2023年廣東省汕頭市潮陽區(qū)中考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷一、選擇題（本大題共9小題，共27.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  一元二次方程的解是(    )A. ， B.
C.  D. ，2.  圓錐的側(cè)面展開圖是(    )A. 三角形 B. 矩形 C. 圓 D. 扇形3.  在下列四個(gè)圖案中，不是中心對稱圖形的是(    )A.  B.  C.  D. 4.  已知反比例函數(shù)，則下列描述不正確的是(    )A. 圖象位于第一，第三象限 B. 圖象必經(jīng)過點(diǎn)
C. 圖象不可能與坐標(biāo)軸相交 D. 隨的增大而減小5.  在中，，如果，那么的長是(    )A.  B.  C.  D. 6.  如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，若且于點(diǎn)，則的度數(shù)為(    )
 A.  B.  C.  D. 7.  如圖，的直徑，是的弦，，垂足為，：：，則的長為(    )
 A.  B.  C.  D. 8.  從、、、四個(gè)數(shù)中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，分別記為、，則關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)解的概率為(    )A.  B.  C.  D. 9.  如圖，在中，點(diǎn)在邊上，若，，且，則線段的長為(    )A.
B.
C.
D. 二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）10.  請寫出一個(gè)二次函數(shù)表達(dá)式，使其圖象的對稱軸為軸：______．11.  如圖，，，是上的三點(diǎn)，若是等邊三角形，則的度數(shù)為        ．
 12.  一個(gè)不透明布袋中有個(gè)紅球，個(gè)白球，這些球除顏色外無其他差別，從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，該小球是紅色的概率為        ．13.  已知是一元二次方程的一個(gè)根，則的值是______．14.  如圖，在中，，矩形的頂點(diǎn)、在上，點(diǎn)、分別在、上，若，，且，則的長為______ ．
 三、解答題（本大題共8小題，共75.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.  本小題分
計(jì)算：．16.  本小題分
有一人感染了某種病毒，經(jīng)過兩輪傳染后，共有人感染了該種病毒，求每輪傳染中平均每人傳染了多少個(gè)人．17.  本小題分
如圖，在邊長為的正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，已知三個(gè)頂點(diǎn)分別為、、．
以原點(diǎn)為位似中心，在軸的上方畫出，使與位似，且相似比為：；
的面積為        ．
18.  本小題分
為創(chuàng)建“全國文明城市”，周末團(tuán)委組織志愿者進(jìn)行宣傳活動班主任梁老師決定從名女班干部小悅、小惠、小艷和小倩中通過抽簽方式確定名女生去參加抽簽規(guī)則：將名女班干部姓名分別寫在四張完全相同的卡片正面，把四張卡片背面朝上，洗勻后放在桌面上，梁老師先從中隨機(jī)抽取一張卡片，記下姓名，再從剩余的三張卡片中隨機(jī)抽取第二張，記下姓名，
該班男生“小剛被抽中”是        事件填“不可能”“必然”“隨機(jī)”；第一次抽取卡片“小悅未抽中”的概率為        ．
試用畫樹狀圖或列表的方法表示這次抽簽所有可能的結(jié)果，求出“小惠被抽中”的概率．
19.  本小題分
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、、，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．
求的值；
將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，其中點(diǎn)與點(diǎn)對應(yīng)，試判斷點(diǎn)是否在該反比例函數(shù)的圖象上？
 
20.  本小題分
已知：如圖，在菱形中，點(diǎn)、分別在邊、上，，的延長線交的延長線于點(diǎn)，的延長線交的延長線于點(diǎn)．
求證：∽；
如果，求證：．
 21.  本小題分
在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，拋物線恰好經(jīng)過，，三點(diǎn)中的兩點(diǎn)．
求直線的解析式；
求，的值；
平移拋物線，使其頂點(diǎn)仍在直線上，求平移后所得拋物線與軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值．22.  本小題分
如圖，、是的切線，、是切點(diǎn)，是的直徑，連接，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．
求證：；
若恰好是的中點(diǎn)，且四邊形的面積是，求陰影部分的面積；
若，且，求切線的長．

答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】
本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．
利用完全平方公式變形，從而得出方程的解．
【解答】
解：，
，
則，
解得，
故選：．  2.【答案】 【解析】解：圓錐的側(cè)面展開圖是扇形．
故選D．
根據(jù)圓錐的展開圖解答．
本題考查了幾何體的展開圖，熟記一些常見立體圖形的展開圖是解題的關(guān)鍵．
 3.【答案】 【解析】解：觀察四個(gè)選項(xiàng)可知，只有選項(xiàng)中的圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后不能與自身重合，
因此選項(xiàng)中的圖形不是中心對稱圖形，
故選：．
利用中心對稱圖形的定義即可得出答案．
本題考查中心對稱圖形的識別，掌握定義是解題的關(guān)鍵．平面內(nèi)，如果把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后能與自身重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對稱圖形．
 4.【答案】 【解析】解：，
圖象位于第一，第三象限，
故A正確，不符合題意；
B.，
圖象必經(jīng)過點(diǎn)，
故B正確，不符合題意；
C.，
，
圖象不可能與坐標(biāo)軸相交，
故C正確，不符合題意；
D.，
在每一個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而減小，
故D錯(cuò)誤，符合題意．
故選：．
根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)對各項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．
本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 5.【答案】 【解析】解：在中，，，
，
．
故選：．
在直角三角形中解題，根據(jù)角的正弦值與三角形邊的關(guān)系，求出三角形的邊長．
此題考查解直角三角形，只要理解直角三角形中邊角之間的關(guān)系即可．
 6.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)角的定義是本題的關(guān)鍵．
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，由直角三角形的性質(zhì)可得，即可求解．
【解答】
解：將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，
，，
，
，
．
故選：．  7.【答案】 【解析】解：連接，

的直徑，


，
，
故選：．
 8.【答案】 【解析】解：若關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)解，
則且，解得且，
畫樹狀圖得：

由樹形圖可知：一共有種等可能的結(jié)果，其中使的有種結(jié)果，
關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)解的概率為，
故選：．
首先畫出樹狀圖即可求得所有等可能的結(jié)果與使的情況，然后利用概率公式求解即可求得答案．
本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
 9.【答案】 【解析】解：，，
∽，
，
，，
，
，
．
故選：．
由，，可判定∽，從而可得比例式，再將，代入，可求得的長，然后根據(jù)，可求得答案．
本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．
 10.【答案】答案不唯一 【解析】解：圖象的對稱軸是軸，
函數(shù)表達(dá)式為答案不唯一，
故答案為答案不唯一．
根據(jù)形如的二次函數(shù)的性質(zhì)直接寫出即可．
本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．
 11.【答案】 【解析】解：是等邊三角形，
，
，
故答案為：．
由是等邊三角形可知，根據(jù)圓周角定理可求出的度數(shù)．
本題主要考查了圓周角定理和等邊三角形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用圓周角定理是解答此題的關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】解：從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，恰好是紅球的概率．
故答案為：．
直接根據(jù)概率公式求解．
本題考查了概率公式：隨機(jī)事件的概率事件可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)除以所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．
 13.【答案】 【解析】解：把代入方程得到，
解得：或，

，
故答案為：．
一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，即把代入方程求解可得的值，但是．
本題考查的是一元二次方程的解的定義，解題的關(guān)鍵是正確的代入求解，屬于基礎(chǔ)題型．
 14.【答案】 【解析】解：，設(shè)，則，
四邊形是矩形，
，
∽，
，即，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，，
即，
解得：或舍，
，
故答案為：．
根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，證明∽，可得，證明≌，得到，在中，利用勾股定理求出值即可．
本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊對等角，解題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到的長．
 15.【答案】解：原式


． 【解析】根據(jù)零指數(shù)冪的運(yùn)算法、特殊角的三角函數(shù)值、絕對值的代數(shù)意義化簡各項(xiàng)，再計(jì)算加減法即可
本題主要考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，涉及的知識點(diǎn)有：零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、絕對值的代數(shù)意義，解題關(guān)鍵在于熟練掌握運(yùn)算法則．
 16.【答案】解：設(shè)每輪傳染中平均每人傳染了人，
依題意得：，
即，
解得：不符合題意舍去，，
答：每輪傳染中平均每人傳染了人． 【解析】設(shè)每輪傳染中平均每人傳染了人，由題意：有一人感染了某種病毒，經(jīng)過兩輪傳染后，共有人感染了該種病毒，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．
本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
 17.【答案】 【解析】解：如圖所示，就是所求三角形；
如圖，分別過點(diǎn)、作軸的平行線，過點(diǎn)作軸的平行線，交點(diǎn)分別為、，
，，，與位似，且位似比為：，
，，，
的面積．
連接延長到，使得，同法可得、，就是所求三角形；
用矩形面積減去個(gè)三角形面積即可求解．
本題考查作圖位似變換的知識，解題的關(guān)鍵是理解位似變換的定義，屬于中考?？碱}型．
 18.【答案】不可能  【解析】解：該班男生“小剛被抽中”是不可能事件，第一次抽取卡片“小悅被抽中”的概率為．
故答案為：不可能；；
記小悅、小惠、小艷和小倩這四位女同學(xué)分別為、、、，列表如下： ------------由表可知，共有種等可能結(jié)果，其中小惠被抽中的有種結(jié)果，
所以小惠被抽中的概率為．
根據(jù)隨機(jī)事件和不可能事件的概念及概率公式即可得出答案；
列舉出所有情況數(shù)，看所求的情況占總情況的多少即可．
此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點(diǎn)為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
 19.【答案】解：函數(shù)的圖象過點(diǎn)，
；
，
，
繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，
，，
如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
，
，
由可知，
當(dāng)時(shí)，，
在反比例函數(shù)的圖象上． 【解析】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及圖形的旋轉(zhuǎn)的知識，解答本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，此題難度不大．
根據(jù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)，直接求出的值；
過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出，，利用勾股定理求出和的長，進(jìn)而得到點(diǎn)的坐標(biāo)，即可作出判斷點(diǎn)是否在該反比例函數(shù)的圖象上．
 20.【答案】證明：四邊形是菱形，
，，，
，
≌，
，
，
，
，
，
∽．

證明：，
，
，
，
，
，，
，
即． 【解析】想辦法證明即可解決問題．
利用平行線分線段成比例定理結(jié)合已知條件解決問題即可．
本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．
 21.【答案】解：直線經(jīng)過點(diǎn)，
，解得，
直線為；
直線與拋物線都經(jīng)過點(diǎn)，，都在直線上，所以直線與拋物線不可能有三個(gè)交點(diǎn)．
且、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，
拋物線只能經(jīng)過、兩點(diǎn)，
把，代入得，
解得，；
由知，拋物線的解析式為，
設(shè)平移后的拋物線的解析式為，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
頂點(diǎn)仍在直線上，
，
，
拋物線與軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
，
當(dāng)時(shí)，平移后所得拋物線與軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值為．
另解：
平移拋物線，其頂點(diǎn)仍在直線上，
設(shè)平移后的拋物線的解析式為，
，
設(shè)平移后所得拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則，
當(dāng)時(shí)，平移后所得拋物線與軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值為． 【解析】因?yàn)橹本€經(jīng)過可求出的值，進(jìn)而得出結(jié)論；
直線與拋物線都經(jīng)過點(diǎn)，，都在直線上，所以直線與拋物線不可能有三個(gè)交點(diǎn)．且、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，拋物線只能經(jīng)過、兩點(diǎn)，把，代入即可求得、；
設(shè)平移后的拋物線為，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)題意得出，由拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，即可得出，從而得出的最大值．
本題考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，涉及到待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式和二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，題目有一定難度．
 22.【答案】證明：，是的切線，
，
，
，
是直徑，
，
，
．

解：，，
，
，
，
是等邊三角形，
，
設(shè)，則，，，
四邊形的面積是，
，
，
或舍棄，
，，，
，
，
，
，
．

解：在中，，
可以假設(shè)，則，，，
在中，，
，
或舍棄，
，，，
是切線，
，
，
，，
，
，
． 【解析】證明，，可得結(jié)論．
設(shè)，用的代數(shù)式表示，，構(gòu)建方程求出，求出，，，再根據(jù)，求解即可．
在中，，可以假設(shè)，則，，，在中，根據(jù)，構(gòu)建方程求出，再證明，可得結(jié)論．
本題屬于圓綜合題，考查了切線長定理，垂徑定理，解直角三角形，等邊三角形的判定和性質(zhì)，四邊形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題．
 

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