn)算法則,逐步向基向量過(guò)渡,直至全部用基向量表示.3.在空間幾何體中選擇基底時(shí),通常選取公共起點(diǎn)最集中的向量或關(guān)系最明確的向量作為基底,例如,在正方體、長(zhǎng)方體、平行六面體、四面體中,一般選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱所對(duì)應(yīng)的向量作為基底. 跟蹤訓(xùn)練3. 如圖,在三棱柱ABC-A'B'C'中,已知=a,=b,=c,點(diǎn)M,N分別是BC',B'C'的中點(diǎn),試用基底{a,b,c}表示向量.  解:連接A'N=)==)+==(a+b+c).=)=)=a+b+c.延伸探究 若把本例中,“=a”改為“=a”,其他條件不變,則結(jié)果是什么?解:因?yàn)?/span>M為BC'的中點(diǎn),N為B'C'的中點(diǎn),所以)=a+b.)=)==)+b+a-c.
例3.如圖所示，已知直三棱柱中，D為的中點(diǎn), ,AB=2,BC==1,求
解：由題意可知，, 所以==1，==0又因?yàn)?/span>= + = + =++ =+=+(  )所以 =( + ) = - + + - =- ×4+×1+1=- 跟蹤訓(xùn)練4.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是DD1,BD的中點(diǎn),點(diǎn)G在棱CD上,且(1)證明:EF⊥B1C;(2)求EF與C1G所成角的余弦值.思路分析選擇一個(gè)空間基底,將用基向量表示.(1)證明=0即可;(2)求夾角的余弦值即可.(1)證明:設(shè)=i,=j,=k,則{i,j,k}構(gòu)成空間的一個(gè)正交基底.所以=-k+)=i+j-k,=-i-k,所以·(-i-k)=-|i|2+|k|2=0,所以EF⊥B1C.(2)解:i+j-k,=-k-j,||2=|i|2+|j|2+|k|2=3,||=,||2==|k|2+|j|2=4+,||=,∴cos<>==. 創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)平面向量基本定理類比空間向量基本定理              由回顧知識(shí)出發(fā)，提出問題，讓學(xué)生感受到平面向量與空間向量的聯(lián)系。即空間向量是平面向量向空間的拓展，處理空間向量問題要轉(zhuǎn)化為平面向量解決。                    通過(guò)定理證明與辨析，加深學(xué)生對(duì)定理的理解，讓學(xué)生感受空間向量和立體圖形間的聯(lián)系，體現(xiàn)空間向平面的轉(zhuǎn)化思想。                           通過(guò)典型例題的分析和解決，讓學(xué)生感受空間向量基本定理在解決空間幾何中的應(yīng)用。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。                                               通過(guò)典例解析，進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)空間向量基本定理在解決立體幾何中的應(yīng)用，提升推理論證能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理的核心素養(yǎng)。 三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,可以作為空間向量的一組基底的是(　　) A. B.C.D.答案:C　 解析:只有選項(xiàng)C中的三個(gè)向量是不共面的,可以作為一個(gè)基底.2.下列條件中,使M與A,B,C一定共面的是(　　) A.=2B.C.=0D.=0解析:C選項(xiàng)中,=-,∴點(diǎn)M,A,B,C共面.答案:C 3.(多選)若空間中任意四點(diǎn)O,A,B,P滿足=m+n,其中m+n=1,則結(jié)論正確的有(　　)A.P∈直線AB           B.P?直線ABC.O,A,B,P四點(diǎn)共面          D.P,A,B三點(diǎn)共線解析:因?yàn)?/span>m+n=1,所以m=1-n,所以=(1-n)·+n,即=n(),即=n,所以共線.又有公共起點(diǎn)A,所以P,A,B三點(diǎn)在同一直線上,即P∈直線AB.因?yàn)?/span>=m+n,故O,A,B,P四點(diǎn)共面.答案:ACD 4.有下列命題: ①若,則A,B,C,D四點(diǎn)共線;②若,則A,B,C三點(diǎn)共線;③若e1,e2為不共線的非零向量,a=4e1-e2,b=-e1+e2,則a∥b.其中真命題是　　　　　　　　.(把所有真命題的序號(hào)都填上) 解析:根據(jù)共線向量的定義知,若,則AB∥CD或A,B,C,D四點(diǎn)共線,故①是假命題;若有公共點(diǎn)A,則A,B,C三點(diǎn)共線,所以②是真命題;由于a=4e1-e2=-4-e1+e2=-4b,所以a∥b,故③是真命題.   答案:②③?????????????  5.在四面體O-ABC中,=a,=b,=c,D為BC的中點(diǎn),E為AD的中點(diǎn),則=　　　　.(用a,b,c表示) 解析: )=×()=a+b+c.答案:a+b+c6．如圖，三棱柱中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都等于1，．（1）設(shè)，，，用向量，，表示，并求出的長(zhǎng)度；（2）求異面直線與所成角的余弦值．解：（1），同理可得， ．（2）因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，所以．異面直線與所成角的余弦值為． 通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。    四、小結(jié)五、課時(shí)練 通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力。 教學(xué)中主要突出運(yùn)用類比學(xué)習(xí)法，通過(guò)對(duì)平面向量基本定理的溫習(xí)，來(lái)學(xué)習(xí)空間向量基本定理。教學(xué)設(shè)計(jì)盡量做到注意學(xué)生的心理特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，觸發(fā)學(xué)生的思維，使教學(xué)過(guò)程真正成為學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，以思維教學(xué)代替單純的記憶教學(xué)。注意在探究問題時(shí)留給學(xué)生充分的時(shí)間， 使數(shù)學(xué)教學(xué)成為數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)。從而發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。