2022-2023學(xué)年廣東省廣州市第十三中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．與向量平行，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線方程為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用點(diǎn)斜式求得直線方程.【詳解】依題意可知，所求直線的斜率為，所以所求直線方程為，即.故選：A2．已知等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)在橢圓E上，另兩個(gè)頂點(diǎn)位于E的兩個(gè)焦點(diǎn)處，則E的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件求得的關(guān)系式，從而求得橢圓的離心率.【詳解】依題意可知，所以.故選：B3．如圖，在平行六面體中，（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由空間向量的加法的平行四邊形法則和三角形法則，可得所求向量．【詳解】連接，可得，又，所以．故選：B.4．已知，，，則（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】比較大小，可先與常見(jiàn)的常數(shù)進(jìn)行比較，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較大小【詳解】則有：故有：故選：D5．如圖，在三棱柱中，E，F分別是BC，的中點(diǎn)，，則（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的幾何意義進(jìn)行求解即可.【詳解】，故選：D．6．過(guò)點(diǎn)引直線，使，兩點(diǎn)到直線的距離相等，則這條直線的方程是（    ）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】就直線與平行或過(guò)的中點(diǎn)可求直線的方程.【詳解】若過(guò)的直線與平行，因?yàn)?/span>，故直線的方程為：即.若過(guò)的直線過(guò)的中點(diǎn)，因?yàn)?/span>的中點(diǎn)為，此時(shí)，故直線的方程為：即.故選：D.7．已知雙曲線的一條漸近線方程為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為A． B．C． D．【答案】B【分析】對(duì)選項(xiàng)逐一分析排除，由此得出正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，雙曲線的漸近線為，不符合題意.對(duì)于B選項(xiàng)，雙曲線的漸近線為，且過(guò)點(diǎn)，符合題意.對(duì)于C選項(xiàng)，雙曲線的漸近線為，但不過(guò)點(diǎn)，不符合題意.對(duì)于D選項(xiàng)，雙曲線的漸近線為，不符合題意.綜上所述，本小題選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線方程，考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，屬于基礎(chǔ)題.8．P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，，分別為左、右焦點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)Q，使得，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】由橢圓的，，所以，可得動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，即可求得動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程.【詳解】由可得：，因?yàn)?/span>，，所以，所以動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求軌跡方程的常用方法（1）直接法：如果動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件本身就是一些幾何量，如（距離和角）的等量關(guān)系，或幾何條件簡(jiǎn)單明了易于表達(dá)，只需要把這種關(guān)系轉(zhuǎn)化為的等式，就能得到曲線的軌跡方程；（2）定義法：某動(dòng)點(diǎn)的軌跡符合某一基本軌跡如直線、圓錐曲線的定義，則可根據(jù)定義設(shè)方程，求方程系數(shù)得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（3）幾何法：若所求軌跡滿足某些幾何性質(zhì)，如線段的垂直平分線，角平分線的性質(zhì)，則可以用幾何法，列出幾何式，再代入點(diǎn)的坐標(biāo)即可；（4）相關(guān)點(diǎn)法（代入法）：若動(dòng)點(diǎn)滿足的條件不變用等式表示，但動(dòng)點(diǎn)是隨著另一動(dòng)點(diǎn)（稱(chēng)之為相關(guān)點(diǎn)）的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，且相關(guān)點(diǎn)滿足的條件是明顯的或是可分析的，這時(shí)我們可以用動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的方程，求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（5）交軌法：在求動(dòng)點(diǎn)軌跡時(shí)，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)求兩個(gè)動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題常常通過(guò)解方程組得出交點(diǎn)（含參數(shù)）的坐標(biāo)，再消去參數(shù)參數(shù)求出所求軌跡的方程. 二、多選題9．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則（    ）A．函數(shù)為偶函數(shù)B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．若，則的最小值為D．將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，得到函數(shù)的圖象【答案】BC【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，由求得函數(shù)的解析式，再逐項(xiàng)判斷.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以，即，又因?yàn)?/span>，則，所以，A.函數(shù)為奇函數(shù)，故錯(cuò)誤；B. 因?yàn)?/span>，則，又 在上遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故正確；C. 因?yàn)?/span>，則 分別為函數(shù)的最大值和最小值，則的最小值為，故正確；D.將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，得到函數(shù)的圖象，故錯(cuò)誤；故選：BC10．下列說(shuō)法正確的是（    ）A．設(shè)是兩個(gè)空間向量，則一定共面B．設(shè)是三個(gè)空間向量，則一定不共面C．設(shè)是兩個(gè)空間向量，則D．設(shè)是三個(gè)空間向量，則【答案】AC【分析】直接利用空間向量的定義、數(shù)量積的定義，空間向量的應(yīng)用逐一判斷A、B、C、D的結(jié)論即可．【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?/span>是兩個(gè)空間向量，則一定共面，故A正確； 對(duì)于B：因?yàn)?/span>是三個(gè)空間向量，則可能共面也可能不共面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?/span>是兩個(gè)空間向量，則，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?/span>是三個(gè)空間向量，則與向量共線，與向量共線，則D錯(cuò)誤．故選：AC．11．已知雙曲線C：，則（    ）A．雙曲線C與圓有3個(gè)公共點(diǎn)B．雙曲線C的離心率與橢圓的離心率的乘積為1C．雙曲線C與雙曲線有相同的漸近線D．雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同【答案】BCD【分析】由圓錐曲線的幾何性質(zhì)直接可得.【詳解】解：作圖可知A不正確；由已知得雙曲線C中，，，，所以雙曲線C的焦點(diǎn)為，頂點(diǎn)為，漸近線方程為，離心率為，易知選項(xiàng)BCD正確． 故選：BCD12．已知圓，直線，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線、，切點(diǎn)為、，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．四邊形面積的最小值為B．四邊形面積的最大值為C．當(dāng)最大時(shí)，D．當(dāng)最大時(shí)，直線的方程為【答案】AD【分析】分析可知當(dāng)時(shí)，四邊形面積最小，且最大，利用三角形的面積公式可判斷AB選項(xiàng)，分析出四邊形為正方形，利用正方形的幾何性質(zhì)可判斷CD選項(xiàng).【詳解】如下圖所示：由圓的幾何性質(zhì)可得，，由切線長(zhǎng)定理可得，又因?yàn)?/span>，，所以，，所以，，因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，取最小值，且，所以，四邊形的面積的最小值為，A對(duì)；因?yàn)?/span>無(wú)最大值，即無(wú)最大值，故四邊形面積無(wú)最大值，B錯(cuò)；因?yàn)?/span>為銳角，，且，故當(dāng)最小時(shí)，最大，此時(shí)最大，此時(shí)，C錯(cuò)；由上可知，當(dāng)最大時(shí)，且，故四邊形為正方形，且有，則的方程為，聯(lián)立，可得，即點(diǎn)，由正方形的幾何性質(zhì)可知，直線過(guò)線段的中點(diǎn)，此時(shí)直線的方程為，D對(duì).故選：AD. 三、填空題13．命題“，”的否定為__________．【答案】【詳解】根據(jù)全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題可知，原命題的否定為“”14．設(shè)向量，，，則實(shí)數(shù)________.【答案】【解析】利用向量數(shù)量積坐標(biāo)計(jì)算公式直接求解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何意義．具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)已知條件的特征來(lái)選擇，同時(shí)要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用．15．若一個(gè)圓錐的側(cè)面是半徑為6的半圓圍成，則這個(gè)圓錐的表面積為________.【答案】【分析】求出底面半徑，代入公式即可.【詳解】因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為的半圓，所以圓錐的母線長(zhǎng)為，設(shè)圓錐的底面半徑為，則，所以，所以圓錐的表面積為.故答案為：.16．一個(gè)動(dòng)圓與圓外切，與圓內(nèi)切，則這個(gè)動(dòng)圓圓心的軌跡方程為：______.【答案】【分析】設(shè)動(dòng)圓的圓心為，半徑為R，根據(jù)動(dòng)圓與圓外切，與圓內(nèi)切，得到，兩式相加得到，再根據(jù)橢圓的定義求解.【詳解】設(shè)動(dòng)圓的圓心為，半徑為R，因?yàn)閯?dòng)圓與圓外切，與圓內(nèi)切，所以，所以，所以動(dòng)圓圓心的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，所以，所以動(dòng)圓圓心的軌跡方程為，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系以及橢圓的定義，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題. 四、解答題17．已知圓D經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），C（1，2）.(1)求圓D的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l：與圓D交于M、N兩點(diǎn)，求線段MN的長(zhǎng)度.【答案】(1)(2) 【分析】（1）設(shè)圓D的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用待定系數(shù)法即可得出答案；（2）利用圓的弦長(zhǎng)公式即可得出答案.【詳解】（1）解：設(shè)圓D的標(biāo)準(zhǔn)方程，由題意可得，解得，所以圓D的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）解：由（1）可知圓心，半徑，所以圓心D（1，0）到直線l：的距離，所以.18．已知拋物線上的點(diǎn)M（5，m）到焦點(diǎn)F的距離為6.(1)求拋物線C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，求直線l方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由拋物線定義有求參數(shù)，即可寫(xiě)出拋物線方程.（2）由題意設(shè)，聯(lián)立拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)求參數(shù)k，即可得直線l方程．【詳解】（1）由題設(shè)，拋物線準(zhǔn)線方程為，∴拋物線定義知：可得，故（2）由題設(shè)，直線l的斜率存在且不為0，設(shè)聯(lián)立方程，得，整理得，則.又P是線段AB的中點(diǎn)，∴，即故l19．如圖，平面平面，，，，.（1）求證：平面；（2）求證：.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】(1)過(guò)點(diǎn)分別作、的平行線，交點(diǎn)為、，利用平行關(guān)系和線段長(zhǎng)度關(guān)系證明四邊形為平行四邊形，從而有，再利用線面平行的判定定理證明平面；(2)利用面面垂直的性質(zhì)得到平面，從而，又由，得.【詳解】(1) 證明：過(guò)點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，連接.過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，連接.則四邊形為平行四邊形，有平行且等于.因?yàn)?/span>，所以.因?yàn)?/span>，所以，故，所以，又，所以四邊形為平行四邊形，有平行且等于，所以平行且等于，四邊形為平行四邊形，有.又平面，平面，所以平面.(2)證明：因?yàn)?/span>，，所以.因?yàn)槠矫?/span>與平面垂直，且交線為，又平面，所以平面，又平面，所以.又由(1)知，所以.20．已知橢圓與橢圓具有共同的焦點(diǎn)，，點(diǎn)P在橢圓上，，______．在下面三個(gè)條件中選擇一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線上，并作答．①橢圓過(guò)點(diǎn)；②橢圓的短軸長(zhǎng)為10；③橢圓的離心率為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求的面積．【答案】(1)(2) 【分析】（1）設(shè)橢圓C的方程為（），，由題意可得.選①：可得即可求解橢圓方程；選②：可得即可求解橢圓方程；選③：可得即可求解橢圓方程；（2）根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合勾股定理可得，再求解面積即可.【詳解】（1）設(shè)橢圓C的方程為（），，則橢圓與橢圓具有共同的焦點(diǎn)，則．選①，由已知可得，則，所以橢圓的方程為．選②，由已知可得，則，所以橢圓的方程為．選②，由已知可得，則，所以，橢圓的方程為．（2）由橢圓的定義知，①又因?yàn)?/span>，所以，②由①②可得，解得，因此．21．如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面ABCD，側(cè)棱，底面ABCD為直角梯形，其中，，，．(1)求證：平面ACF；(2)在線段PB上是否存在一點(diǎn)H，使得CH與平面ACF所成角的正弦值為？若存在，求出線段PH的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，的長(zhǎng)為或，理由見(jiàn)解析. 【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證得平面.（2）設(shè)，求出，根據(jù)與平面所成角的正弦值列方程，由此求得，進(jìn)而求得的長(zhǎng).【詳解】（1）依題意，在四棱錐中，側(cè)面底面ABCD，側(cè)棱，底面ABCD為直角梯形，其中，，，，以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，由于，所以平面.（2）存在，理由如下：設(shè)，，，，依題意與平面所成角的正弦值為，即，，解得或.，即的長(zhǎng)為或，使與平面所成角的正弦值為.22．已知點(diǎn)，圓，點(diǎn)Q在圓上運(yùn)動(dòng)，的垂直平分線交于點(diǎn)P.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線l交曲線C于A、B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)T，使以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)；(2)存在，T(0，1)﹒ 【分析】(1)根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合即可求P的軌跡方程；(2)假設(shè)存在T(0，t)，設(shè)AB方程為，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，代入＝0即可求出定點(diǎn)T.【詳解】（1）由題可知，，則，由橢圓定義知P的軌跡是以F1、為焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，∴，∴，∴P的軌跡方程為C：；（2）假設(shè)存在T(0，t)滿足題意，易得AB的斜率一定存在，否則不會(huì)存在T滿足題意，設(shè)直線AB的方程為，聯(lián)立，化為，易知恒成立，∴(*)由題可知，將(*)代入可得：即∴，解，∴在y軸上存在定點(diǎn)T(0，1)，使以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)T. 

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