2022-2023學(xué)年廣東省廣州市番禺區(qū)實驗中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．設(shè)全集，集合，，則（       ）A． B．或C．或 D．【答案】B【分析】解不等式，再由交集和補集運算求解.【詳解】集合，，或，，或或故選：B．2．設(shè)，則z的虛部為（    ）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運算化簡，再由對應(yīng)關(guān)系找出虛部.【詳解】，則的虛部為.故選：C．3．函數(shù)的圖象大致為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)奇偶性，以及對數(shù)函數(shù)的圖像性質(zhì)，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，由，可知函數(shù)是偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，因此CD錯誤；又由，知恒成立，可知B錯誤.故選：A.4．如圖.空間四邊形OABC中，，點M在OA上，且滿足，點N為BC的中點，則（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由M，N在線段OA，BC上的位置，用，，表示，，進而表示出.【詳解】因為，所以，又因為點N為BC的中點，所以，所以.故選：D.5．已知是雙曲線：（，）的右焦點，過作與軸垂直的直線與雙曲線交于，兩點，過作一條漸近線的垂線，垂足為，若，則（    ）A．1 B． C． D．3【答案】B【分析】設(shè)，分別求出和，即可求出.【詳解】設(shè).過作與軸垂直的直線與雙曲線交于，兩點，則，解得：，所以.由雙曲線可得漸近線為.由對稱性可知，到任一漸近線的距離均相等，不妨求到漸近線的距離，所以.因為，所以，解得：.故選：B6．雅言傳承文明，經(jīng)典浸潤人生．某市舉辦“中華經(jīng)典誦寫講大賽”，大賽分為四類：“誦讀中國”經(jīng)典誦讀大賽、“詩教中國”詩詞講解大賽、“筆墨中國”漢字書寫大賽、“印記中國”學(xué)生篆刻大賽．某人決定從這四類比賽中任選兩類參賽，則“誦讀中國”被選中的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知條件得基本事件總數(shù)為種，符合條件的事件數(shù)為3中，由古典概型公式直接計算即可.【詳解】從四類比賽中選兩類參賽，共有種選擇，其中“誦讀中國”被選中的情況有3種，即“誦讀中國”和 “詩教中國” ，“誦讀中國”和“筆墨中國”， “誦讀中國”和“印記中國” ，由古典概型公式可得，故選：.7．已知、是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且，則雙曲線C的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的定義及條件，表示出，結(jié)合余弦定理可得答案.【詳解】因為，由雙曲線的定義可得，所以，；因為，由余弦定理可得即，整理可得，所以，即.故選：B8．已知正方體棱長為2，P為空間中一點.下列論述正確的是（    ）A．若，則異面直線BP與所成角的余弦值為B．若，三棱錐的體積不是定值C．若，有且僅有一個點P，使得平面D．若，則異面直線BP和所成角取值范圍是【答案】D【分析】A：為中點，連接，若分別是中點，連接，找到異面直線BP與所成角為或其補角，求其余弦值；B：在（含端點）上移動，△面積恒定，到面的距離恒定，即可判斷；C：若分別是中點，在（含端點）上移動，證明面，易知要使面，則必在面內(nèi)，即可判斷；D構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，應(yīng)用向量夾角的坐標(biāo)表示求，進而判斷夾角的范圍.【詳解】A：由，即為中點，連接，若分別是中點，連接，則，又且，即為平行四邊形，所以，所以異面直線BP與所成角，即為或其補角，而，，，故，錯誤；B：由知：在（含端點）上移動，如下圖示，△面積恒定，到面的距離恒定，故的體積是定值，錯誤；C：若分別是中點，由知：在（含端點）上移動，由面，面，則面面，由，面面，面，所以面，面，則，同理可證：，由，、面，故面，而面面，要使面，則必在面內(nèi)，顯然面，故錯誤；D：由知：在（含端點）上移動，如下圖建系，，，則，設(shè)，則，所以，令，當(dāng)，即時，，此時直線和所成角是；當(dāng)，即時，則，當(dāng)，即時，取最大值為，直線和所成角的最小值為，正確.故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)向量的線性關(guān)系判斷的位置，結(jié)合異面直線夾角的定義、錐體體積公式、線面垂直的判定及向量夾角的坐標(biāo)求法，證明或求解線面垂直、體積、異面直線夾角范圍等. 二、多選題9．先后拋擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，第一次和第二次出現(xiàn)的點數(shù)分別記為，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．時的概率為B．時的概率為C．時的概率為D．是6的倍數(shù)的概率是【答案】CD【分析】先求出所有的基本事件的個數(shù)為個，再求出四個選項中每一個事件發(fā)生包含的基本事件的個數(shù)，利用古典概率公式計算概率即可判斷是否正確，進而得出正確答案.【詳解】先后拋擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，共有36種不同的情形.A.時滿足的情形有，，，，，，故，故A錯誤；B.時滿足的情形有，，，，，，，，，故，故B錯；C.時滿足的情形有，，，，故，故C正確；D. 是6的倍數(shù)的情形有,，故是6的倍數(shù)的概率是，故D正確.故選：CD.10．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（    ）A．B．圖象的一條對稱軸方程是C．圖象的對稱中心是，D．函數(shù)是偶函數(shù)【答案】BD【分析】首先根據(jù)題意得到，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)和平移變換依次判斷選項即可得到答案.【詳解】由函數(shù)的圖象知：，所以；即，解得，所以，因為，所以，，即，，因為，所以，.對選項A，因為，故A錯誤.對選項B，，故B正確．對選項C，令，k∈Z，解得，，所以的對稱中心是，，故C錯誤．對選項D，設(shè)，則的定義域為R，，所以為偶函數(shù)，故D正確.故選：BD11．設(shè)數(shù)列的前n項和為，若，，則下列說法正確的是（    ）A． B．為等比數(shù)列C． D．【答案】AB【分析】由已知可推出.當(dāng)時，由以及，作差可得，進而可推得從第2項開始，為等比數(shù)列，可求出的通項公式，即可判斷C、D項；根據(jù)的通項公式，可得到的通項公式，即可判斷A、B項.【詳解】由已知可得，當(dāng)時，；當(dāng)時，有，，作差可得，所以.所以，當(dāng)時，是以為首項，的等比數(shù)列，所以.當(dāng)時，，所以.當(dāng)時，；當(dāng)時，由，可得，顯然，滿足，所以.對于A項，由前面分析知，A項正確；對于B項，因為，，所以，故B項正確；對于C項，由可知，，故C項錯誤；對于D項，當(dāng)時，，故D項錯誤.故選：AB.12．已知的焦點為，斜率為且經(jīng)過點的直線與拋物線C交于點兩點（點在第一象限），與拋物線的準(zhǔn)線交于點，若，則（    ）A． B．F為線段的中點C． D．【答案】ABC【分析】由題意可得直線的方程為，聯(lián)立直線和拋物線方程得到，．求出的值，過點作垂直準(zhǔn)線于點，得到為線段的中點即得解.【詳解】易知，由題意可得直線的方程為．由，消去并整理，得，解得，．由，得，故正確;∴，故錯誤;過點作垂直準(zhǔn)線于點，易知，∴，∴．故正確.∵，∴為線段的中點．故正確;故選：． 三、填空題13．已知角的終邊上有一點，則___________.【答案】##0.8【分析】由正弦函數(shù)定義求得，然后由誘導(dǎo)公式計算．【詳解】角的終邊上有一點，則，所以．故答案為：．14．已知拋物線的一條切線方程為，則的準(zhǔn)線方程為__________．【答案】【分析】由，消去得，由求出，從而求得準(zhǔn)線方程．【詳解】由，消去得，由題意，解得，則拋物線方程為：，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為：，即．故答案為：．15．過點，傾斜角是直線的傾斜角的一半的直線方程為____________．【答案】【分析】先求直線的斜率，即傾斜角的正切值，用2倍角的正切公式求過點的斜率，再利用點斜式求直線方程．【詳解】直線的斜率為，設(shè)過點直線的傾斜角為，則的傾斜角為，所以， 其斜率為，因為 所以則故所求直線方程為,即,故答案為：16．已知圓：，過點作直線交圓于兩點若平面上，則的最小值為___________.【答案】##【分析】取中點為，連接，則，即為直角三角形；取中點為，連接，則，得到點的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，連接，根據(jù)圓的性質(zhì)，求出，再由，即可得出結(jié)果.【詳解】取中點為，連接，則，即為直角三角形；取中點為，連接，則，即點的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，連接，因為，所以，由圓的性質(zhì)可得，，所以.故答案為： 四、解答題17．在中，分別為內(nèi)角的對邊，且（1）求的大?。?/span>（2）若，求的面積.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)正弦定理將，角化為邊得，即，再由余弦定理求解（2）根據(jù)，由正弦定理，求邊b，又，然后代入公式求解.【詳解】（1）因為，由正弦定理得：，即，，又，.（2）因為由正弦定理得，又，所以.【點睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.18．?dāng)?shù)列的前n項和為，又知正項數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)，；(2). 【分析】（1）作差法結(jié)合與關(guān)系式得出可知為等比數(shù)列，再由可求的通項公式.由，根據(jù)等差數(shù)列求出的通項公式，進而得到的通項公式；（2）由（1）知，.，寫出和的表達式，作差整理即可得出.【詳解】（1）解：當(dāng)時，，所以.當(dāng)時，有，，兩式相減，得，所以，所以，所以數(shù)列是首項為1，公比的等比數(shù)列.所以.由，，可得，數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列.所以，所以.（2）解：由（1）知，.所以，，兩式相減可得，，所以.19．如圖，在直三棱柱中，AC⊥BC，E為的中點，．(1)證明：；(2)求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】(1)直接利用線面垂直的判定來證明線線垂直(2)建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點的坐標(biāo)，求出平面與平面的法向量，即可求解兩個平面的夾角余弦值.【詳解】（1）在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，所以，又由題可知，AC⊥BC，，平面且，所以AC⊥平面，又因為平面，所以．（2）在直三棱柱中，平面ABC，AC，平面ABC，所以，，又AC⊥BC所以，，三條直線兩兩互相垂直如圖所示，以為坐標(biāo)原點，，，分別為x，y，z軸建系如圖，由，，可得，則有，，，，設(shè)平面的一個方向量為，，所以，即，令，則，，所以，因為平面，所以為平面的一個法向量，所以，，即平面與平面夾角的余弦值等于．20．已知函數(shù)（）為奇函數(shù)．（1）求實數(shù)的值；（2）若，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）【詳解】試題分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)定義，結(jié)合對數(shù)運算法則恒等變換即可，（2）解決不等式恒成立問題，一般先化簡不等式，進行變量分離，再轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題，本題根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可變量分離化簡得：在上成立，即，最后根據(jù)一次函數(shù)單調(diào)性可得試題解析：（1）∵函數(shù)為奇函數(shù)，∴，即，即，，．（2）由（1）知，因為，恒成立，所以，因為，所以在上成立，所以.即實數(shù)的取值范圍是．點睛：對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題，在可能的情況下把參數(shù)分離出來，使不等式一端是含有參數(shù)的不等式，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，這樣就把問題轉(zhuǎn)化為一端是函數(shù)，另一端是參數(shù)的不等式，便于問題的解決.但要注意分離參數(shù)法不是萬能的，如果分離參數(shù)后，得出的函數(shù)解析式較為復(fù)雜，性質(zhì)很難研究，就不要使用分離參數(shù)法.21．某情報站有A、B、C、D、E．五種互不相同的密碼，每周使用其中的一種密碼，且每周都是從上周沒有使用的四種密碼中等可能地隨機選用一種．設(shè)第一周使用A密碼，表示第k周使用A密碼的概率．(1)求；(2)計算；(3)求證：為等比數(shù)列，并求的表達式．【答案】(1)，，(2)(3)證明見解析,  【分析】(1)根據(jù)題意可得第一周使用A密碼，第二周使用A密碼的概率為0，第三周使用A密碼的概率為，；(2)由(1) 類推分情況求解可得.(3)根據(jù)題意可知第周從剩下的四種密碼中隨機選用一種，恰好選到A密碼的概率為，進而可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義可知為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式即可求出結(jié)果.【詳解】（1），，，（2）（3）第周使用A密碼，則第周必不使用A密碼（概率為），然后第周從剩下的四種密碼中隨機選用一種，恰好選到A密碼的概率為故，即故為等比數(shù)列且，公比故，故22．已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)，過點作與軸不重合的直線交橢圓于，兩點，連接，分別交直線于，兩點，若直線?的斜率分別為?，試問：是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由.【答案】(1)(2)是定值，定值 【分析】（1）根據(jù)離心率和點到直線距離公式即可得解；（2）直線的方程為，代入橢圓方程，根據(jù)三點共線表示出P點坐標(biāo)，同理表示出Q點坐標(biāo)，算出斜率即可求解.【詳解】（1）由題意得，解得，故橢圓的方程為；（2）設(shè)直線的方程為，，，由得，∴，，由A??三點共線可知，∴同理可得：，故，因此為定值. 

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