2022-2023學年廣東省廣州市第八十九中學高二上學期期末數(shù)學試題 一、單選題1．直線在y軸上的截距是A． B． C． D．【答案】D【解析】在y軸上的截距只需令x=0求出y的值即可得出.【詳解】令x=0，則y=-2，即直線在y周上的截距為-2，故選D.2．求點關于x軸的對稱點的坐標為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)點關于坐標軸的對稱點特征，直接寫出即可.【詳解】A點關于x軸對稱點，橫坐標不變，縱坐標與豎坐標為原坐標的相反數(shù)，故點的坐標為，故選：D3．已知點，Q是圓上的動點，則線段長的最小值為（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根據(jù)圓的幾何性質(zhì)轉化為圓心與點的距離加上半徑即可得解.【詳解】圓的圓心為，半徑為，所以，圓上點在線段上時，，故選：A4．已知橢圓方程為：，則其離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的標準方程，確定，計算離心率即可.【詳解】由知，，，，即，故選：B5．《萊因德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學著作之一，書中有一道這樣的類似問題：把150個完全相同的面包分給5個人，使每個人所得面包數(shù)成等差數(shù)列，且使較大的三份面包數(shù)之和的是較小的兩份之和，則最大的那份面包數(shù)為（    ）A．30 B．40 C．50 D．60【答案】C【分析】根據(jù)題意得到遞增等差數(shù)列中，，，從而化成基本量，進行計算，再計算出，得到答案.【詳解】根據(jù)題意，設遞增等差數(shù)列，首項為，公差，則所以解得所以最大項.故選：C6．已知拋物線的焦點為F，直線l經(jīng)過點F交拋物線C于A，B兩點，交拋物淺C的準線于點P，若，則為（    ）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】由題意可知設,由可得，可求得,，根據(jù)模長公式計算即可得出結果.【詳解】由題意可知，準線方程為，設,可知，，解得：，代入到拋物線方程可得：.,故選:C7．已知圓，直線，直線l被圓O截得的弦長最短為（    ）A． B． C．8 D．9【答案】B【分析】先求得直線過定點，再根據(jù)當點與圓心連線垂直于直線l時，被圓O截得的弦長最短求解.【詳解】因為直線方程，即為，所以直線過定點，因為點在圓的內(nèi)部，當點與圓心連線垂直于直線l時，被圓O截得的弦長最短，點與圓心（0，0）的距離為，此時，最短弦長為，故選：B8．數(shù)列1，6，15，28，45，…中的每一項都可用如圖所示的六邊形表示出米，故稱它們?yōu)榱呅螖?shù)，那么第11個六邊形數(shù)為（    ）A．153 B．190 C．231 D．276【答案】C【分析】細心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關系，同時聯(lián)系相關知識,如等差數(shù)列、等比數(shù)列等，結合圖形即可求解.【詳解】由題意知，數(shù)列的各項為1，6，15，28，45，...所以，，，，，，所以.故選：C 二、多選題9．過點的直線l與直線平行，則下列說法正確的是（    ）A．直線l的傾斜角為B．直線l的方程為：C．直線l與直線間的距離為D．過點P且與直線l垂直的直線為：【答案】BCD【分析】由直線的斜率可求得傾斜角即可判斷選項A，由直線平行和垂直的斜率關系設出所求方程點代入求得直線方程即可判斷B、D，由平行直線間的距離公式計算即可判斷C選項.【詳解】過點的直線l與直線平行，設直線l方程為，代入可得，解得：,所以直線l的方程為：，B正確，直線l的斜率，直線l的傾斜角為，則A錯誤，l與直線的距離為，C正確，過點P且與直線l垂直的直線可設為：，代入可得，解得：,則過點P且與直線l垂直的直線為：，D正確.故選：BCD.10．已知曲線與曲線，則下列說法正確的是（    ）A．曲線的焦點到其漸近線的距離是3B．當時，兩曲線的焦距相等C．當時，曲線為橢圓D．當時，曲線為雙曲線【答案】AC【分析】求出曲線的焦點坐標和漸近線方程，進而求出距離即可判斷A；求出兩條曲線的焦距即可判斷B；根據(jù)題意求出的范圍即可判斷C,D.【詳解】對A，曲線的左右焦點為，漸近線方程是，則焦點到漸近線的距離，A正確；對B，由A，曲線的焦距為10，若，則曲線是焦點在x軸上的雙曲線，焦距為，B錯誤；對C，若，則，即曲線為焦點在x軸上的橢圓，C正確；對D，若，則，不表示任何圖形，D錯誤.故選：AC.11．如圖，點是正方體中的側面上的一個動點，則（    ）A．點存在無數(shù)個位置滿足B．若正方體的棱長為，三棱錐的體積最大值為C．在線段上存在點，使異面直線與所成的角是D．點存在無數(shù)個位置滿足到直線和直線的距離相等【答案】ABD【分析】根據(jù)線面垂直的判定可證得平面，則當在線段上時，恒成立，知A正確；由線面垂直的性質(zhì)和判定可證得平面，利用三角形相似可知到平面的距離為，根據(jù)可知當與重合時，體積取得最大值，結合棱錐體積公式知B正確；以為坐標原點建立空間直角坐標系，設，利用異面直線所成角的向量求法和二次函數(shù)最值可確定異面直線與所成的角大于，知C錯誤；根據(jù)點到直線的距離即為其到點的距離，可知點軌跡為拋物線的一部分，知D正確.【詳解】對于A，連接，四邊形為正方形，；平面，平面，；又，平面，平面，則當平面，即在線段上時，恒成立，點存在無數(shù)個位置，使得，A正確；對于B，連接，交于點，連接，交于點，，，，平面，平面，又平面，；同理可得：；又，平面，平面，即平面；∽，，，；是邊長為的等邊三角形，；設點到平面的距離為，則；當與重合時，取得最大值，，B正確；對于C，以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，，當在線段上時，可設，，則，，；則當時，，異面直線與所成的角大于，C錯誤；對于D，平面，點到直線的距離即為其到點的距離，若點到直線和直線的距離相等，則點軌跡是以為焦點，為準線的拋物線在側面上的部分，點存在無數(shù)個位置滿足到直線和直線的距離相等，D正確.故選：ABD.12．意大利著名數(shù)學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，…，其中從第三項起，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和，后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，記為數(shù)列的前n項和，則下列結論正確的是（    ）．A． B．C． D．【答案】ABD【分析】對AB，直接求出對應項及求和；對CD，由得，∴即可化簡；即可化簡.【詳解】對A，，A對；對B，，，B對；對C，由得，∴，C錯；對D，，D對.故選：ABD 三、填空題13．已知圓關于直線對稱，則________．【答案】1【分析】根據(jù)題意，圓心在直線上，進而求得答案.【詳解】由題意，圓心在直線上，則.故答案為：1.14．如圖，在平行六面體中，設，N是的中點，則向量_________．（用表示）【答案】【分析】根據(jù)向量的加減法運算法則及數(shù)乘運算求解即可.【詳解】由向量的減法及加法運算可得，，故答案為：15．已知是雙曲線的左、右焦點，點M是雙曲線E上的任意一點（不是頂點），過作角平分線的垂線，垂足為N，O是坐標原點．若，則雙曲線E的漸近線方程為__________．【答案】【分析】延長交于點，利用角平分線結合中位線和雙曲線定義求得的關系，然后利用，及漸近線方程即可求得結果.【詳解】延長交于點，∵是的平分線，，，又是中點，所以，且，又，，，又，．雙曲線E的漸近線方程為故答案為：. 四、雙空題16．已知是數(shù)列的前n項和，且，則__________，__________．【答案】          【分析】直接求出前4項求和；結合公式法分組求和即可.【詳解】由可得，；.故答案為：15；. 五、解答題17．已知兩點．(1)求以線段為直徑的圓C的方程；(2)在（1）中，求過M點的圓C的切線方程．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）求出圓心和半徑即可得到答案；（2）根據(jù)題意先求出切線的斜率，進而通過點斜式求出切線方程.【詳解】（1）由題意，圓心，半徑，則圓C的方程為：.（2）由題意，，則切線斜率為-1，所以切線方程為：.18．已知是等差數(shù)列的前n項和，且，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）由等差數(shù)列通項公式基本量、d列方程求解，即可由定義得出通項公式；（2）由列項相消法求和.【詳解】（1）設等差數(shù)列的前n項為，公差為d，則，解得.故數(shù)列的通項公式；（2），故19．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，E為棱的中點.(1)求異面直線與所成角的大??；(2)求平面和平面夾角的余弦值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用空間向量法求異面直線所成角；（2）求平面和平面的法向量，利用空間向量法求兩個平面夾角的余弦值【詳解】（1）如圖，底面，底面，底面，，.以點A 為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，，，，，，，，，則異面直線與所成角的余弦值為，故異面直線與所成角的大小為.（2）由題意可知平面的法向量為，設平面的法向量為，，，則，即，令，則..所以平面和平面夾角的余弦值.20．如圖，正方形的邊長為2，B，C分別為，的中點．在五棱錐中，底面，且，F為棱的中點，平面與棱，分別交于點G，H．(1)求直線與平面所成角的大小；(2)求線段的長．【答案】(1)(2)2 【分析】（1）以A為原點建立如圖所示空間直角坐標系，由向量法求線面角即可；（2）設，，結合即可解得參數(shù)，求得H坐標，由兩點距離公式即可求線段的長【詳解】（1）∵底面，四邊形為正方形，故以A為原點建立如圖所示空間直角坐標系，∵正方形的邊長為2，B，C分別為，的中點，，F為棱的中點，故有，，，，，.設平面的法向量為，，則，令，得.設直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角為為；（2）設上的點，，則，∴.又為平面的法向量，，故，即，解得，故有，故，故線段的長為2.21．記數(shù)列的前項和為.(1)求的通項公式；(2)設，記的前項和為.若對于且恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用與的關系證得數(shù)列是等比數(shù)列，從而求得；（2）先利用錯位相減法求得，再將問題轉化為，其中，利用作差法證得，從而得解.【詳解】（1），當時，，兩式相減，得，整理得，當時，，經(jīng)檢驗，滿足，數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，.（2）由（1）得，，，兩式相減得，，又對于且恒成立，即，等價于對于且恒成立，令，則，則有，所以當時，，當時，，所以，則.22．已知橢圓的離心率為，焦點分別為，點P是橢圓C上的點，面積的最大值是2．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設直線與橢圓C交于M，N兩點，點D是橢圓C上的點，O是坐標原點，若，判定四邊形的面積是否為定值？若為定值，求出定值；如果不是，請說明理由．【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）見解析【分析】（Ⅰ）由題意得到的方程組，求出的值，即可得出橢圓方程；（Ⅱ）當直線的斜率不存在時，易求出四邊形的面積；當直線的斜率存在時，設直線方程是，聯(lián)立直線與橢圓方程，結合判別式和韋達定理，可表示出弦長，再求出點到直線的距離，根據(jù)和點在曲線上，求出的關系式，最后根據(jù)，即可得出結果.【詳解】解：（Ⅰ）由解得 得橢圓的方程為. （Ⅱ）當直線的斜率不存在時，直線的方程為或，此時四邊形的面積為．當直線的斜率存在時，設直線方程是，聯(lián)立橢圓方程 ， 點到直線的距離是 由得因為點在曲線上，所以有整理得 由題意四邊形為平行四邊形，所以四邊形的面積為 由得, 故四邊形的面積是定值，其定值為．【點睛】本題主要考查橢圓的標準方程，以及橢圓中的定值問題，通常需要聯(lián)立直線與橢圓方程，結合韋達定理、弦長公式等求解，計算量較大，屬于?？碱}型. 

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