?2023年廣東省汕頭市中考數(shù)學(xué)試卷附答案
一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（3分）負(fù)數(shù)的概念最早出現(xiàn)在我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中．如果把收入5元記作+5元，那么支出5元記作（　　）
A．﹣5元 B．0元 C．+5元 D．+10元
2．（3分）下列出版社的商標(biāo)圖案中，是軸對(duì)稱圖形的為（　?。?br /> A． B．
C． D．
3．（3分）2023年5月28日，我國(guó)自主研發(fā)的C919國(guó)產(chǎn)大飛機(jī)商業(yè)首航取得圓滿成功．C919可儲(chǔ)存約186000升燃油，將數(shù)據(jù)186000用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．0.186×105 B．1.86×105 C．18.6×104 D．186×103
4．（3分）如圖，街道AB與CD平行，拐角∠ABC＝137°，則拐角∠BCD＝（　?。?br />
A．43° B．53° C．107° D．137°
5．（3分）計(jì)算的結(jié)果為（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻(xiàn)．優(yōu)選法中有一種0.618法應(yīng)用了（　?。?br /> A．黃金分割數(shù) B．平均數(shù) C．眾數(shù) D．中位數(shù)
7．（3分）某學(xué)校開設(shè)了勞動(dòng)教育課程．小明從感興趣的“種植”“烹飪”“陶藝”“木工”4門課程中隨機(jī)選擇一門學(xué)習(xí)，每門課程被選中的可能性相等．小明恰好選中“烹飪”的概率為（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）一元一次不等式組的解集為（　?。?br /> A．﹣1＜x＜4 B．x＜4 C．x＜3 D．3＜x＜4
9．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC＝50°，則∠D＝（　　）

A．20° B．40° C．50° D．80°
10．（3分）如圖，拋物線y＝ax2+c經(jīng)過(guò)正方形OABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，點(diǎn)B在y軸上，則ac的值為（　　）

A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分.
11．（3分）因式分解：x2﹣1＝　 　．
12．（3分）計(jì)算：＝　 ?。?br /> 13．（3分）某蓄電池的電壓為48V，使用此蓄電池時(shí)，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）的函數(shù)表達(dá)式為．當(dāng)R＝12Ω時(shí)，I的值為 　 　A．
14．（3分）某商品進(jìn)價(jià)4元，標(biāo)價(jià)5元出售，商家準(zhǔn)備打折銷售，但其利潤(rùn)率不能少于10%，則最多可打 　 　折．
15．（3分）邊長(zhǎng)分別為10，6，4的三個(gè)正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上（如圖），則圖中陰影部分的面積為 　 ?。?br />
三、解答題（一）：本大題共3小題，第16題10分，第17、18題各7分，共24分．
16．（10分）（1）計(jì)算：+|﹣5|+（﹣1）2023．
（2）已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1）與點(diǎn)（2，5），求該一次函數(shù)的表達(dá)式．





17．（7分）某學(xué)校開展了社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，活動(dòng)地點(diǎn)距離學(xué)校12km，甲、乙兩同學(xué)騎自行車同時(shí)從學(xué)校出發(fā)，甲的速度是乙的1.2倍，結(jié)果甲比乙早到10min，求乙同學(xué)騎自行車的速度．



18．（7分）2023年5月30日，神舟十六號(hào)載人飛船發(fā)射取得圓滿成功，3名航天員順利進(jìn)駐中國(guó)空間站．如圖中的照片展示了中國(guó)空間站上機(jī)械臂的一種工作狀態(tài)．當(dāng)兩臂AC＝BC＝10m，兩臂夾角∠ACB＝100°時(shí)，求A，B兩點(diǎn)間的距離．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）


四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分．
19．（9分）如圖，在?ABCD中，∠DAB＝30°．
（1）實(shí)踐與操作：用尺規(guī)作圖法過(guò)點(diǎn)D作AB邊上的高DE；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）
（2）應(yīng)用與計(jì)算：在（1）的條件下，AD＝4，AB＝6，求BE的長(zhǎng)．




20．（9分）綜合與實(shí)踐
主題：制作無(wú)蓋正方體形紙盒．
素材：一張正方形紙板．
步驟1：如圖1，將正方形紙板的邊長(zhǎng)三等分，畫出九個(gè)相同的小正方形，并剪去四個(gè)角上的小正方形；
步驟2：如圖2，把剪好的紙板折成無(wú)蓋正方體形紙盒．
猜想與證明：（1）直接寫出紙板上∠ABC與紙盒上∠A1B1C1的大小關(guān)系；
（2）證明（1）中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．







21．（9分）小紅家到學(xué)校有兩條公共汽車線路．為了解兩條線路的乘車所用時(shí)間，小紅做了試驗(yàn)，第一周（5個(gè)工作日）選擇A線路，第二周（5個(gè)工作日）選擇B線路，每天在固定時(shí)間段內(nèi)乘車2次并分別記錄所用時(shí)間．?dāng)?shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：（單位：min）
數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表
實(shí)驗(yàn)序號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A線路所用時(shí)間
15
32
15
16
34
18
21
14
35
20
B線路所用時(shí)間
25
29
23
25
27
26
31
28
30
24
根據(jù)以上信息解答下列問(wèn)題：

平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
方差
A線路所用時(shí)間
22
a
15
63.2
B線路所用時(shí)間
b
26.5
c
6.36
（1）填空：a＝　 ??；b＝　 　；c＝　 　；
（2）應(yīng)用你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，幫助小紅分析如何選擇乘車線路．




五、解答題（三）：本大題共2小題，每小題12分，共24分．
22．（12分）綜合探究
如圖1，在矩形ABCD中（AB＞AD），對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)A關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)為A′．連接AA′交BD于點(diǎn)E，連接CA′．
（1）求證：AA'⊥CA'；
（2）以點(diǎn)O為圓心，OE為半徑作圓．
①如圖2，⊙O與CD相切，求證：；
②如圖3，⊙O與CA′相切，AD＝1，求⊙O的面積．












23．（12分）綜合運(yùn)用
如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上．如圖2，將正方形OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜45°），AB交直線y＝x于點(diǎn)E，BC交y軸于點(diǎn)F．
（1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角∠COF為多少度時(shí)，OE＝OF；（直接寫出結(jié)果，不要求寫解答過(guò)程）
（2）若點(diǎn)A（4，3），求FC的長(zhǎng)；
（3）如圖3，對(duì)角線AC交y軸于點(diǎn)M，交直線y＝x于點(diǎn)N，連接FN．將△OFN與△OCF的面積分別記為S1與S2．設(shè)S＝S1﹣S2，AN＝n，求S關(guān)于n的函數(shù)表達(dá)式．

2023年廣東省汕頭市中考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（3分）負(fù)數(shù)的概念最早出現(xiàn)在我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中．如果把收入5元記作+5元，那么支出5元記作（　　）
A．﹣5元 B．0元 C．+5元 D．+10元
【答案】A
【分析】本題考查負(fù)數(shù)的概念問(wèn)題，負(fù)數(shù)和正數(shù)是具有相反意義的量，收入和支出是一對(duì)具有相反意義的量，進(jìn)而作答．
【解答】解：把收入5元記作+5元，
根據(jù)收入和支出是一對(duì)具有相反意義的量，
支出5元就記作﹣5元．
故答案為A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查負(fù)數(shù)和正數(shù)是具有相反意義的量，收入和支出是一對(duì)具有相反意義的量，解題的關(guān)鍵是理解相反意義的含義，進(jìn)而作答．
2．（3分）下列出版社的商標(biāo)圖案中，是軸對(duì)稱圖形的為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用軸對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行分析即可．
【解答】解：選項(xiàng)B，C，D中的圖形都不能確定一條直線，使圖形沿這條直線對(duì)折，直線兩旁的部分能夠完全重合，不是軸對(duì)稱圖形，選項(xiàng)A中的圖形沿某條直線對(duì)折后兩部分能完全重合，是軸對(duì)稱圖形，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了軸對(duì)稱圖形，關(guān)鍵是掌握如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸．
3．（3分）2023年5月28日，我國(guó)自主研發(fā)的C919國(guó)產(chǎn)大飛機(jī)商業(yè)首航取得圓滿成功．C919可儲(chǔ)存約186000升燃油，將數(shù)據(jù)186000用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．0.186×105 B．1.86×105 C．18.6×104 D．186×103
【答案】B
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值＞10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．
【解答】解：將186000用科學(xué)記數(shù)法表示為：1.86×105．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
4．（3分）如圖，街道AB與CD平行，拐角∠ABC＝137°，則拐角∠BCD＝（　　）

A．43° B．53° C．107° D．137°
【答案】D
【分析】由平行線的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD＝137°，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)解解題關(guān)鍵．
5．（3分）計(jì)算的結(jié)果為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查同分母分式的加減法，分母不變，分子相加減．
【解答】解：
＝
＝．
故本題選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查同分母分式相加減，分母不變，分子相加減．解題的關(guān)鍵是類比同分母分?jǐn)?shù)的相加減進(jìn)行計(jì)算即可．
6．（3分）我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻(xiàn)．優(yōu)選法中有一種0.618法應(yīng)用了（　?。?br /> A．黃金分割數(shù) B．平均數(shù) C．眾數(shù) D．中位數(shù)
【答案】A
【分析】根據(jù)黃金分割的定義，即可解答．
【解答】解：我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻(xiàn)．優(yōu)選法中有一種0.618法應(yīng)用了黃金分割數(shù)，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割，算術(shù)平均數(shù)，中位線，眾數(shù)，統(tǒng)計(jì)量的選擇，熟練掌握這些數(shù)學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
7．（3分）某學(xué)校開設(shè)了勞動(dòng)教育課程．小明從感興趣的“種植”“烹飪”“陶藝”“木工”4門課程中隨機(jī)選擇一門學(xué)習(xí)，每門課程被選中的可能性相等．小明恰好選中“烹飪”的概率為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用概率公式可得答案．
【解答】解：∵共有“種植”“烹飪”“陶藝”“木工”4門興趣課程，
∴明恰好選中“烹飪”的概率為．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了概率公式：隨機(jī)事件A的概率P（A）＝事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)除以所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．
8．（3分）一元一次不等式組的解集為（　?。?br /> A．﹣1＜x＜4 B．x＜4 C．x＜3 D．3＜x＜4
【答案】D
【分析】求出第一個(gè)不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：，
由不等式x﹣2＞1得：x＞3，
∴不等式的解集為3＜x＜4．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是熟知解集的規(guī)律．
9．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC＝50°，則∠D＝（　?。?br />
A．20° B．40° C．50° D．80°
【答案】B
【分析】由AB是⊙O的直徑，得∠ACB＝90°，而∠BAC＝50°，即得∠ABC＝40°，故∠D＝∠ABC＝40°，
【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∵∠BAC＝50°，
∴∠ABC＝40°，
∵＝，
∴∠D＝∠ABC＝40°，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握直徑所對(duì)的圓周角是直角和同弧所對(duì)的圓周角相等．
10．（3分）如圖，拋物線y＝ax2+c經(jīng)過(guò)正方形OABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，點(diǎn)B在y軸上，則ac的值為（　　）

A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
【答案】B
【分析】過(guò)A作AH⊥x軸于H，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠AOB＝45°，得到AH＝OH，利用待定系數(shù)法求得a、c的值，即可求得結(jié)論．
【解答】解：過(guò)A作AH⊥x軸于H，
∵四邊形ABCO是正方形，
∴∠AOB＝45°，
∴∠AOH＝45°，
∴AH＝OH，
設(shè)A（m，m），則B（0，2m），
∴，
解得am＝﹣1，m＝，
∴ac的值為﹣2，
故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，根據(jù)圖象得出拋物線經(jīng)過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分.
11．（3分）因式分解：x2﹣1＝?。▁+1）（x﹣1）　．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝（x+1）（x﹣1）．
故答案為：（x+1）（x﹣1）．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了因式分解﹣運(yùn)用公式法，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵．
12．（3分）計(jì)算：＝　6　．
【答案】6．
【分析】本題考查二次根式的乘法計(jì)算，根據(jù)×＝和＝a（a＞0）進(jìn)行計(jì)算，
【解答】解：方法一：
×
＝×2
＝2×3
＝6．
方法二：
×
＝
＝
＝6．
故答案為：6．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的計(jì)算，考查的關(guān)鍵是準(zhǔn)確運(yùn)用×＝和＝a（a＞0）進(jìn)計(jì)算．
13．（3分）某蓄電池的電壓為48V，使用此蓄電池時(shí)，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）的函數(shù)表達(dá)式為．當(dāng)R＝12Ω時(shí)，I的值為 　4　A．
【答案】4．
【分析】直接將R＝12代入I＝中可得I的值．
【解答】解：當(dāng)R＝12Ω時(shí)，I＝＝4（A）．
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是反比例函數(shù)的應(yīng)用，掌握反比例函數(shù)的點(diǎn)的坐標(biāo)是解決此題的關(guān)鍵．
14．（3分）某商品進(jìn)價(jià)4元，標(biāo)價(jià)5元出售，商家準(zhǔn)備打折銷售，但其利潤(rùn)率不能少于10%，則最多可打 　8.8　折．
【答案】8.8．
【分析】利潤(rùn)率不能少于10%，意思是利潤(rùn)率大于或等于10%，相應(yīng)的關(guān)系式為：（打折后的銷售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)）÷進(jìn)價(jià)≥10%，把相關(guān)數(shù)值代入即可求解．
【解答】解：設(shè)這種商品最多可以按x折銷售，
則售價(jià)為5×0.1x，那么利潤(rùn)為5×0.1x﹣4，
所以相應(yīng)的關(guān)系式為5×0.1x﹣4≥4×10%，
解得：x≥8.8．
答：該商品最多可以8.8折，
故答案為：8.8．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元一次不等式的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是得到利潤(rùn)率的相關(guān)關(guān)系式，注意“不能低于”用數(shù)學(xué)符號(hào)表示為“≥”；利潤(rùn)率是利潤(rùn)與進(jìn)價(jià)的比值．
15．（3分）邊長(zhǎng)分別為10，6，4的三個(gè)正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上（如圖），則圖中陰影部分的面積為 　15?。?br />
【答案】15．
【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面積公式計(jì)算即可．
【解答】解：如圖，
∵BF∥DE，
∴△ABF∽△ADE，
∴＝，
∵AB＝4，AD＝4+6+10＝20，DE＝10，
∴＝，
∴BF＝2，
∴GF＝6﹣2＝4，
∵CK∥DE，
∴△ACK∽△ADE，
∴＝，
∵AC＝4+6＝10，AD＝20，DE＝10，
∴＝，
∴CK＝5，
∴HK＝6﹣5＝1，
∴陰影梯形的面積＝（HK+GF）?GH
＝（1+4）×6
＝15．
故答案為：15．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例．
三、解答題（一）：本大題共3小題，第16題10分，第17、18題各7分，共24分．
16．（10分）（1）計(jì)算：+|﹣5|+（﹣1）2023．
（2）已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1）與點(diǎn)（2，5），求該一次函數(shù)的表達(dá)式．
【答案】（1）6．
（2）y＝2x+1．
【分析】（1）利用立方根的性質(zhì)、絕對(duì)值的性質(zhì)以及負(fù)數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算即可．
（2）將（0，1）與（2，5）代入y＝kx+b解方程組即可．
【解答】（1）解：原式＝2+5﹣1＝6．
（2）解：將（0，1）與（2，5）代入y＝kx+b得：
，
解得：，
∴一次函數(shù)的表達(dá)式為：y＝2x+1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達(dá)式，正確化簡(jiǎn)各數(shù)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入后能正確解方程組是解題的關(guān)鍵．
17．（7分）某學(xué)校開展了社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，活動(dòng)地點(diǎn)距離學(xué)校12km，甲、乙兩同學(xué)騎自行車同時(shí)從學(xué)校出發(fā)，甲的速度是乙的1.2倍，結(jié)果甲比乙早到10min，求乙同學(xué)騎自行車的速度．
【答案】乙騎自行車的速度為0.2km/分．
【分析】設(shè)乙步行的速度為xkm/分，則甲騎自行車的速度為1.2xkm/分，根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論．
【解答】解：設(shè)乙步行的速度為xkm/分，則甲騎自行車的速度為1.2xkm/分，
根據(jù)題意得﹣10＝，
解得x＝．
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝是原分式方程的解，
答：乙騎自行車的速度為0.2km/分．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．
18．（7分）2023年5月30日，神舟十六號(hào)載人飛船發(fā)射取得圓滿成功，3名航天員順利進(jìn)駐中國(guó)空間站．如圖中的照片展示了中國(guó)空間站上機(jī)械臂的一種工作狀態(tài)．當(dāng)兩臂AC＝BC＝10m，兩臂夾角∠ACB＝100°時(shí)，求A，B兩點(diǎn)間的距離．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）

【答案】A、B的距離大約是15.3m．
【分析】連接AB，取AB中點(diǎn)D，連接CD，根據(jù)AC＝BC，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，可得∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝50°，在Rt△ACD中，sin50°＝，解得AD＝10×sin50°≈7.66（m），故AB＝2AD≈15.3（m）．
【解答】解：連接AB，取AB中點(diǎn)D，連接CD，如圖，

∵AC＝BC，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，
∴中線CD為等腰三角形的角平分線（三線合一），AD＝BD＝AB，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝50°，
在Rt△ACD中，
sin∠ACD＝，
∴sin50°＝，
∴AD＝10×sin50°≈7.66（m），
∴AB＝2AD＝2×7.66＝15.32≈15.3（m），
答：A、B的距離大約是15.3m．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握銳角三角函數(shù)的定義．
四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分．
19．（9分）如圖，在?ABCD中，∠DAB＝30°．
（1）實(shí)踐與操作：用尺規(guī)作圖法過(guò)點(diǎn)D作AB邊上的高DE；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）
（2）應(yīng)用與計(jì)算：在（1）的條件下，AD＝4，AB＝6，求BE的長(zhǎng)．

【答案】（1）見作圖；（2）6﹣2．
【分析】（1）由基本作圖即可解決問(wèn)題；
（2）由銳角的余弦求出AE的長(zhǎng)，即可得到BE的長(zhǎng)．
【解答】解：（1）如圖E即為所求作的點(diǎn)；
（2）∵cos∠DAB＝，
∴AE＝AD?cos30°＝4×＝2，
∴BE＝AB﹣AE＝6﹣2．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本作圖，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，關(guān)鍵是掌握基本作圖，由銳角的余弦求出AE的長(zhǎng)．
20．（9分）綜合與實(shí)踐
主題：制作無(wú)蓋正方體形紙盒．
素材：一張正方形紙板．
步驟1：如圖1，將正方形紙板的邊長(zhǎng)三等分，畫出九個(gè)相同的小正方形，并剪去四個(gè)角上的小正方形；
步驟2：如圖2，把剪好的紙板折成無(wú)蓋正方體形紙盒．
猜想與證明：（1）直接寫出紙板上∠ABC與紙盒上∠A1B1C1的大小關(guān)系；
（2）證明（1）中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．

【答案】（1）∠ABC＝∠A1B1C1；
（2）證明過(guò)程見解答．
【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解；
（2）根據(jù)勾股定理和勾股定理的逆定理和正方形的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：（1）∠ABC＝∠A1B1C1；
（2）∵A1C1為正方形對(duì)角線，
∴∠A1B1C1＝45°，
設(shè)每個(gè)方格的邊長(zhǎng)為1，
則AB＝＝，
AC＝BC＝＝，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴由勾股定理的逆定理得△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ABC＝∠A1B1C1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，得到△ABC是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．
21．（9分）小紅家到學(xué)校有兩條公共汽車線路．為了解兩條線路的乘車所用時(shí)間，小紅做了試驗(yàn)，第一周（5個(gè)工作日）選擇A線路，第二周（5個(gè)工作日）選擇B線路，每天在固定時(shí)間段內(nèi)乘車2次并分別記錄所用時(shí)間．?dāng)?shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：（單位：min）
數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表
實(shí)驗(yàn)序號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A線路所用時(shí)間
15
32
15
16
34
18
21
14
35
20
B線路所用時(shí)間
25
29
23
25
27
26
31
28
30
24
根據(jù)以上信息解答下列問(wèn)題：

平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
方差
A線路所用時(shí)間
22
a
15
63.2
B線路所用時(shí)間
b
26.5
c
6.36
（1）填空：a＝　19　；b＝　26.8　；c＝　25　；
（2）應(yīng)用你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，幫助小紅分析如何選擇乘車線路．

【答案】（1）19，26.8，25．（2）選擇B路線更優(yōu)．
【分析】本題考查數(shù)據(jù)的分析，數(shù)據(jù)的集中和波動(dòng)問(wèn)題，
（1）平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)的計(jì)算．
（2）方差的實(shí)際應(yīng)用．
【解答】解：（1）求中位數(shù)a首先要先排序，
從小到大順序?yàn)椋?4，15，15，16，18，20，21，32，34，35．共有10個(gè)數(shù)，
中位數(shù)在第5和6個(gè)數(shù)為18和20，
所以中位數(shù)為＝19，
求平均數(shù)b＝＝26.8，
眾數(shù)c＝25，
故答案為：19，26.8，25．
（2）小紅統(tǒng)計(jì)的選擇A線路平均數(shù)為22，選擇B線路平均數(shù)為26.8，用時(shí)差不太多．而方差63.2＞6.36，相比較B路線的波動(dòng)性更小，所以選擇B路線更優(yōu)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)據(jù)的波動(dòng)與集中程度，解題的關(guān)鍵是能夠平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確的計(jì)算，理解方差的意義，并進(jìn)行作答．
五、解答題（三）：本大題共2小題，每小題12分，共24分．
22．（12分）綜合探究
如圖1，在矩形ABCD中（AB＞AD），對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)A關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)為A′．連接AA′交BD于點(diǎn)E，連接CA′．
（1）求證：AA'⊥CA'；
（2）以點(diǎn)O為圓心，OE為半徑作圓．
①如圖2，⊙O與CD相切，求證：；
②如圖3，⊙O與CA′相切，AD＝1，求⊙O的面積．

【答案】（1）證明過(guò)程詳見解答；
（2）①證明過(guò)程詳見解答；
②．
【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得AE＝A′E，AA′⊥BD，根據(jù)四邊形ABCD是矩形，得出OA＝OC，從而OE∥A′C，從而得出AA′⊥CA′；
（2）①設(shè)CD⊙O與CD切于點(diǎn)F，連接OF，并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G，可證得OG＝OF＝OE，從而得出∠EAO＝∠GAO＝∠GBO，進(jìn)而得出∠EAO＝30°，從而；
②設(shè)⊙O切CA′于點(diǎn)H，連接OH，可推出AA′＝2OH，CA′＝2OE，從而AA′＝CA′，進(jìn)而得出∠A′AC＝∠A′CA＝45°，∠AOE＝∠ACA′＝45°，從而得出AE＝OE，OD＝OA＝AE，設(shè)OA＝OE＝x，則OD＝OA＝，在Rt△ADE中，由勾股定理得出＝1，從而求得x2＝，進(jìn)而得出⊙O的面積．
【解答】（1）證明：∵點(diǎn)A關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)為A′，
∴AE＝A′E，AA′⊥BD，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，
∴OE∥A′C，
∴AA′⊥CA′；
（2）①證明：如圖2，
設(shè)CD⊙O與CD切于點(diǎn)F，連接OF，并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G，
∴OF⊥CD，OF＝OE，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OB＝OD＝BD，AB∥CD，AC＝BD，OA＝AC，
∴OG⊥AB，∠FDO＝∠BOG，OA＝OB，
∴∠GAO＝∠GBO，
∵∠DOF＝∠BOG，
∴△DOF≌△BOG（ASA），
∴OG＝OF，
∴OG＝OE，
由（1）知：AA′⊥BD，
∴∠EAO＝∠GAO，
∵∠EAB+∠GBO＝90°，
∴∠EAO+∠GAO+∠GBO＝90°，
∴3∠EAO＝90°，
∴∠EAO＝30°，
由（1）知：AA′⊥CA′，
∴tan∠EAO＝，
∴tan30°＝，
∴；
②解：如圖3，
設(shè)⊙O切CA′于點(diǎn)H，連接OH，
∴OH⊥CA′，
由（1）知：AA′⊥CA′，AA′⊥CA′，OA＝OC，
∴OH∥AA′，OE∥CA′，
∴△COH∽△CAA′，△AOE∽△ACA′，
∴，
∴AA′＝2OH，CA′＝2OE，
∴AA′＝CA′，
∴∠A′AC＝∠A′CA＝45°，
∴∠AOE＝∠ACA′＝45°，
∴AE＝OE，OD＝OA＝AE，
設(shè)OA＝OE＝x，則OD＝OA＝，
∴DE＝OD﹣OE＝（）x，
在Rt△ADE中，由勾股定理得，
＝1，
∴x2＝，
∴S⊙O＝π?OE2＝．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的切線性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)．
23．（12分）綜合運(yùn)用
如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上．如圖2，將正方形OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜45°），AB交直線y＝x于點(diǎn)E，BC交y軸于點(diǎn)F．
（1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角∠COF為多少度時(shí)，OE＝OF；（直接寫出結(jié)果，不要求寫解答過(guò)程）
（2）若點(diǎn)A（4，3），求FC的長(zhǎng)；
（3）如圖3，對(duì)角線AC交y軸于點(diǎn)M，交直線y＝x于點(diǎn)N，連接FN．將△OFN與△OCF的面積分別記為S1與S2．設(shè)S＝S1﹣S2，AN＝n，求S關(guān)于n的函數(shù)表達(dá)式．
【答案】（1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為22.5°時(shí)，OE＝OF；
（2）FC的長(zhǎng)為；
（3）S關(guān)于n的函數(shù)表達(dá)式為．
【分析】（1）如圖2中，當(dāng)OE＝OF時(shí)，得到Rt△AOE≌Rt△COF，利用全等三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解決問(wèn)題即可；
（2）在圖2中，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥x軸于點(diǎn)G，利用三角形相似，可得結(jié)論；
（3）過(guò)點(diǎn)N作直線PQ⊥BC于點(diǎn)P，交OA于點(diǎn)Q，利用四點(diǎn)共圓，得出三角形FON是等腰直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，結(jié)合三角形全等的判定和性質(zhì)和三角形的面積公式解決問(wèn)題．
【解答】解：（1）當(dāng)OE＝OF時(shí)，
在Rt△AOE和Rt△COF中，
，
∴Rt△AOE≌Rt△COF（HL），
∴∠AOE＝∠COF（即∠AOE＝旋轉(zhuǎn)角），
∴2∠AOE＝45°，
∴∠COF＝∠AOE＝22.5°，
∴當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為22.5°時(shí)，OE＝OF；

（2）過(guò)點(diǎn)A作AG⊥x軸于點(diǎn)G，則有AG＝3，OG＝4，

∴，
∵四邊形OABC是正方形，
∴OC＝OA＝5，∠AOC＝∠C＝90°，
又∵∠COF+∠FOA＝90°，∠AOG+∠FOA＝90°，
∴∠COG＝∠GOA，
∴Rt△AOG∽R(shí)t△FOC，
∴，
∴，
∴FC的長(zhǎng)為；

（3）過(guò)點(diǎn)N作直線PQ⊥BC于點(diǎn)P，交OA于點(diǎn)Q，

∵四邊形OABC是正方形，
∴∠BCA＝∠OCA＝45°，BC∥OA，
又∠FON＝45°，
∴∠FCN＝∠FON＝45°，
∴F、C、O、N四點(diǎn)共圓，
∴∠OFN＝∠OCA＝45°，
∴∠OFN＝∠FON＝45°，
∴△FON是等腰直角三角形，
∴FN＝NO，∠FNO＝90°，
∴∠FNP+∠ONQ＝90°，

又∵∠NOQ+∠ONQ＝90°，
∴∠NOQ＝∠FNP，
∴△NOQ≌△FNP（AAS），
∴NP＝OQ，F(xiàn)P＝NQ，
∵四邊形OQPC是矩形，
∴CP＝OQ，OC＝PQ，
∴，
＝，
，
＝，
＝，
＝，
∴，
又∵△ANQ為等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴S關(guān)于n的函數(shù)表達(dá)式為．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于一次函數(shù)綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．

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