1．導(dǎo)數(shù)的概念
函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率，我們稱(chēng)它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作或，
即．
2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義
函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在點(diǎn)處的切線斜率，即，相應(yīng)地切線方程．
3．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式
4．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
若函數(shù)，均可導(dǎo)，則：
（1）；
（2）；
（3）．
5、切線問(wèn)題
（1）已知函數(shù)，在點(diǎn)的切線方程；
① ②
（2）已知函數(shù)，過(guò)點(diǎn)的切線方程
①設(shè)切點(diǎn) ②求斜率 ③利用兩點(diǎn)求斜率 ④利用求出切點(diǎn)，再回帶求出斜率，進(jìn)而利用點(diǎn)斜式求切線。
【典型題型講解】
考點(diǎn)一：導(dǎo)數(shù)的幾何意義---已知切點(diǎn)求切線方程
【典例例題】
例1．（2022·廣東揭陽(yáng)·高三期末）已知函數(shù)，該函數(shù)在處的切線方程為_(kāi)_________.
【答案】
【詳解】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，把代入可得，
則切線方程的斜率.又因?yàn)椋郧悬c(diǎn)為，從而可得切線方程為.
故答案為：.
【方法技巧與總結(jié)】
求導(dǎo)，求斜率，用點(diǎn)斜式寫(xiě)切線方程
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·廣東廣州·一模）曲線在點(diǎn)處的切線方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】∵
∴，所以，
又當(dāng)時(shí)，，
所以在點(diǎn)處的切線方程為：，即.
故選：A.
2．（2022·廣東廣東·一模）已知，則曲線在處的切線方程是______．
【答案】
【詳解】，，，
所以曲線在處的切線方程式，
得.
故答案為：
3.已知，則曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】
對(duì)，
求導(dǎo)可得，，得到，所以，
，所以，，
故選D
4．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且，則函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】
是奇函數(shù)，
恒成立，所以，
，，
所以，，即，
．
故選：A．
【典型題型講解】
考點(diǎn)二：已經(jīng)切線斜率求切點(diǎn)問(wèn)題
【典例例題】
例1．（2022·廣東潮州·高三期末）曲線與直線相切，則______．
【答案】1
【詳解】由題意，函數(shù)，可得，
設(shè)切點(diǎn)為，則，
因?yàn)榍€與直線相切，可得，即，①
又由，即切點(diǎn)為，可得，②
聯(lián)立①②，可得．
故答案為：1
例2．（2022·廣東珠?！じ呷谀┤艉瘮?shù)在處的切線與直線垂直，則______．
【答案】-1
【詳解】，，由．
故答案為：．
【方法技巧與總結(jié)】
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，求導(dǎo)，建立有關(guān)斜率和切點(diǎn)有關(guān)方程或方程組進(jìn)行運(yùn)算.
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·廣東清遠(yuǎn)·高三期末）已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則_________．
【答案】-5
【詳解】解：因?yàn)椋?，所以所以，所以?br>故答案為：
2.已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【詳解】
解：，，
∴，∴．將代入得，∴．
故選：C．
【典型題型講解】
考點(diǎn)三：過(guò)一點(diǎn)求函數(shù)的切線方程
【典例例題】
例1.函數(shù)過(guò)點(diǎn)的切線方程為（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【詳解】
由題設(shè)，若切點(diǎn)為，則，
所以切線方程為，又切線過(guò)，
則，可得或，
當(dāng)時(shí)，切線為；當(dāng)時(shí)，切線為，整理得.
故選：C
【方法技巧與總結(jié)】
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，求導(dǎo)，求斜率，寫(xiě)切線方程，帶已經(jīng)點(diǎn)到到切線方程
【變式訓(xùn)練】
1.若過(guò)點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象相切，則所有可能的切點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)，所以，
設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為：，
將點(diǎn)代入得，
即，解得或，
所以切點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為
故選：D.
2.曲線過(guò)點(diǎn)的切線方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】
由題意可得點(diǎn)不在曲線上，
設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)椋?br>所以所求切線的斜率，
所以.
因?yàn)辄c(diǎn)是切點(diǎn)，所以，
所以，即.
設(shè)，明顯在上單調(diào)遞增，且，
所以有唯一解，則所求切線的斜率，
故所求切線方程為.
故選：B.
【典型題型講解】
考點(diǎn)四：公切線問(wèn)題
【典例例題】
例1．（2022·廣東揭陽(yáng)·高三期末）已知函數(shù)，過(guò)點(diǎn)可作兩條直線與函數(shù)相切，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．的最大值為2D．
【答案】B
【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，又，則切線的斜率
又 ，即有，整理得，
由于過(guò)點(diǎn)可作兩條直線與函數(shù)相切
所以關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的正根，設(shè)為，則
，得 ，
，故B正確，A錯(cuò)誤，
對(duì)于C，取，則，所以的最大值不可能為2，故C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，取，則，故D錯(cuò)誤.
故選：B.
【方法技巧與總結(jié)】
分別求出導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)，得到切線方程，再由兩點(diǎn)的斜率公式，結(jié)合切點(diǎn)滿足曲線方程
【變式訓(xùn)練】
1.若函數(shù)與函數(shù)有公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】B
【詳解】
設(shè)公切線與函數(shù)切于點(diǎn)，
，切線的斜率為，
則切線方程為，即
設(shè)公切線與函數(shù)切于點(diǎn)，
，切線的斜率為，
則切線方程為，即
所以有
因?yàn)椋?，可得，，即?br>由可得：，
所以，
令，則，，
設(shè)，則，
所以在上為減函數(shù)，
則，所以，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，
故選：B．
2.已知函數(shù)，，若直線與函數(shù)，的圖象都相切，則的最小值為（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【詳解】
設(shè)直線與函數(shù)，的圖象相切的切點(diǎn)分別為，.
由，有，解得，.
又由，有，解得，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取“=”.
故選：B
3.若兩曲線與存在公切線，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】
設(shè)公切線與曲線和的交點(diǎn)分別為，，其中，
對(duì)于有，則上的切線方程為，即，
對(duì)于有，則上的切線方程為，即，
所以，有，即，
令，，
令，得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以，故，即.
故選：B.
【鞏固練習(xí)】
一、單選題
1．若曲線在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為，則a＝（ ）
A．1B．C．2D．e
【答案】A
【詳解】
解：因?yàn)榍€，
所以，
又因?yàn)榍€在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為，
所以，
故選：A
2．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若對(duì)任意恒成立，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】
解：因?yàn)閷?duì)任意，，恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，且在上單調(diào)遞減，即的圖象增長(zhǎng)得越來(lái)越慢，從圖象上來(lái)看函數(shù)是上凸遞增的，所以，
又，表示點(diǎn)與點(diǎn)的連線的斜率，
由圖可知
即，
故選：A
3．設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，且，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為（ ）
A．2B．-1C．1D．
【答案】D
【詳解】
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，點(diǎn)處的切線斜率為，
因?yàn)闀r(shí)，，
所以，
所以在點(diǎn)處的切線斜率為，
故選：D.
4．已知，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】
∵，
∴，
，
∴，
∴y=f(x)在處的切線方程為：，
即．
故選：A．
5．已知函數(shù)，，若經(jīng)過(guò)點(diǎn)存在一條直線與圖象和圖象都相切，則（ ）
A．0B．C．3D．或3
【答案】D
【詳解】
因?yàn)椋?br>所以，
則，
所以
所以函數(shù)在處的切線方程為，
由得，
由，解得或，
故選：D
6．若不等式對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】
設(shè)，則T的幾何意義是直線上的點(diǎn)與曲線上的點(diǎn)的距離，
將直線平移到與面線相切時(shí)，切點(diǎn)Q到直線的距離最?。?br>而，令，則，可得，
此時(shí)，Q到直線的距離，故，
所以．
故選：B
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將題設(shè)不等式關(guān)系轉(zhuǎn)化為求直線與曲線上點(diǎn)的最小距離且，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義、點(diǎn)線距離公式求m的范圍.
7．若直線與直線是曲線的兩條切線，也是曲線的兩條切線，則的值為（ ）
A．B．0C．-1D．
【答案】C
【詳解】
由和互為反函數(shù)可知，
兩條公切線和也互為反函數(shù)，
即滿足，，即，，
設(shè)直線與和分別切于點(diǎn)和，
可得切線方程為和，
整理得：和，則，，
由，得，且，
則，所以，
所以
,
故選：C
二、多選題
8．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．曲線的切線斜率可以是1
B．曲線的切線斜率可以是
C．過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線有且只有1條
D．過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線有且只有2條
【答案】AC
【詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)，所以
A.令，得 ，所以曲線的切線斜率可以是1，故正確；
B.令無(wú)解，所以曲線的切線斜率不可以是，故錯(cuò)誤；
C. 因?yàn)樵谇€上，所以點(diǎn)是切點(diǎn)，則，
所以切線方程為，即，所以過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線有且只有1條，故正確；
D.設(shè)切點(diǎn)，則切線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在切線上，所以，解得，所以過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線有且只有1條，故錯(cuò)誤；
故選：AC
三、填空題
9．已知函數(shù)則曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)______.
【答案】
【詳解】
解：因?yàn)椋郑?br>切線方程為：，即；
故答案為：.
10．若直線與曲線和都相切，則的斜率為_(kāi)_____．
【答案】
【詳解】
設(shè)的切點(diǎn)為，，故，
則切線方程為：，即
圓心到圓的距離為，即，
解得：或（舍去）
所以，則的斜率為
故答案為：
13．已知函數(shù)，則__________.
【答案】-2
【詳解】
由函數(shù)求導(dǎo)得：，當(dāng)時(shí)，，解得，
因此，，所以.
故答案為：-2
14．（2022·全國(guó)·贛州市第三中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知，且，，那么___________.
【答案】
【詳解】
因?yàn)椋?br>所以，，
即，所以，，
因?yàn)?，則，
所以，，解得，所以，，
因此，.
故答案為：.
原函數(shù)
導(dǎo)函數(shù)
（為常數(shù)）
（）
（）
（）
（）
（）

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