數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)5.1.2 數(shù)列中的遞推教案-教案下載-教習(xí)網(wǎng)

5.1.2　數(shù)列中的遞推學(xué) 習(xí) 目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解遞推公式的含義．(重點(diǎn))2．掌握遞推公式的應(yīng)用．(難點(diǎn))3．會(huì)利用an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式．(易錯(cuò)點(diǎn))1.通過(guò)數(shù)列遞推公式的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)邏輯推理的素養(yǎng)．2．借助遞推公式的應(yīng)用學(xué)習(xí)，提升數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng).情境導(dǎo)學(xué)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派將1,3,6,10等數(shù)稱(chēng)為三角形數(shù)，因?yàn)檫@些數(shù)目的點(diǎn)總可以擺成一個(gè)三角形，如圖所示．把所有的三角形數(shù)按從小到大的順序排列，就能構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{an}．問(wèn)題：a2與a1，a3與a2，a4與a3之間分別存在怎樣的等量關(guān)系？1．?dāng)?shù)列的遞推公式如果已知數(shù)列的首項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或兩項(xiàng)以上的關(guān)系都可以用一個(gè)公式來(lái)表示，則稱(chēng)這個(gè)公式為數(shù)列的遞推關(guān)系(也稱(chēng)為遞推公式或遞歸公式)．拓展：數(shù)列遞推公式與通項(xiàng)公式的關(guān)系遞推公式通項(xiàng)公式區(qū)別表示an與它的前一項(xiàng)an－1(或前幾項(xiàng))之間的關(guān)系表示an與n之間的關(guān)系聯(lián)系(1)都是表示數(shù)列的一種方法；(2)由遞推公式求出前幾項(xiàng)可歸納猜想出通項(xiàng)公式2.數(shù)列的前n項(xiàng)和(1)一般地，給定數(shù)列{an}，稱(chēng)Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．(2)Sn與an的關(guān)系an＝1．思考辨析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)遞推公式是表示數(shù)列的一種方法． (　　)(2)所有的數(shù)列都有遞推公式． (　　)(3)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則an＝Sn－Sn－1，n∈N＋. (　　)(4)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則a1＝S1. (　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√2．(教材P9例1改編)數(shù)列1，，，，…的遞推公式可以是(　　)A．an＝ B．an＝C．an＋1＝an D．an＋1＝2anC　[由題意可知C選項(xiàng)符合，故選C.]3．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2，則a2＝________.3　[a2＝S2－S1＝4－1＝3.]4．已知數(shù)列{an}中，a1＝－，an＋1＝1－，則a2__________.3　[因?yàn)?/span>a1＝－，an＋1＝1－，所以a2＝1－＝1＋2＝3.]合作探究由遞推關(guān)系寫(xiě)出數(shù)列的項(xiàng)【例1】　(1)已知數(shù)列{an}滿足關(guān)系anan＋1＝1－an＋1(n∈N＋)且a2 019＝2，則a2 020＝(　　)A．－ B. C．－ D.(2)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋2－an＝6，則a11的值為(　　)A．31 B．32 C．61 D．62(1)B　(2)A　[(1)由anan＋1＝1－an＋1，得an＋1＝，又∵a2 019＝2，∴a2 020＝，故選B.(2)∵數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋2－an＝6，∴a3＝6＋1＝7，a5＝6＋7＝13，a7＝6＋13＝19，a9＝6＋19＝25，a11＝6＋25＝31，故選A.](由遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的項(xiàng)的方法?1?根據(jù)遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)，首先要弄清楚公式中各部分的關(guān)系，依次代入計(jì)算即可.?2?若知道的是末項(xiàng)，通常將所給公式整理成用后面的項(xiàng)表示前面的項(xiàng)的形式，如an＝2an＋1＋1.?3?若知道的是首項(xiàng)，通常將所給公式整理成用前面的項(xiàng)表示后面的項(xiàng)的形式，如an＋1＝.1．已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)a1＝1，以后的各項(xiàng)由公式an＋1＝給出，試寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)．[解]　∵a1＝1，an＋1＝，∴a2＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝＝，a5＝＝＝.故該數(shù)列的前5項(xiàng)為1，，，，.已知Sn求通項(xiàng)公式an【例2】　(教材P12例3改編)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，求{an}的通項(xiàng)公式：(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n－2.[思路點(diǎn)撥]　應(yīng)用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求解，注意檢驗(yàn)n＝1時(shí)a1是否滿足an(n≥2)．[解]　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2－3＝－1；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5.(*)當(dāng)n＝1時(shí)，a1滿足(*)式，故an＝4n－5.(2)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3－2＝1.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2·3n－1.(*)當(dāng)n＝1時(shí)，a1不滿足(*)式，故an＝(變條件)若把本例(1)中的Sn換為Sn＝2n2－3n＋1，再求{an}的通項(xiàng)公式．[解]　當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2－3＋1＝0，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝4n－5.(*)顯然n＝1不滿足(*)式，故an＝(已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式Sn，求通項(xiàng)公式an的步驟：?1?當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1.?2?當(dāng)n≥2時(shí)，根據(jù)Sn寫(xiě)出Sn－1，化簡(jiǎn)an＝Sn－Sn－1.?3?如果a1也滿足當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1的通項(xiàng)公式，那么數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝Sn－Sn－1；,如果a1不滿足當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1的通項(xiàng)公式，那么數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式要分段表示為an＝.數(shù)列的遞推公式與通項(xiàng)公式的關(guān)系[探究問(wèn)題]1．在數(shù)列{an}中，a1＝3，＝2，照此遞推關(guān)系，你能寫(xiě)出{an}任何相鄰兩項(xiàng)滿足的關(guān)系嗎？若將這些關(guān)系式兩邊分別相乘，你能得到什么結(jié)論？[提示]　按照＝2可得＝2，＝2，＝2，…，＝2(n≥2)，將這些式子兩邊分別相乘可得···…·＝2·2·…·2.則＝2n－1，所以an＝3·2n－1(n∈N＋)．2．在數(shù)列{an}中，若a1＝3，an＋1－an＝2，照此遞推關(guān)系試寫(xiě)出前n項(xiàng)中，任何相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系，將這些式子兩邊分別相加，你能得到什么結(jié)論？[提示]　由an＋1－an＝2得a2－a1＝2，a3－a2＝2，a4－a3＝2，…，an－an－1＝2(n≥2，n∈N＋)，將這些式子兩邊分別相加得：a2－a1＋a3－a2＋a4－a3＋…＋an－an－1＝2(n－1)，即an－a1＝2(n－1)，所以有an＝2(n－1)＋a1＝2n＋1(n∈N＋)．【例3】　設(shè)數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且an＋1＝an(n∈N＋)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．[思路點(diǎn)撥]　由遞推公式，分別令n＝1,2,3，得a2，a3，a4，由前4項(xiàng)觀察規(guī)律，可歸納出它的通項(xiàng)公式；或利用an＋1＝an反復(fù)迭代；或?qū)?/span>an＋1＝an變形為＝進(jìn)行累乘；或?qū)?/span>an＋1＝an變形為＝1，構(gòu)造數(shù)列{nan}為常數(shù)列．[解]　法一：(歸納猜想法)因?yàn)?/span>an＋1＝an，a1＝1，a2＝×1＝，a3＝×＝，a4＝×＝，…猜想an＝.法二：(迭代法)因?yàn)?/span>an＋1＝an，所以an＝an－1＝·an－2＝…＝··…·a1，從而an＝.法三：(累乘法)因?yàn)?/span>an＋1＝an，所以＝，則··…·＝··…·，所以an＝.法四：(轉(zhuǎn)化法)因?yàn)?/span>an＋1＝an，所以＝1，故數(shù)列{nan}是常數(shù)列，nan＝a1＝1，所以an＝.由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式時(shí)，若遞推關(guān)系為an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝g(n)·an，則可以分別通過(guò)累加或累乘法求得通項(xiàng)公式，即：(1)累加法：當(dāng)an＝an－1＋f(n)時(shí)，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求通項(xiàng)公式．(2)累乘法：當(dāng)＝g(n)時(shí)，常用an＝··…··a1求通項(xiàng)公式．2．已知數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋3(n∈N＋)，寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)，猜想an并加以證明．[解]　a1＝2，a2＝a1＋3＝5，a3＝a2＋3＝8，a4＝a3＋3＝11，a5＝a4＋3＝14，猜想：an＝3n－1.證明如下：由an＋1＝an＋3得a2＝a1＋3，a3＝a2＋3，a4＝a3＋3，…an＝an－1＋3.將上面的(n－1)個(gè)式子相加，得an－a1＝3(n－1)，所以an＝2＋3(n－1)＝3n－1.課堂小結(jié)1．因?yàn)?/span>an＝Sn－Sn－1只有當(dāng)n≥2時(shí)才有意義，所以由Sn求通項(xiàng)公式an＝f(n)時(shí)，要分n＝1和n≥2兩種情況分別計(jì)算，然后驗(yàn)證兩種情況可否用統(tǒng)一解析式表示，若不能，則用分段函數(shù)的形式表示．2．要注意通項(xiàng)公式和遞推公式的區(qū)別通項(xiàng)公式直接反映an和n之間的關(guān)系，即an是n的函數(shù)，知道任意一個(gè)具體的n值，就可以求出該項(xiàng)的值an；而遞推公式則是間接反映數(shù)列的式子，它是數(shù)列任意兩個(gè)(或多個(gè))相鄰項(xiàng)之間的推導(dǎo)關(guān)系，不能由n直接得出an.1．?dāng)?shù)列1,3,6,10,15，…的遞推公式是(　　)A．an＋1＝an＋n，n∈N＋B．an＝an－1＋n，n∈N＋，n≥2C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N＋D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N＋，n≥2C　[由題意知a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…an＋1－an＝n＋1，n∈N＋，故選C.]2．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n2－2n＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an為(　　)A．an＝6n－5 B．an＝C．an＝6n＋1 D．an＝B　[當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3－2＋1＝2.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5.(*)又n＝1時(shí)，不滿足(*)式，∴an＝故選B.]3．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N＋)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)為(　　)A．an＝n2＋1 B．an＝n＋1C．an＝1－n D．an＝3－nD　[∵an＋1－an＝－1，∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n.當(dāng)n＝1時(shí)，也滿足，故an＝3－n(n∈N＋)．]4．已知非零數(shù)列{an}的遞推公式為a1＝1，an＝·an－1(n≥2)，則a4＝________.4　[依次對(duì)遞推公式中的n賦值，當(dāng)n＝2時(shí)，a2＝2；當(dāng)n＝3時(shí)，a3＝a2＝3；當(dāng)n＝4時(shí)，a4＝a3＝4.]5．已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)是2，以后的各項(xiàng)由公式an＝(n＝2,3,4，…)給出，寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)，并歸納出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．[解]　可依次代入項(xiàng)數(shù)進(jìn)行求值．a1＝2，a2＝＝－2，a3＝＝－，a4＝＝－，a5＝＝－.即數(shù)列{an}的前5項(xiàng)為2，－2，－，－，－.也可寫(xiě)為，，，，.即分子都是－2，分母依次加2，且都是奇數(shù)，所以an＝－(n∈N＋)．

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