2022學(xué)年上學(xué)期高二期末限時訓(xùn)練試卷數(shù)學(xué)命題學(xué)校：本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁，滿分150分，考試用時120分鐘.注意事項：1.開考前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的校名、姓名、班級、考號等相關(guān)信息填寫在答題卡指定區(qū)域內(nèi).2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.第一部分選擇題（共60分）一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1. 集合，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出集合,再解一元二次不等式求出集合，即可求解.【詳解】由得解得或，所以或，又由解得，所以，所以，故選:D.2. 某地天氣預(yù)報中說未來三天中該地下雪的概率均為0.6，為了用隨機(jī)模擬的方法估計未來三天中恰有兩天下雪的概率，用計算機(jī)產(chǎn)生1~5之間的隨機(jī)整數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機(jī)數(shù)1，2或3時，表示該天下雪，其概率為0.6，每3個隨機(jī)數(shù)一組，表示一次模擬的結(jié)果，共產(chǎn)生了如下的20組隨機(jī)數(shù)：522553135354313531423521541142125323345131332515324132255325則據(jù)此估計該地未來三天中恰有兩天下雪的概率為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件找出三天中恰有兩天下雪的隨機(jī)數(shù)，再按照古典概型求概率.【詳解】20組數(shù)據(jù)中，其中522,135,531,423,521,142,125,324,325表示三天中恰有2天下雪，共有9組隨機(jī)數(shù)，所以.故選：B3. 設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面上對應(yīng)的圖形是（    ）A. 兩條直線 B. 橢圓 C. 圓 D. 雙曲線【答案】A【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)模長相等列出方程，得到在復(fù)平面上對應(yīng)的圖形是兩條直線.【詳解】設(shè)，則，可得：，化簡得：，即或，則在復(fù)平面上對應(yīng)的圖形是兩條直線.故選：A4. 在中，已知，，，滿足此條件的三角形只有一個，則滿足（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】結(jié)合正弦定理得，滿足條件的三角形只有一個，即有唯一的角與其對應(yīng)，即可確定B的范圍，求得結(jié)果.【詳解】由正弦定理得，則有，.∵滿足條件的三角形只有一個，即有唯一的角與其對應(yīng)，則，故.故選：D5. 圓內(nèi)接四邊形中，，是圓的直徑，則（    ）A. 12 B.  C. 20 D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)及數(shù)量積的定義即求.【詳解】由題知，，∴.故選：B.6. 已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，，且數(shù)列前項和有最大值，那么取得最小正值時為（    ）A. 11 B. 12 C. 7 D. 6【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件，判斷出，的符號，再根據(jù)等差數(shù)列前項和的計算公式，即可求得.【詳解】因為等差數(shù)列的前項和有最大值，故可得，因為，故可得，即，所以，可得，又因為，故可得，所以數(shù)列的前6項和有最大值，且， 又因為，，故取得最小正值時n等于.故選：A.7. 已知過橢圓的左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，是線段的三等分點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（    ）A  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】不妨設(shè)在第一象限，由橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)，是線段的三等分點(diǎn)，易得，代入橢圓方程可得，又，兩式相結(jié)合即可求解【詳解】不妨設(shè)在第一象限，由橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)，是線段的三等分點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，所以，所以，則即，所以，，將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得，即，又，所以，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故選：B8. 定義在的函數(shù)滿足：對，，且，成立，且，則不等式的解集為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，討論單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式.【詳解】由且，，則兩邊同時除以可得，令，則在單調(diào)遞增，由得且，即解得，故選：D.二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分）9. 已知雙曲線（，）的右焦點(diǎn)為，在線段上存在一點(diǎn)，使得到漸近線的距離為，則雙曲線離心率的值可以為（    ）A.  B. 2 C.  D. 【答案】AB【解析】【分析】寫出雙曲線的漸近線方程，利用點(diǎn)到直線距離列出不等式，得到，判斷出AB正確.【詳解】的一條漸近線方程為，設(shè)，，，整理得：，因為，所以，即，解得：，因為，，，，所以AB正確，CD錯誤.故選：AB10. 已知正實數(shù)，滿足，下列說法正確的是（    ）A. 的最大值為2 B. 的最小值為4C. 的最小值為 D. 的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】利用基本不等式和解一元二次不等式可判斷A,B,將代入，化簡，利用基本不等式求解可判斷C，利用基本不等式“1”的妙用可判斷D.【詳解】對于A,因為，即，解得，又因為正實數(shù)，，所以，則有，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，故A錯誤；對于B，，即，解得（舍），當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，故B正確；對于C,由題可得所以，解得，，當(dāng)且僅當(dāng)即時取得等號，故C正確；對于D,，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，故D正確，故選:BCD.11. 己知正方體的邊長為2，E為正方體內(nèi)（包括邊界）上的一點(diǎn)，且滿足，則下列說正確的有（    ）A. 若E為面內(nèi)一點(diǎn)，則E點(diǎn)的軌跡長度為B. 過AB作面使得，若，則E的軌跡為橢圓的一部分C. 若F，G分別為，的中點(diǎn)，面FGBA，則E的軌跡為雙曲線的一部分D. 若F，G分別為，的中點(diǎn)，DE與面FGBA所成角為，則的范圍為【答案】AB【解析】【分析】對于A項，轉(zhuǎn)化為，得到的軌跡再求解；對于BC項，根據(jù)平面截圓錐所得的曲線的四種情況解決；對于D項，建立空間直角坐標(biāo)系解決.【詳解】對于A項，正方體中，平面，若為面內(nèi)一點(diǎn)，所以.又因為，所以，在中，，所以，故點(diǎn)的軌跡是以為圓心為半徑的個圓弧，所以點(diǎn)的軌跡長度為，故A正確；對于B項，因為，即為定值，線段也為定值，取的中點(diǎn)，故點(diǎn)的軌跡是以為軸線，為母線的圓錐的側(cè)面上的點(diǎn)，設(shè)平面即為下圖的圓面，過點(diǎn)作的平行線交圓錐底面于點(diǎn)，交于點(diǎn)，從圖形可得，易得，故的軌跡為橢圓的一部分，所以B正確；對于C項，平面與軸線所成的角即為平面與所成的角，是平面與軸線所成的角，在中，而母線與軸線所成的角為，在中，即母線與軸線所成的角與截面與軸線所成的角，所以點(diǎn)軌跡應(yīng)為拋物線，故C不正確；對于D項，以為原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，連接并延長交上底面于點(diǎn)，設(shè)，則，，則，設(shè)面的法向量為，所以，所以與面所成角的正弦值為又因為，所以，故D錯誤.故選：AB.【點(diǎn)睛】用平面去截圓錐所得的曲線可能為，圓、橢圓、拋物線、雙曲線；截面與圓錐軸線成角等于軸線與母線所成的角，截面曲線為拋物線；截面與圓錐軸線成角大于軸線與母線所成的角，截面曲線為橢圓；截面與圓錐軸線成角小于軸線與母線所成的角，截面曲線為雙曲線；截面與軸線垂直得到截面曲線為圓.12. 已知函數(shù)，，則（    ）A. 函數(shù)為偶函數(shù)B. 函數(shù)為奇函數(shù)C. 函數(shù)為奇函數(shù)D. 為函數(shù)函數(shù)圖像的對稱軸【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的的奇偶性定義可判斷A,B,C，根據(jù)對稱軸的性質(zhì)判斷D.【詳解】對于A，，定義域為，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故A錯誤；對于B, 定義域為，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故B錯誤；對于C, ，定義域為，設(shè)，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故C正確；對于D,設(shè)定義域為，，所以為函數(shù)函數(shù)圖像的對稱軸，故D正確，故選:CD.第二部分非選擇題（共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13. 已知首項為2的數(shù)列對滿足，則數(shù)列的通項公式______.【答案】【解析】【分析】構(gòu)造，得到是等比數(shù)列，求出通項公式，進(jìn)而得到.【詳解】設(shè)，即，故，解得：，故變形為，，故是首項為4的等比數(shù)列，公比為3，則，所以，故答案為：14. 已知直線的方向向量為，點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)到直線的距離為______.【答案】【解析】【分析】求出與直線的方向向量的夾角的余弦，轉(zhuǎn)化為正弦后可得點(diǎn)到直線的距離．【詳解】，，所以，點(diǎn)到的距離為．故答案為：．15. 函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示，直線（）與這部分圖象相交于三個點(diǎn)，橫坐標(biāo)從左到右分別為，，，則______.【答案】【解析】【分析】由圖象求得參數(shù)，由交點(diǎn)及余弦函數(shù)的對稱性結(jié)合即可求值【詳解】由圖可知，，即，則，解得，，故.則，最小正周期為.直線（）與這部分圖象相交于三個點(diǎn)，橫坐標(biāo)從左到右分別為，，，則由圖可知，. ∴.故答案為：16. 已知實數(shù)x、y滿足，則的取值范圍是________．【答案】.【解析】【分析】討論得到其圖象是橢圓，雙曲線的一部分組成圖形，根據(jù)圖象可得的取值范圍，進(jìn)而可得的取值范圍.【詳解】因為實數(shù)滿足，當(dāng)時，方程為的圖象為雙曲線在第一象限的部分；當(dāng)時，方程為的圖象為橢圓在第四象限的部分；當(dāng)時，方程為的圖象不存在；當(dāng)時，方程為的圖象為雙曲線在第三象限的部分；在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象如圖所示，表示點(diǎn)到直線的距離的倍根據(jù)雙曲線的方程可得，兩條雙曲線的漸近線均為，令，即，與雙曲線漸近線平行，觀察圖象可得，當(dāng)過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓相切時，點(diǎn)到直線的距離最大，即當(dāng)直線與橢圓相切時，最大，聯(lián)立方程組，得，，解得，又因為橢圓的圖象只有第四象限的部分，所以，又直線與的距離為，故曲線上的點(diǎn)到直線的距離大于1，所以綜上所述，，所以，即，故答案為：.四、解答題（本題共6小題，共70分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17. 已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）求的值.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）由三角恒等變換化簡，由整體法結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間列不等式求解即可；（2）令，分析得關(guān)于對稱，根據(jù)對稱性化簡求值.【小問1詳解】令，則.故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.【小問2詳解】，令，由得，故關(guān)于對稱，故當(dāng)時，關(guān)于對稱.故.18. 已知等比數(shù)列對任意的滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列的前項和為，定義為，中較小的數(shù)，，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）由遞推公式得，結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)與條件等式兩式相處，即可求得，再令由等式求得，即可根據(jù)公式法得通項公式；（2）化簡對數(shù)式得，分析與的大小，即可根據(jù)定義得的分段函數(shù)，即可分段求和.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為q，則有，兩式相除化簡得，解得，又，可得.∴數(shù)列的通項公式.【小問2詳解】，則.令，即，∵，∴當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即；∴.故當(dāng)，；當(dāng)時，.故.19. 已知平面內(nèi)一動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比它到軸的距離多1.（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）過點(diǎn)作直線與曲線交于（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），求的最小值.【答案】（1）或.    （2）20【解析】【分析】（1）設(shè)，得即可解決；（2）設(shè)直線為，聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理得，由基本不等式解決即可.【小問1詳解】由題知，動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比它到軸的距離多1，設(shè)，所以，當(dāng)時，，化簡得，當(dāng)時，，化簡得，所以點(diǎn)軌跡方程為，或..【小問2詳解】由題得，過點(diǎn)作直線與曲線交于（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），所以由（1）得，設(shè)直線為，將代入中得，所以，即，，即，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，所以所以的最小值為20.20. 已知正項數(shù)列滿足，且，設(shè).（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列并求的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用化簡可得數(shù)列是以為公比為首項的等比數(shù)列，求出可得，再利用累乘法求通項公式可得答案；（2）求出利用裂項相消求和可得答案.【小問1詳解】因為，所以，因為，所以，所以，且，所以數(shù)列是以為公比，為首項的等比數(shù)列，即，即，可得，，所以時，，即，而此時時，，所以；【小問2詳解】由（1），所以，所以，所以.21. 已知四棱錐中，，，，，，面面ABE，.（1）求證：（2）求面ADE與面BCE所成的銳二面角的余弦值【答案】（1）證明見解析    （2）【解析】【分析】（1）過C作交AB于G，連接，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得面ABE，從而可得，再利用向量法結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律證明，從而可得面ABCD，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）過D作交AB于O，以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，分別為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】證明：過C作交AB于G，連接，∵面面ABE，且AB為交線，平面，∴面ABE，又平面，∴，∵，∴，即，即，∴，即，∵平面，∴面ABCD，又平面，∴；【小問2詳解】解：過D作交AB于O，∴，∴面ABE，由（1）得，以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，分別為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，由，，得，，，∴，，，，，∴，，，，設(shè)面ADE，面BCE的法向量分別為，，∴，即，令，則，，即，令，則，∴，∴面ADE與面BCE所成的銳二面角的余弦值為.22. 換元法在數(shù)學(xué)中應(yīng)用較為廣泛，其目的在于把不容易解決的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)情景.例如，已知，，，求的最小值.其求解過程可以是：設(shè)，，其中，則；當(dāng)時取得最小值16，這種換元方法稱為“對稱換元”.已知平面內(nèi)一動點(diǎn)到兩個定點(diǎn)，的距離之和為4.（1）請利用上述方法，求點(diǎn)的軌跡方程；（2）過軌跡與軸負(fù)半軸交點(diǎn)作斜率為的直線交軌跡于另一點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，若，求的值.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓定義解決即可；（2）設(shè)直線為，直線為，，聯(lián)立方程解得，得，得，聯(lián)立，得，由點(diǎn)在橢圓上即可解決.【小問1詳解】由題知，平面內(nèi)一動點(diǎn)到兩個定點(diǎn)，的距離之和為4，滿足橢圓的定義，即點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，所以，所以，所以點(diǎn)的軌跡方程為，【小問2詳解】由（1）得，，，因為與軸負(fù)半軸交點(diǎn)作斜率為的直線交軌跡于另一點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，所以，設(shè)直線為，直線為，，聯(lián)立，消去得，所以，即，所以，所以，所以，所以，聯(lián)立，解得，即因為點(diǎn)在橢圓上，所以，化簡得，解得或（舍去），所以，所以的值為. 

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