目錄
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc14793" 【題型一】零點(diǎn)求參1：基礎(chǔ)型（一個(gè)零點(diǎn)型） PAGEREF _Tc14793 1
\l "_Tc21113" 【題型二】零點(diǎn)求參2：拔高型（兩個(gè)零點(diǎn)型） PAGEREF _Tc21113 4
\l "_Tc29341" 【題型三】零點(diǎn)求參3：綜合型（3個(gè)零點(diǎn)型） PAGEREF _Tc29341 7
\l "_Tc5066" 【題型四】討論零點(diǎn)個(gè)數(shù)1：基礎(chǔ)型（無(wú)參討論） PAGEREF _Tc5066 10
\l "_Tc10983" 【題型五】討論零點(diǎn)個(gè)數(shù)2：有參討論型 PAGEREF _Tc10983 12
\l "_Tc14162" 【題型六】討論零點(diǎn)個(gè)數(shù)3：給參數(shù)范圍證明型 PAGEREF _Tc14162 15
\l "_Tc6076" 【題型七】零點(diǎn)不等式1：基礎(chǔ)型 PAGEREF _Tc6076 18
\l "_Tc13486" 【題型八】零點(diǎn)不等式2：比值代換型 PAGEREF _Tc13486 20
\l "_Tc30132" 【題型九】零點(diǎn)不等式3：零點(diǎn)與極值點(diǎn)型（難點(diǎn)） PAGEREF _Tc30132 23
\l "_Tc13251" 【題型十】零點(diǎn)不等式4：加新參數(shù) PAGEREF _Tc13251 26
\l "_Tc23588" 【題型十一】三角函數(shù)中的零點(diǎn) PAGEREF _Tc23588 28
\l "_Tc18823" 二、真題再現(xiàn) PAGEREF _Tc18823 31
\l "_Tc25403" 三、模擬檢測(cè) PAGEREF _Tc25403 37
綜述：本專題是結(jié)合2022年高考全國(guó)甲乙卷導(dǎo)數(shù)大題題型而總結(jié)的訓(xùn)練專題
【題型一】零點(diǎn)求參1：基礎(chǔ)型（一個(gè)零點(diǎn)型）
【典例分析】
（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中，且.
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若只有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.
【答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；(2)
【分析】（1）用導(dǎo)數(shù)法直接求解即可；
（2），令，再分與兩種情況討論，即可求解
(1)當(dāng)時(shí)，，，
易知在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；
所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；
(2)，令，
（1）當(dāng)時(shí)，則，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；故，
則，在單調(diào)遞增，又時(shí)，；時(shí)，；
所以此時(shí)在只有一個(gè)零點(diǎn)；
（2）當(dāng)時(shí)，則，恒成立，在單調(diào)遞增，
且，，又，則，
故存在，使得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，取得極小值，由得，則，
當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
由，可得，解得，
綜合第一問可知，當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；
綜上，若只有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是
【變式演練】
1.（2022·山西太原·三模（理））已知函數(shù).
(1)若函數(shù)的圖像與直線相切，求實(shí)數(shù)a的值；
(2)若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)(2)（0，）
【分析】(1)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，進(jìn)而列出關(guān)于a的方程組，解之即可；
(2)由二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知當(dāng)時(shí)不符合題意，故，利用分離參數(shù)法可得
，根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖形即可得出結(jié)果.
(1)，設(shè)切點(diǎn)為，則∴
時(shí)，顯然不成立，∴消去a得
∴；
(2)令，即有且只有一個(gè)解，當(dāng)時(shí)，顯然不成立，
∴，令，∴與有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
∵，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
又當(dāng)時(shí)，→0，當(dāng)
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
如圖所示，
綜上，a的取值范圍是.
2.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的值．
【答案】(1)答案見解析(2)
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，結(jié)合，則，同時(shí)注意定義域?qū)ΩM(jìn)行取舍；（2）根據(jù)題意，分和兩種情況討論處理．
(1)
，令，得．
因?yàn)?，則，即原方程有兩根設(shè)為
，所以（舍去），．
則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．
(2)由（1）可知．
①若，則，即，可得，
設(shè)，在上單調(diào)遞減
所以至多有一解且，則，代入解得．
②若，則，即，可得，
結(jié)合①可得，因?yàn)?，?br>所以在存在一個(gè)零點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，，
所以在存在一個(gè)零點(diǎn)．因此存在兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意
綜上所述：．
【題型二】零點(diǎn)求參2：拔高型（兩個(gè)零點(diǎn)型）
【典例分析】
（2022·貴州·六盤水市第五中學(xué)高三期末（文））設(shè)函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，.
(1)若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由，整理得，又，故只需，
分離參數(shù)，即可求解.
(2)先討論，不為根，再討論，令，分離參數(shù)得，
題意轉(zhuǎn)化為和的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，即可求解.
(1)解：因?yàn)樵谏虾愠闪?，即，又，故，所以只需恒成立，故只需，令，，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，故，即.
(2)當(dāng)時(shí), ，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，令，分離參數(shù)得，
由（1）得，在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，可得圖像為：
所以，即,即.
【變式演練】
1.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)若，討論的單調(diào)性；
(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)答案見解析；(2).
【分析】（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，分為和兩種情形，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與0的關(guān)系可得單調(diào)性；
（2）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)即有兩個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)（1）中的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可得結(jié)果.
(1)
由題意知，，
的定義域?yàn)椋?br>若，則，所以在上單調(diào)遞減；
若，令，解得．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
(2)
因?yàn)椋杂袃蓚€(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)零點(diǎn)．
若，由（1）知，至多有一個(gè)零點(diǎn)．
若，由（1）知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為．
①當(dāng)時(shí)，由于，故只有一個(gè)零點(diǎn)：
②當(dāng)時(shí)，由于，即，故沒有零點(diǎn)；
③當(dāng)時(shí)，，即．
又，故在上有一個(gè)零點(diǎn)．
存在，則．
又，因此在上有一個(gè)零點(diǎn)．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
2.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)若，討論的單調(diào)性；
(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)答案見解析；(2).
【分析】（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，分為和兩種情形，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與0的關(guān)系可得單調(diào)性；
（2）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)即有兩個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)（1）中的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可得結(jié)果.
(1)
由題意知，，
的定義域?yàn)椋?br>若，則，所以在上單調(diào)遞減；
若，令，解得．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
(2)
因?yàn)?，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)零點(diǎn)．
若，由（1）知，至多有一個(gè)零點(diǎn)．
若，由（1）知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為．
①當(dāng)時(shí)，由于，故只有一個(gè)零點(diǎn)：
②當(dāng)時(shí)，由于，即，故沒有零點(diǎn)；
③當(dāng)時(shí)，，即．
又，故在上有一個(gè)零點(diǎn)．
存在，則．
又，因此在上有一個(gè)零點(diǎn)．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
【題型三】零點(diǎn)求參3：綜合型（3個(gè)零點(diǎn)型）
【典例分析】
（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
(1)若，證明：當(dāng)時(shí)，恒成立；
(2)已知函數(shù)在R上有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析；(2).
【分析】（1）把代入函數(shù)，在給定條件下，等價(jià)變形不等式，構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)推理作答.
（2）把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)有兩個(gè)都不是0的零點(diǎn)，再利用導(dǎo)數(shù)探討最大值，并結(jié)合零點(diǎn)存在性定理推理判斷作答.
(1)當(dāng)時(shí)，，因，，
令，求導(dǎo)得，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，
，，因此，當(dāng)時(shí)，恒成立，
所以當(dāng)時(shí)，恒成立.
(2)依題意，，由，得，顯然是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，
因函數(shù)在R上有三個(gè)零點(diǎn)，則有兩個(gè)都不是0的零點(diǎn)，
，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時(shí)，在上最多一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
因此，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，
要有兩個(gè)零點(diǎn)，必有，即，得，
因，則存在，使得，即函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，
令，，求導(dǎo)得：，令，，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，因此，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
，，即在時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，在時(shí)恒有成立，
因此，，，令，
則，
于是得，則存在，使得，
即函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，因此在上有一個(gè)零點(diǎn)，
從而得，當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)在R上有三個(gè)零點(diǎn)，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
【變式演練】
1.（2022·重慶南開中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)有3個(gè)不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)
【分析】(1)將 代入 的函數(shù)解析式，對(duì) 求導(dǎo)即可判斷出 的單調(diào)區(qū)間；
(2)考慮到 ，對(duì) 參數(shù)分離，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)即可求解.
（1）時(shí)， ，
令 得 或 在 時(shí)單調(diào)遞增，
時(shí)單調(diào)遞減， 時(shí)單調(diào)遞增；
所以函數(shù)得單調(diào)遞增區(qū)間為 和 ，單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）注意到 ，設(shè) ，則在時(shí)有兩不同解，
，令
， ，令 ，則有 ，
是增函數(shù)，則 時(shí)， ， 時(shí)， ，
所以 時(shí)， 單調(diào)遞減， 時(shí)， 單調(diào)遞增， ，
所以 時(shí)， ， 時(shí)， ，
所以在 時(shí)，單調(diào)遞減， 時(shí)，單調(diào)遞增，
因?yàn)? ，
當(dāng) 時(shí)， ， ，
即 ，當(dāng) 時(shí)， ，
并且 ， ，并且 ，
當(dāng) 時(shí)， ，
函數(shù)圖像如下：
所以 即 ；
綜上，函數(shù)得單調(diào)遞增區(qū)間為 和 ，單調(diào)遞減區(qū)間為，.
2.（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校一模（文））已知，.
(1)證明：函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；
(2)若函數(shù)在上有3個(gè)不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析(2)
【分析】（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)，即可得證；
（2）令，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令，則，分、與三種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可得解；
(1)解：因?yàn)?，所以?br>在上單調(diào)遞減，且，在有且僅有一個(gè)零點(diǎn).
(2)解：令，所以令，則，
①當(dāng)，即時(shí)
此時(shí)在單調(diào)遞減，至多有一個(gè)零點(diǎn)，所以不符合題意.
②當(dāng)時(shí)，此時(shí)在單調(diào)遞減，至多有一個(gè)零點(diǎn)，所以不符合題意.
③當(dāng)時(shí)，，不妨設(shè)兩根分別為，
由韋達(dá)定理知，
所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
由所以此時(shí)在上有一個(gè)零點(diǎn)，
令，則，所以當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，即，所以，，
即，，所以，，
即
當(dāng)時(shí)
令得且，
所以此時(shí)在上有一個(gè)零點(diǎn)
當(dāng)時(shí)
令得且，
所以此時(shí)在上有一個(gè)零點(diǎn)
綜上若在上有3個(gè)零點(diǎn)則.
【題型四】討論零點(diǎn)個(gè)數(shù)1：基礎(chǔ)型（無(wú)參討論）
【典例分析】
（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)在處的切線與軸平行．
（1）求的值；
（2）求證：在區(qū)間上不存在零點(diǎn)．
【答案】（1）；（2）證明見解析．
【分析】（1）由函數(shù)在在處的切線斜率為，列方程可得的值；
（2）要證在區(qū)間上不存在零點(diǎn)，即證在區(qū)間上不存在方程根，即證函數(shù)與在區(qū)間上不存在交點(diǎn)，分別對(duì)函數(shù)求導(dǎo)判斷出單調(diào)性求出最值，可得命題成立．
【詳解】（1），由題意可得，解得；
（2）證明：要證在區(qū)間上不存在零點(diǎn)，
即證在區(qū)間上不存在方程根，
化簡(jiǎn)可得，即證函數(shù)與在區(qū)間上不存在交點(diǎn)．
，定義域，
，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，；
，定義域，
，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；
又，即函數(shù)與在區(qū)間上不存在交點(diǎn)，
即在區(qū)間上不存在方程根，得證．
【變式演練】
1.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)
(1)若函數(shù)的圖象在區(qū)間[0，1]上存在斜率為零的切線，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由.
【答案】(1)(2)2，理由見解析
【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，參變分離后轉(zhuǎn)化為在區(qū)間[0，1]上有解，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域；
（2）將方程轉(zhuǎn)化為，設(shè)函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，即可判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù).
（1）
依題意，方程在區(qū)間[0，1]上有解，即在區(qū)間[0，1]上有解，記，則函數(shù)區(qū)間[0，1]上單調(diào)增，其值域?yàn)?br>故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
（2）令在上單調(diào)遞增，在（1，∞）上單調(diào)遞增，

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