1.了解空間中兩條直線所成的角與兩直線方向向量所成的角的關(guān)系，會求空間兩條直線所成的角.
2.了解空間中兩條異面直線的公垂線段.
　　同學(xué)們，生活中，我們經(jīng)常聽到換個角度思考問題，尤其是在解決數(shù)學(xué)問題時，對于相同的問題，因?qū)嵌鹊睦斫獠煌?，會?dǎo)致不同的結(jié)果，從而啟發(fā)我們，看問題要全面，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，只有從正確的角度出發(fā)，讓視野開闊，才能得出我們想要的答案.
空間中兩條直線所成的角與方向向量所成的角的關(guān)系
問題1　空間中兩直線所成的角與它們的方向向量之間的夾角相等嗎？
提示　不相等；兩向量夾角的范圍是[0，π]，而兩直線所成的角的范圍是　　 .
空間中兩條直線所成的角v1，v2分別為空間中直線l1，l2的方向向量，且l1與l2所成角的大小為θ.
如圖，則①θ的范圍為 .②θ＝ 或θ＝ .③sin θ＝ 或cs θ＝ .④l1⊥l2? ? .
|cs〈v1，v2〉|
若異面直線l1，l2的方向向量分別是a＝(0，－2，－1)，b＝(2,0,4)，則異面直線l1與l2的夾角的余弦值等于
設(shè)l1與l2的夾角為θ，
一般地，設(shè)兩直線所成的角為θ，兩直線的方向向量分別為a，b，則有cs θ＝|cs〈a，b〉|＝ .若求正弦值，則利用平方關(guān)系即可，sin θ＝ .
若異面直線l1，l2的方向向量的夾角為120°，則異面直線l1與l2所成的角等于______.
空間中兩條直線所成的角
如圖所示，已知正方體ABCD－A1B1C1D1，E，F(xiàn)分別是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，求EF和CD所成的角.
故直線EF與直線CD所成的角是45°.方法二　(坐標(biāo)法)
以D為原點，分別以射線DA，DC，DD1為x軸、y軸、z軸的非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz如圖所示，
∴異面直線EF和CD所成的角是45°.方法三　(幾何法)設(shè)正方體的棱長為1，連接A1D，DC1(圖略)，則F在線段A1D上且是線段A1D的中點，又因為E為A1C1的中點，
故EF是△A1DC1的中位線，故有EF∥DC1，則∠CDC1即為直線EF與直線CD所成的角，
即Rt△CDC1為等腰直角三角形，所以∠CDC1＝45°，故直線EF與直線CD所成的角是45°.
(1)向量所成角與空間直線所成角的差異：向量所成角的范圍是[0，π]，而空間直線所成角的范圍是 ，故空間直線所成角的余弦值一定大于或等于0.(2)求空間直線所成角的三種方法①幾何法：平移直線(兩條或一條)到一個公共點，再通過解三角形求角.②基底法：確定一個基底，用基底表示兩直線的方向向量.③坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示兩直線的方向向量.
長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝BB1＝2，E，F(xiàn)分別是側(cè)面A1B1C1D1與側(cè)面B1BCC1的中心，求異面直線AF與BE所成角的余弦值.
如圖，以D為原點建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則A(2,0,0)，B(2,4,0)，C1(0,4,2)，A1(2,0,2)，∴E(1,2,2)，F(xiàn)(1,4,1)，
問題2　如果空間兩直線沒有交點，這兩條直線一定平行嗎？
提示　不一定，根據(jù)直線的分類，我們把空間直線分為共面直線和異面直線，共面直線包括平行直線和相交直線，而異面直線說的是這兩條直線不同在一個平面內(nèi).
異面直線與空間向量1.異面直線的判定如圖(1)(2)所示，如果A∈l1，B∈l2，則l1與l2異面時，可知v1，v2， 是不共面的；反之，如果v1，v2， 不共面，則l1與l2是異面的.也就是說，此時“v1，v2， 不共面”是“l(fā)1與l2異面”的 　　條件.
2.異面直線間的距離一般地，如果l1與l2是空間中兩條異面直線，M∈l1，N∈l2， ， ，則稱MN為l1與l2的公垂線段.兩條異面直線的公垂線段的長，稱為這兩條異面直線之間的 .
在正三棱柱ABC－A1B1C1中，棱長都為2，試找出異面直線BA1與CB1的公垂線，并求兩條異面直線的距離.
如圖，以AC中點O為原點，以O(shè)A，OB所在直線為x，y軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.
假設(shè)MN為BA1與CB1的公垂線，即?M∈BA1，N∈CB1，使MN⊥BA1，MN⊥CB1，
又MN⊥BA1，MN⊥CB1，
故在BA1與CB1上存在點M，N，
兩條異面直線的公垂線有且僅有一條.即一條直線與兩異面直線都相交且垂直，利用幾何知識很難找到.利用空間直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化成方向向量之間的關(guān)系較為簡單.求解時要注意先建系，再設(shè)出M，N的坐標(biāo)，利用MN與異面直線都垂直，就能找到M，N.
已知三棱錐S－ABC中，SA＝BC＝13，SB＝AC＝14，SC＝AB＝15，求異面直線AS與BC的距離.
構(gòu)造如圖所示的長方體，使得長方體中三個相鄰矩形的對角線長分別為13,14,15.設(shè)AD＝x，BD＝y(tǒng)，SD＝z，則x2＋y2＝AB2，y2＋z2＝SB2，x2＋z2＝SA2，
由長方體性質(zhì)，可知BD⊥平面ADSF，BD⊥平面BGCE，平面ADSF∥平面BGCE，則BD為平面ADSF和平面BGCE之間的距離，又AS?平面ADSF，BC?平面BGCE，則BD的長度就是異面直線AS與BC的距離，
1.知識清單： (1)空間中兩條直線所成的角與方向向量所成的角的關(guān)系. (2)兩異面直線的公垂線段.2.方法歸納：數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸.3.常見誤區(qū)：兩條直線所成的角與兩直線方向向量所成的角之間的關(guān)系易混淆.
1.已知A(0,1,1)，B(2，－1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，則直線AB與直線CD所成角的余弦值為
2.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長為1，M，N分別是CD，CC1的中點，則異面直線A1M與DN所成角的大小是
以D為原點，DA，DC，DD1所在直線為坐標(biāo)軸建系，
3.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點，N是A1B1的中點，則直線NO，AM的位置關(guān)系是A.平行 B.相交C.異面垂直 D.異面不垂直
建立坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)正方體的棱長為2，則A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2，1,2)，
則直線NO，AM的位置關(guān)系是異面垂直.
4.已知兩條空間直線a，b的夾角為60°，a，b分別為直線a，b的方向向量，則〈a，b〉＝____________.
由空間中兩條直線所成的角與其方向向量的夾角的關(guān)系可知，〈a，b〉＝60°或120°.
1.若異面直線l1的方向向量與l2的方向向量的夾角為150°，則l1與l2的夾角為A.30° B.150°C.30°或150° D.以上均不對
根據(jù)異面直線所成角的定義即知l1，l2所成角為30°.
a·b＝2－λ＋4＝6－λ，
3.在棱長為3的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為線段AA1的中點，F(xiàn)為線段C1D1上靠近D1的三等分點，則異面直線A1B與EF所成角的余弦值為
如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則A1(3,0,0)，B(3,3,3)，
4.直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點，BC＝CA＝CC1，則BM與AN所成角的余弦值為
如圖所示，以C為原點，直線CA為x軸，直線CB為y軸，直線CC1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
不妨設(shè)正四棱錐底面邊長為2，底面中心為O，連接PO，則PO⊥平面ABCD，取BC的中點E，連接OE，PE，則OE⊥BC，PE⊥BC，所以∠PEO為側(cè)面PBC與底面ABCD所成的角，
取底面正方形的中心O為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
6.(多選)如圖所示是正四面體的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點，在這個正四面體中，下列命題正確的是A.GH與EF平行B.BD與MN為異面直線C.GH與MN成60°角D.DE與MN垂直
如圖，把平面展開圖還原成正四面體，知GH與EF為異面直線，A不正確；BD與MN為異面直線，B正確；GH∥AD，MN∥AF，而∠DAF＝60°，∴∠GHM＝60°，∴GH與MN成60°角，C正確；連接AG，F(xiàn)G，AG⊥DE，F(xiàn)G⊥DE，∴DE⊥平面AFG，∴DE⊥AF，又MN∥AF，∴DE與MN垂直，D正確.
7.已知a，b是異面直線，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，則a與b所成的角為______.
8.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是DD1，BD的中點，則直線AD1與EF所成角的余弦值是_____.
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)正方體的棱長為2，則A(2,0,0)，D1(0,0,2)，E(0,0,1)，F(xiàn)(1，1,0)，
9.如圖所示，在長方體OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，E是BC的中點.
(1)求異面直線AO1與B1E所成角的余弦值；
如圖，以O(shè)為原點， 的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.由題設(shè)，知A(2,0,0)，O1(0,0,2)，B1(2,3,2)，E(1,3,0)，
(2)作O1D⊥AC于點D，求O1D的長.
因為C(0,3,0)，設(shè)D(x，y,0)，
10.已知圓柱的底面半徑為3，高為4，A，B兩點分別在兩底面圓周上，并且AB＝5，求異面直線AB與軸OO′之間的距離.
如圖，直線AB與軸OO′之間的距離等于軸OO′與平面ABC的距離，由圖形可知，直線AB與軸OO′之間的距離等于O′到BC的距離，∵AB＝5，AC＝4，且AC⊥BC，
11.如圖，S是正三角形ABC所在平面外一點，M，N分別是AB和SC的中點，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝90°，則異面直線SM與BN所成角的余弦值為
不妨設(shè)SA＝SB＝SC＝1，以S為坐標(biāo)原點， 所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Sxyz，則相關(guān)各點坐標(biāo)為A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，S(0,0,0)，
因為異面直線所成的角為銳角或直角，
12.已知四面體O－ABC的各棱長均為1，D是棱OA的中點，則異面直線BD與AC所成角的余弦值為
13.如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在A1D，AC上，且A1E＝ A1D，AF＝ AC，則A.EF至多與A1D，AC之一垂直B.EF⊥A1D，EF⊥ACC.EF與BD1相交D.EF與BD1異面
如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為3，則E(1,0,1)，F(xiàn)(2,1,0)，A1(3,0,3)，A(3,0,0)，C(0,3,0)，D(0，0,0)，B(3,3,0)，D1(0,0,3)，
∴EF⊥AC，EF⊥A1D.
14.如圖，在三棱錐S－ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，且SA＝AB＝BC＝1，則異面直線SB與AC之間的距離為____.
構(gòu)造如圖所示的正方體，取AB的中點O，連接OD交AC于點E，連接OM交SB于點F，由平面幾何知識可知，
所以EF∥DM.又因為AC⊥BD，AC⊥BM，所以AC⊥平面BDM，AC⊥DM，因為EF∥DM，所以AC⊥EF.
同理可證SB⊥DM，所以SB⊥EF，所以EF是異面直線AC和SB的公垂線段，
15.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，動點M在線段A1C上(包括A1，C兩端點)，E，F(xiàn)分別為DD1，AD的中點.若異面直線EF與BM所成的角為θ，則θ的取值范圍為
以D為原點， 的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，設(shè)DA＝2，則F(1,0,0)，E(0,0,1)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,2)，
16.在長方體ABCD－A1B1C1D1中AD＝AA1＝1，AB＝2，在棱AB上是否存在一點E使得異面直線AD1與EC所成的角為60°？若存在，求出點E的位置；若不存在，說明理由.

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1.2.1 空間中的點、直線與空間向量

版本： 人教B版 (2019)

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