2022-2023學(xué)年廣東省廣州市番禺區(qū)實驗中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．直線的傾斜角大小為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】將直線方程變?yōu)樾苯厥?，根?jù)斜率與傾斜角關(guān)系可直接求解.【詳解】由直線可得，所以， 設(shè)傾斜角為，則 因為 所以故選：B2．復(fù)數(shù)，則等于（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復(fù)數(shù)模的計算公式求解．【詳解】，．故選：D．3．若圓與圓C關(guān)于直線對稱，則圓C的方程為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由對稱性得出的圓C圓心坐標(biāo)，進(jìn)而寫出方程.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其圓心為，半徑為因為關(guān)于直線對稱的點為，所以圓C的方程為即故選：C4．如圖，在三棱錐中，設(shè)，若，則（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用空間向量的加法、減法和數(shù)乘運算求解.【詳解】解：，，，，故選：A5．若一動點在曲線上移動，則它和定點的連線的中點的軌跡方程是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)動點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，根據(jù)中點坐標(biāo)公式得到，，再由點在圓上，代入圓的方程，整理即可得到動點的軌跡方程；【詳解】解：設(shè)動點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，則，，即，．又動點在曲線上，∴，∴，即為點的軌跡方程．故選：C6．設(shè)a∈R，則“a＝－2”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”得到a＝－2或a＝1，即得解.【詳解】解：若a＝－2，則直線l1：－2x＋2y－1＝0與直線l2：x－y＋4＝0平行；若“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”，∴，解得a＝－2或a＝1，∴“a＝－2”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的充分不必要條件．故選：A7．已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，且平面，，，則球的表面積為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出外接球的半徑，再由球的表面積公式求解【詳解】由平面，得，而，，故，而，在等腰中，由幾何關(guān)系得，則其外接圓半徑，得，故三棱錐的外接球，球的表面積為，故選：D8．若直線與曲線有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】確定直線恒過定點，確定曲線表示以點為圓心，1為半徑，且位于直線右側(cè)的半圓，包括點，．由直線與圓的位置關(guān)系可得結(jié)論（需要求出切線的斜率）【詳解】直線恒過定點，曲線表示以點為圓心，1為半徑，且位于直線右側(cè)的半圓，包括點，．如圖，當(dāng)直線l經(jīng)過點時，l與曲線C有兩個交點，此時，直線記為；當(dāng)l與半圓相切時，由，得，切線記為．由圖可知當(dāng)時，l與曲線C有兩個交點，故選：A． 二、多選題9．盒中裝有大小相同的5個小球（編號為1至5），其中黑球3個，白球2個.每次取一球（取后放回），則（    ）A．每次取到1號球的概率為B．每次取到黑球的概率為C．“第一次取到黑球”和“第二次取到白球”是相互獨立事件D．“每次取到3號球”與“每次取到4號球”是對立事件【答案】AC【分析】通過計算得出每次取到1號球的概率判斷A；通過計算得出每次取到黑球的概率判斷B；根據(jù)獨立事件的定義判斷C；通過計算得出次取到3，4號球的概率及對立事件的定義判斷D.【詳解】解：對于A，每次取到1號球的概率為，故正確；對于B，每次取到黑球的概率為，故錯誤；對于C，“第一次取到黑球”和“第二次取到白球”相互之間沒有影響，所以“第一次取到黑球”和“第二次取到白球”是相互獨立事件，故正確；對于D，每次取到3號球的概率為，每次取到4號球的概率為，它們互斥事件，而不是對立事件，故錯誤.故選：AC.10．已知函數(shù)圖象上兩相鄰最高點的距離為，把的圖象沿軸向左平移個單位得到函數(shù)的圖象，則（    ）A．在上是增函數(shù) B．是的一個對稱中心C．是奇函數(shù) D．在上的值域為【答案】ACD【分析】先根據(jù)的最小正周期求得，再根據(jù)圖象變換求的解析式，進(jìn)而結(jié)合正弦函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)逐個分析判斷.【詳解】由題意可得：的最小正周期，則∴，則對A：∵，則，則在上是增函數(shù)，A正確；對B：∵為最小值，則不是的一個對稱中心，B錯誤；對C：∵，則是奇函數(shù)，C正確；對D：∵，則∴，則在上的值域為，D正確；故選：ACD.11．如圖，在菱形ABCD中，，，沿對角線BD將折起，使點A，C之間的距離為，若P，Q分別為直線BD，CA上的動點，則下列說法正確的是（    ）A．當(dāng)，時，點D到直線PQ的距離為B．線段PQ的最小值為C．平面平面BCDD．當(dāng)P，Q分別為線段BD，CA的中點時，PQ與AD所成角的余弦值為【答案】BCD【分析】易知，從而平面，進(jìn)而有平面平面，即可判斷C；建立坐標(biāo)系，利用向量法可判斷ACD【詳解】取的中點，連接，由題意可知：，因為，所以，又易知，因為，，，所以平面，因為平面，所以平面平面，故C正確；以為原點，分別為軸建立坐標(biāo)系，則，當(dāng)，時，，，，，所以點D到直線PQ的距離為，故A錯誤；設(shè)，，由得，，，當(dāng)時，，故B正確；當(dāng)P，Q分別為線段BD，CA的中點時，，，，，設(shè)PQ與AD所成的角為，則，所以PQ與AD所成角的余弦值為，故D正確；故選：BCD12．以下四個命題表述正確的是(    )A．橢圓上的點到直線的最大距離為B．已知橢圓的左、右焦點分別為，過的直線與C交于A，B兩點，則的周長為16C．曲線與曲線恰有三條公切線，則D．圓上存在4個點到直線的距離都等于1【答案】AC【分析】對：求出與平行，且與橢圓相切的直線，根據(jù)兩平行線之間的距離公式即可求解；對B：根據(jù)橢圓的定義即可求解；對C：將兩個圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得圓心和半徑，根據(jù)兩圓外切即可求解；對D：求得圓心到直線l的距離，與圓的半徑進(jìn)行比較即可判斷．【詳解】對A：設(shè)與直線平行且與橢圓相切的直線為，與橢圓方程聯(lián)立得：，由解得或，當(dāng)時，直線與直線之間的距離；當(dāng)時，直線與直線之間的距離，又，故橢圓上一點到直線距離的最大值為，故A正確；對B：根據(jù)橢圓的定義，△的周長為，故錯誤；對C：，即，圓心，半徑，，即，圓心，半徑，，∵兩個圓有三條公切線，故兩圓外切，∴，解得，故C正確；對D：∵圓心到直線的距離，而圓的半徑為2，故到直線距離為1的兩條平行直線，一條與圓相切，一條與圓相交，因此圓上存在3個點到直線l的距離都等于1，故錯誤；故選：AC． 三、填空題13．若是銳角，且，則=________.【答案】【分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系以及差角的正弦公式求解.【詳解】因為是銳角，所以，又，所以，所以，所以.故答案為：.14．如圖，平面，為垂足，，，與平面所成的角為，，則的長等于_____．【答案】【分析】由，利用數(shù)量積的運算律打開，結(jié)合已知條件能求出的長．【詳解】平面，為垂足，，，與平面所成的角為，，，．故答案為：．15．過點作圓的切線，則切線方程是______________．【答案】或【分析】斜率不存在時直接驗證，斜率存在時，設(shè)出直線，利用圓心到直線的距離等于半徑列方程求解即可.【詳解】由已知圓的圓心為，半徑為1當(dāng)直線斜率不存在時，直線方程為，圓心到的距離為1，符合；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，即圓心到其距離為，解得，即直線方程為綜合得切線方程是或故答案為：或16．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)了它們的光學(xué)性質(zhì)．比如橢圓，他發(fā)現(xiàn)如果把橢圓焦點F一側(cè)做成鏡面，并在F處放置光源，那么經(jīng)過橢圓鏡面反射的光線全部都會經(jīng)過另一個焦點．設(shè)橢圓方程為其左、右焦點，若從右焦點發(fā)出的光線經(jīng)橢圓上的點A和點B反射后，滿足，則該橢圓的離心率為_________．【答案】##【分析】根據(jù)光學(xué)性質(zhì)，在中由橢圓的定義可求出，再由直角三角形求出，計算離心率即可.【詳解】由橢圓的光學(xué)性質(zhì)可知，都經(jīng)過，且在中，，如圖，所以，由橢圓的定義可知，即，又，可得，在中，，所以，所以.故答案為： 四、解答題17．在中，角，，所對的邊分別為，，.已知，，且的面積為.（1）求；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，得，又，可知.（2）結(jié)合（1）及余弦定理得，求出，再利用正弦定理可求得.【詳解】（1），，又，得，又，所以.（2）由余弦定理得，即，解得.由正弦定理可得，故.18．近期中央電視臺播出的《中國詩詞大會》火遍全國，下面是組委會在選拔賽時隨機抽取的100名選手的成績，按成績分組，得到的頻率分布表如下所示．組號分組頻數(shù)頻率第1組 0.100第2組① 第3組20②第4組200.200第5組100.100合計1001.00 (1)請先求出頻率分布表中①、②位置的相應(yīng)數(shù)據(jù)，再完成如下的頻率分布直方圖；(2)組委會決定在5名（其中第3組2名，第4組2名，第5組1名）選手中隨機抽取2名選手接受A考官進(jìn)行面試，求第4組至少有1名選手被考官A面試的概率．【答案】(1)①處應(yīng)填40；②處應(yīng)填0.200；頻率分布直方圖見解析.(2) 【分析】（1）根據(jù)頻率，頻數(shù)關(guān)系可求空缺的數(shù)據(jù)，計算每個分段上的頻率，然后可以完成頻率分布直方圖；（2）列舉出所有面試情況，找出包含第四組的情況，結(jié)合古典概率可求答案.【詳解】（1）解：第1組的頻數(shù)為人，所以①處應(yīng)填的數(shù)為，從而第2組的頻率為，因此②處應(yīng)填的數(shù)為．頻率分布直方圖如圖所示： （2）解：設(shè)第3組的2名選手為，第4組的2名選手為，第5組的1名選手為，則從這5名選手中抽取2名選手的所有情況為，，，，，，，，，，共10種，其中第4組的2名選手中至少有1名選手入選的有：，，，，，，，共有7種，所以第4組至少有1名選手被考官A面試的概率為．19．已知圓C與直線相切，切點為，且圓心在直線上．(1)求圓C的方程；(2)直線與圓C相交于不同的兩點M、N，求的面積【答案】(1)(2) 【分析】（1）由切點與圓心的連線與切線垂直，結(jié)合切點可求得的方程，聯(lián)立直線可求得圓心的坐標(biāo)，由此再求出半徑，從而可求圓C的方程；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，先由由弦長公式求得，再點線距離公式求得，從而利用即可求得的面積.【詳解】（1）依題意得，直線與直線垂直，而由得，可知直線的斜率為，故由可得，所以由點斜式可得直線為，即，聯(lián)立，解得，故圓心，所以半徑，故圓C的方程為.（2）由（1）知，圓心到直線的距離為，所以，又因為原點到直線的距離為，所以.20．如圖，在三棱錐中，，M為PB的中點，D為AB的中點，且為正三角形(1)求證：平面PAC(2)若，三棱錐的體積為1，求點B到平面DCM的距離．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）先由，證得平面ABC，得到，結(jié)合，即可證得結(jié)論；（2）先由三棱錐的體積求出，進(jìn)而求出其他邊長，再由結(jié)合棱錐體積公式即可求解.【詳解】（1）證明：在正中，D是AB的中點，所以，因為M是PB的中點，D是AB的中點，所以，故，又，，平面ABC，所以平面ABC．因為平面ABC，所以，又，，平面PAC，所以平面PAC；（2）設(shè)，易得，則，由（1）知，，則，三棱錐的體積為，得，設(shè)點B到平面DCM的距離為h．因為為正三角形，所以．因為，所以AC＝1．所以．因為，由（1）知，所以．在中，，所以．因為，所以，即．所以．故點B到平面DCM的距離為．21．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，為垂足.(1)當(dāng)點在線段上移動時，判斷是否為直角三角形，并說明理由；(2)若，且與平面所成角為，求二面角的大小.【答案】(1)是直角三角形，理由見解析(2) 【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證明平面，即可得結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，先根據(jù)與平面所成角為，可求得BC的長，再根據(jù)空間向量的夾角公式即可求得答案.【詳解】（1）是直角三角形.平面，，又底面是矩形，，且，平面，又平面，，又，且，平面，又平面，，即，當(dāng)點在線段上移動時，是直角三角形.（2）因為,則為的中點,因為，所以點是的中點.平面，且平面是矩形，所以建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以；則，設(shè)平面的法向量為，則由，即  ，令，則，所以；依題意得與平面所成角為，所以，即，解得，所以，則，設(shè)平面的法向量為，由 即 ，令，則，所以，由（1）知平面，即是平面的一個法向量，則，由圖可判斷二面角為銳角，所以二面角的大小為.22．已知橢圓的右頂點坐標(biāo)為，左、右焦點分別為，且，(1)求橢圓的方程；(2)若直線L與橢圓相切，求證：點到直線L的距離之積為定值．【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）根據(jù)，即可求得橢圓方程；（2）分類討論，當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋b與橢圓方程聯(lián)立，由Δ＝0，可得，結(jié)合點到直線的距離公式，即可求得點到直線l的距離之積為定值．【詳解】（1）因為，則c＝1，因為，所以橢圓的方程；（2）證明：橢圓的左、右焦點分別為，①當(dāng)直線l垂直于x軸時，因為直線l與橢圓相切，所以直線l的方程為，此時點到直線l的距離一個為，另一個為，所以，②當(dāng)直線l不垂直于x軸時，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋b,聯(lián)立，消去y,整理得，所以，，因為直線l與橢圓相切，Δ＝0，所以，，因為到直線l的距離為，到直線l的距離為，所以，，所以點到直線l的距離之積為定值，且定值為3． 

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