2022-2023學年廣東省廣州空港實驗中學高二上學期期末數(shù)學試題 一、單選題1．經(jīng)過點，傾斜角為的直線方程是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直線傾斜角和斜率關系可求得斜率，再利用直線的點斜式方程即可求得結果.【詳解】由傾斜角為可得，直線斜率為由直線的點斜式方程得直線方程為；即.故選：C.2．等比數(shù)列中，，，則等于（    ）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】利用等比中項直接計算即可.【詳解】因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以即，解得，故選：C3．三棱柱中，為棱的中點，若，則（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用空間向量的線性運算法則與空間向量基本定理，求解即可．【詳解】．故選：D．4．若直線與直線垂直，則（    ）A． B．6 C． D．【答案】B【分析】由兩條直線垂直的條件即可得解.【詳解】因為直線與直線垂直，所以，得，所以.故選：B.5．已知F為拋物線的焦點，P為拋物線上任意一點，O為坐標原點，若，則（    ）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)拋物線定義結合，求得點P的坐標，即可求得答案.【詳解】由題意F為拋物線的焦點，則,且準線方程為，設,由可得,代入得，即,故,故選：C6．已知，，，則在上的投影向量為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接根據(jù)空間向量的投影計算公式求出在上的投影，進行計算在上的投影向量.【詳解】因為，，所以.因為，所以故在上的投影向量為故選：B7．已知直線經(jīng)過點，且是的方向向量，則點到的距離為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由空間向量夾角的坐標表示求，再根據(jù)點到直線距離為即可求結果.【詳解】由題設，則，所以，而，故到l的距離為.故選：C8．設雙曲線的左、右焦點分別為，，離心率為，是雙曲線上一點，且．若的面積為，則的周長為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角形面積公式可求，結合余弦定理得，由離心率可求出，同理結合代入余弦定理可求，進而得解.【詳解】由題可知，，求得，對由余弦定理可得，即，即，因為，解得，又，即，解得，，所以的周長為.故選：A 二、多選題9．數(shù)列的前項和為，已知，則下列說法正確的是（    ）A．是遞增數(shù)列 B．C．當時， D．當或4時，取得最大值【答案】CD【分析】根據(jù)表達式及時，的關系，算出數(shù)列通項公式，即可判斷A、B、C選項的正誤. 的最值可視為定義域為正整數(shù)的二次函數(shù)來求得.【詳解】當時，，又，所以，則是遞減數(shù)列，故A錯誤；，故B錯誤；當時，，故C正確；因為的對稱軸為，開口向下，而是正整數(shù)，且或距離對稱軸一樣遠，所以當或時，取得最大值，故D正確.故選：CD.10．已知直線：和圓：，則（    ）A．直線恒過定點 B．存在使得直線與直線：垂直C．直線與圓相離 D．若，直線被圓截得的弦長為【答案】BD【分析】A選項，化為點斜式可以看出直線恒過的點，B選項兩直線斜率存在且垂直，斜率乘積為，從而存在滿足題意，C選項直線過的定點在圓的內(nèi)部，故可以判斷C選項；當時，先求圓心到直線的距離，再根據(jù)垂徑定理求弦長【詳解】直線，即，則直線恒過定點，故A錯誤；當 時，直線與直線垂直，故B正確；∵定點在圓O：x2+y2=9內(nèi)部，∴直線l與圓O相交，故C不正確：當時，直線l化為，即x+y+2=0，圓心O到直線的距離，直線l被圓O截得的弦長為，故D正確，故選：BD.11．設，，是空間一個基底，下列選項中正確的是（    ）A．若，，則；B．則，，兩兩共面，但，，不可能共面；C．對空間任一向量，總存在有序?qū)崝?shù)組，使；D．則，，一定能構成空間的一個基底【答案】BC【分析】所成角不一定為，A錯誤，，，共面不能構成空間的一個基底，B正確，根據(jù)空間向量基本定理得到C正確，，，向量共面，D錯誤【詳解】，，則所成角不一定為，A錯誤；若，，共面，則不能構成空間的一個基底，B正確；根據(jù)空間向量基本定理得到總存在有序?qū)崝?shù)組，使，C正確；，故，，向量共面，不能構成空間的基底向量，D錯誤.故選：BC12．如圖，P是橢圓與雙曲線在第一象限的交點，且共焦點的離心率分別為，則下列結論不正確的是（    ） A． B．若，則C．若，則的最小值為2 D．【答案】ACD【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓、雙曲線定義計算判斷A；由余弦定理計算判斷B，C；由余弦定理、二倍角的余弦計算判斷D作答.【詳解】依題意，，解得，A不正確；令，由余弦定理得： ，當時，，即，因此，B正確；當時，，即，有，而，則有，解得，C不正確；，，于是得，解得，而，因此，D不正確.故選：ACD 三、填空題13．已知數(shù)列滿足，，則___________．【答案】【分析】首先根據(jù)數(shù)列的遞推公式，確定數(shù)列的前幾項，由此確定數(shù)列的周期，再求.【詳解】因為，所以，，，所以數(shù)列是周期為3的數(shù)列，.故答案為：14．已知點是點關于坐標平面內(nèi)的對稱點，則__________.【答案】【分析】按照點關于平面對稱的規(guī)律求出的坐標，再利用空間兩點的距離公式進行求解即可.【詳解】因為點是點關于坐標平面內(nèi)的對稱點，所以，所以.故答案為：.15．如圖，在正四棱柱中，，分別是，的中點，則下列結論不成立的是______ ．①與垂直；②與垂直；③與異面；④與異面．【答案】④【分析】連，，根據(jù)三角形中位線可得，再結合正四棱柱的結構特征逐一判斷各個命題作答.【詳解】在正四棱柱中，連，，如圖，因為矩形對角線的中點，則是的中點，而是的中點，因此，因平面，平面，則，即有，①正確；正方形中，，又，則，②正確；假若在一個平面上，不妨設為平面， 由于，平面,平面，所以平面，又因為平面,平面平面，因此,這顯然不符合，故不在一個平面上，則與是異面直線，③正確；因正四棱柱的對角面是矩形，即，因此，④不正確，所以不成立的結論是④.故答案為：④16．如圖，已知斜率為的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點，點A關于坐標原點O對稱的點為C，且，則該雙曲線的離心率為______.【答案】##【分析】取AB的中點M，連接OM，求得直線OM的斜率，再利用點差法求得，進而求得該雙曲線的離心率【詳解】如圖，設直線AB與x軸交于點D，取AB的中點M，連接AC，OM， 由雙曲線的對稱性可知O為線段AC的中點，則，所以.由直線AB的斜率，得，則直線OM的斜率.設，，則 兩式相減，得，化簡得，即，所以該雙曲線的離心率.故答案為： 四、解答題17．在平面直角坐標系中，曲線上的動點到點的距離是到點的距離的倍．(1)求曲線的軌跡方程；(2)若，求過點且與曲線相切的直線的方程．【答案】(1)(2)或. 【分析】（1）設，根據(jù)已知條件列方程，化簡求得曲線的軌跡方程；（2）設出直線的方程，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑列方程，求得直線的斜率，進而求得直線的方程.【詳解】（1）設，由題意得，兩邊平方并整理得，故曲線的軌跡方程為；（2）曲線：是以為圓心，半徑為的圓.顯然直線的斜率存在，設直線的方程為，即，所以，解得，所以直線的方程為或，即或.18．在①，；②，；③，這三個條件中任選一個補充在下面的橫線上并解答.已知等差數(shù)列滿足________.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分【答案】(1)，(2)， 【分析】（1）設等差數(shù)列公差為d，根據(jù)所選條件，利用等差數(shù)列通項公式和前n項和公式，列方程求解，可得數(shù)列的通項公式；（2）利用錯位相減法求數(shù)列前n項和【詳解】（1）若選條件①，設公差為d，則由題知，所以，解得，所以，若選條件②，設公差為d，由題知，所以，所以，若選條件③，設公差為d，由題知，所以，所以，（2）由題知，所以，兩式相減得，所以，19．如圖，正三棱柱中，D是的中點，．(1)證明：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明過程見解析；(2). 【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理，結合線面平行的判定定理進行證明即可；（2）根據(jù)正三棱柱的性質(zhì)建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可.【詳解】（1）連接交于，連接，因為正三棱柱的側面是平行四邊形，所以是的中點，而D是的中點，所以，而平面，平面．所以平面；（2）因為D是的中點，三角形是正三角形，所以，設F是的中點，顯然平面，建立如圖所示的空間直角坐標系，，設平面與平面的法向量分別為，，，，則有，，平面與平面夾角的余弦值為.20．我國某沙漠，曾被稱為“死亡之海”，截至2018年年底該地區(qū)面積的仍為沙漠，只有為綠洲.計劃從2019年開始使用無人機飛播造林，實現(xiàn)快速播種，這樣每年原來沙漠面積的將被改為綠洲，但同時原有綠洲面積的還會被沙漠化.記該地區(qū)的面積為1個單位，經(jīng)過一年綠洲面積為，經(jīng)過年綠洲面積為.(1)寫出，并證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)截止到哪一年年底，才能使該地區(qū)綠洲面積超過?【答案】(1)，證明見解析；(2)2022年 【分析】（1）根據(jù)題意求出，并列出，構造法求出，從而得到為公比為，首項為的等比數(shù)列；（2）在第一問的基礎上得到，列出不等式，求出，結合，且，，從而，得到答案.【詳解】（1），，設，則，從而，解得：，故，故為公比為，首項為的等比數(shù)列；（2）由（1）得：故，令，解得：，顯然單調(diào)遞減，當時，，，故，即截止到2022年年底，才能使該地區(qū)綠洲面積超過.21．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，平面平面，，．且(1)證明：；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求點C到平面的距離．【答案】(1)證明過程見解析；(2). 【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，結合線面垂直的性質(zhì)進行證明即可；（2）建立空間直角坐標系，利用空間夾角公式和點到面距離公式進行求解即可.【詳解】（1）因為平面平面，交線為，且平面中，，所以平面，又平面，所以,因為，平面，所以平面，而平面，所以；（2）由（1）知，平面且，所以、、兩兩垂直因此以原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為，，，設所以，，，，，因為平面平面，交線為，且平面中，，所以平面，所以為平面的法向量且，，因為直線與平面所成角的正弦值為所以，解得：所以，又，， 平面的法向量分別為：， 所以， 令，則，，設點C到平面的距離為，所以.22．已知橢圓的短軸的兩個端點分別為，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)設點，點為橢圓上異于的任意一點，過原點且與直線平行的直線與直線交于點，直線與直線交于點，求證：為定值.【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）依題意可得、，再根據(jù)、、的關系，求出，即可得解；（2）設直線的方程為：，，即可求出點坐標，再聯(lián)立直線與橢圓方程，求出的坐標，同理求出的坐標，再求出，的坐標，最后根據(jù)數(shù)量積的坐標運算得到，即可得證；【詳解】（1）解：由題意可得，，，解得，所以橢圓的方程為：；（2）解：設直線的方程為：，則過原點的直線且與直線平行的直線為，因為是直線與的交點，所以，因為直線的方程與橢圓方程聯(lián)立：，整理可得：，可得，，即，因為，直線的方程為：，聯(lián)立，解得：，由題意可得，所以，，所以，即，所以，即為定值； 

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