1.排列與組合的概念
排列問題的解題策略
特殊元素優(yōu)先安排的策略； （2）合理分類與準(zhǔn)確分步的策略；
正難則反、等價轉(zhuǎn)化的策略；（4）相鄰問題捆綁處理的策略；
不相鄰問題插空處理的策略；（6）定序問題除法處理的策略；
3.二項(xiàng)式定理
．
4.二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式
二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)：
公式特點(diǎn)：①它表示二項(xiàng)展開式的第項(xiàng)，該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是；
②字母的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；③與的次數(shù)之和為．
二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
（1）對稱性；（2）增減性與最大值；（3）二項(xiàng)式系數(shù)的和
【典型題型講解】
考點(diǎn)一：排列、組合
【典例例題】
例1．（2022·廣東中山·高三期末）男女六位同學(xué)站成一排，則位女生中有且只有兩位女生相鄰的不同排法種數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2022·廣東·鐵一中學(xué)高三期末）高三一班周一上午有四節(jié)課，分別安排語文?數(shù)學(xué)?英語和體育.其中語文不安排在第一節(jié)，數(shù)學(xué)不安排在第二節(jié)，英語不安排在第三節(jié)，體育不安排在第四節(jié)，則不同的課表安排方法共有______種.
【方法技巧與總結(jié)】
排列、組合搞清楚區(qū)別
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·廣東清遠(yuǎn)·高三期末）為了做好新冠肺炎疫情常態(tài)化防控工作，推進(jìn)疫苗接種進(jìn)度，降低新冠肺炎感染風(fēng)險，某醫(yī)院準(zhǔn)備將3名醫(yī)生和6名護(hù)士分配到3所學(xué)校，設(shè)立疫苗接種點(diǎn)，免費(fèi)給學(xué)校老師和學(xué)生接種新冠疫苗，若每所學(xué)校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士，則不同的分配方法共有_______種．
2．（2022·廣東惠州·一模）現(xiàn)有名學(xué)生報名參加校園文化活動的個項(xiàng)目，每人須報項(xiàng)且只報項(xiàng)，則恰有名學(xué)生報同一項(xiàng)目的報名方法有（ ）
A．種B．種C．種D．種
3．（2022·廣東湛江·一模）為提高新農(nóng)村的教育水平，某地選派4名優(yōu)秀的教師到甲?乙?丙三地進(jìn)行為期一年的支教活動，每人只能去一個地方，每地至少派一人，則不同的選派方案共有（ ）
A．18種B．12種C．72種D．36種
4．（2022·廣東韶關(guān)·一模）在一次學(xué)校組織的研究性學(xué)習(xí)成果報告會上，有共6項(xiàng)成果要匯報，如果B成果不能最先匯報，而A?C?D按先后順序匯報（不一定相鄰），那么不同的匯報安排種數(shù)為（ ）
A．100B．120C．300D．600
5．（2022·廣東茂名·二模）某大學(xué)計算機(jī)學(xué)院的丁教授在2021年人工智能方向招收了6名研究生．丁教授擬從人工智能領(lǐng)域的語音識別、人臉識別、數(shù)據(jù)分析、機(jī)器學(xué)習(xí)、服務(wù)器開發(fā)共5個方向展開研究，每個方向均有研究生學(xué)習(xí)，每位研究生只參與一個方向的學(xué)習(xí)．其中小明同學(xué)因錄取分?jǐn)?shù)最高主動選擇學(xué)習(xí)人臉識別，其余5名研究生均表示服從丁教授統(tǒng)一安排．則這6名研究生不同的分配方向共有（ ）
A．480種B．360種C．240種D．120種
6．（2022·廣東·二模）某校安排高一年級（1）～（5）班共5個班去A，B，C，D四個勞動教育基地進(jìn)行社會實(shí)踐，每個班去一個基地，每個基地至少安排一個班，則高一（1）班被安排到A基地的排法總數(shù)為（ ）
A．24B．36C．60D．240
7.有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（ ）
A．12種B．24種C．36種D．48種
8.將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個項(xiàng)目，每個項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（ ）
A．60種B．120種C．240種D．480種
9.將4個1和2個0隨機(jī)排成一行，則2個0不相鄰的概率為（ ）
A．B．C．D．
10.已知有1、2、3、4四個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字，則比2134大的四位數(shù)的個數(shù)為________
考點(diǎn)二：二項(xiàng)式定理
【典例例題】
例1．（2022·廣東汕尾·高三期末）已知的展開式中第2項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．-240B．240C．-60D．60
例2．（2022·廣東深圳·高三期末）的各項(xiàng)系數(shù)和為（ ）
A．B．27C．16D．
例3．（2022·廣東揭陽·高三期末）（多選）已知二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為64，則下列說法正確的是（ ）
A．展開式中的常數(shù)項(xiàng)為1
B．
C．展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第四項(xiàng)
D．展開式中的指數(shù)均為偶數(shù)
【方法技巧與總結(jié)】
1.在形如的展開式中求的系數(shù)，關(guān)鍵是利用通項(xiàng)求，則．
2.三項(xiàng)式的展開式：
若令，便得到三項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式：
，
其中叫三項(xiàng)式系數(shù)．
3.二項(xiàng)展開式二項(xiàng)式系數(shù)和：；奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和相等：．
系數(shù)和：賦值法，二項(xiàng)展開式的系數(shù)表示式：（是系數(shù)），令得系數(shù)和：．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·廣東潮州·高三期末）的展開式中常數(shù)項(xiàng)是_________．
2．（2022·廣東·一模）二項(xiàng)式展開式中的常數(shù)項(xiàng)為__________.
3．（2022·廣東·珠海市第三中學(xué)二模）的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·廣東汕頭·二模）二項(xiàng)式展開式中，有理項(xiàng)共有（ ）項(xiàng)．
A．3B．4C．5D．7
5．（2022·廣東汕頭·高三期末）的展開式中的系數(shù)為________用數(shù)字填寫答案
6．（2022·廣東東莞·高三期末）的展開式中項(xiàng)的系數(shù)是（ ）
A．9B．10C．11D．12
7．（2022·廣東佛山·高三期末）的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A．80B．40C．D．
8.（2022·廣東惠州·一模）若，則（ ）
B．0C．1D．2
9．（2022·廣東廣州·一模）的展開式中的系數(shù)為（ ）
A．60B．24C．D．
10．（2022·廣東深圳·二模）（多選）已知，則（ ）
A．B．
C．D．
11．（2022·廣東茂名·二模）已知的展開式共有13項(xiàng)，則下列說法中正確的有（ ）
A．所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為B．所有項(xiàng)的系數(shù)和為
C．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第6項(xiàng)或第7項(xiàng)D．有理項(xiàng)共5項(xiàng)
12.（2022·廣東湛江·二模）的展開式中常數(shù)項(xiàng)為___________.
13.（2022·廣東·普寧市華僑中學(xué)二模）(2+)(2＋x)5的展開式中x2的系數(shù)是____．(用數(shù)字作答）
14．（2022·廣東潮州·二模）設(shè)，則______．
【鞏固練習(xí)】
一、單選題
1．6名志愿者要到，，三個社區(qū)進(jìn)行志愿服務(wù)，每個志愿者只去一個社區(qū)，每個社區(qū)至少安排1名志愿者，若要2名志愿者去社區(qū)，則不同的安排方法共有（ ）
A．105種B．144種C．150種D．210種
2．2022年3月中旬，新冠肺炎疫情突襲南昌，南昌市統(tǒng)一指揮，多方攜手、眾志成城，構(gòu)筑起抗擊疫情的堅固堡壘．某小區(qū)有小王、小張等5位中學(xué)生積極參加社區(qū)志愿者，他們被分派到測溫和掃碼兩個小組，若小王和小張不同組，且他們所在的兩個組都至少需要2名中學(xué)生志愿者，則不同的分配方案種數(shù)有（ ）
A．8B．10C．12D．14
3．甲乙丙丁四個同學(xué)星期天選擇到東湖公園，西湖茶經(jīng)樓，歷史博物館和北湖公園其中一處去參觀游玩，其中茶經(jīng)樓必有人去，則不同的參觀方式共有（ ）種.
A．24B．96C．174D．175
4．若分配甲、乙、丙、丁四個人到三個不同的社區(qū)做志愿者，每個社區(qū)至少分配一人，每人只能去一個社區(qū)．若甲分配的社區(qū)已經(jīng)確定，則乙與甲分配到不同社區(qū)的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．近日，各地有序開展新冠疫苗加強(qiáng)針接種工作，某社區(qū)疫苗接種點(diǎn)為了更好的服務(wù)市民，決定增派5名醫(yī)務(wù)工作者參加登記?接種?留觀3項(xiàng)工作，每人參加1項(xiàng)，接種工作至少需要2人參加，登記?留觀至少1人參加，則不同的安排方式有（ ）
A．50B．80C．140D．180
6．甲?乙?丙等七人相約到電影院看電影《長津湖》，恰好買到了七張連號的電影票，若甲?乙兩人必須相鄰，且丙坐在七人的正中間，則不同的坐法的種數(shù)為（ ）
A．240B．192C．96D．48
7．某校有5名大學(xué)生打算前往觀看冰球，速滑，花滑三場比賽，每場比賽至少有1名學(xué)生且至多2名學(xué)生前往，則甲同學(xué)不去觀看冰球比賽的方案種數(shù)有（ ）
A．48B．54C．60D．72
8．的展開式中的系數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
9．在的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)為（ ）
A．-120B．-40C．-30D．200
10．的展開式中，的系數(shù)等于（ ）
A．B．C．10D．45
11．若，，則的值為（ ）
A．B．C．D．
12．已知的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為，則該展開式中的系數(shù)為（ ）
A．0B．C．120D．
二、多選題
13．已知，則（ ）
A．
B．
C．
D．
14．在二項(xiàng)式的展開式中，正確的說法是（ ）
A．常數(shù)項(xiàng)是第3項(xiàng)B．各項(xiàng)的系數(shù)和是1
C．偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為32D．第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大
15．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A．
B．
C．
D．被8整除余數(shù)為7
16．已知，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．當(dāng)時，設(shè)，則
C．當(dāng)時，中最大的是
D．當(dāng)時，
17．已知的展開式中含的系數(shù)為60，則下列說法正確的是（ ）
A．的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1B．的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為
C．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為D．的展開式中所有二項(xiàng)式的系數(shù)和為32
三、填空題
18．甲、乙、丙三名志愿者需要完成A，B，C，D，E五項(xiàng)不同的工作，每項(xiàng)工作由一人完成，每人至少完成一項(xiàng)，且E工作只有乙能完成，則不同的安排方式有______種．
19．志愿團(tuán)安排去甲?乙?丙?丁四個精準(zhǔn)扶貧點(diǎn)慰問的先后順序，一位志愿者說：不能先去甲，甲的困難戶最多；另一位志愿者說：不能最后去丁，丁離得最遠(yuǎn)．他們共有多少種不同的安排方法____
20．將中國古代四大名著——《紅樓夢》《西游記》《水滸傳》《三國演義》，以及《詩經(jīng)》等12本書按照如圖所示的方式擺放，其中四大名著要求放在一起，且必須豎放，《詩經(jīng)》《楚辭》《呂氏春秋》要求橫放，若這12本書中7本豎放5本橫放，則不同的擺放方法共有___________種.
21.5位學(xué)生被分配到3個志愿點(diǎn)作志愿者，每個志愿點(diǎn)至少分配一位學(xué)生，其中甲乙不能分配到同一個志愿點(diǎn)，則共有___________種不同的分配方式（用數(shù)字作答）.
22．有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，甲、乙各需1人承擔(dān)，丙需2人承擔(dān)且至少1人是男生，現(xiàn)有2男2女共4名學(xué)生承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的安排方法種數(shù)是______．（用具體數(shù)字作答）
23.已知，則的值為___________.
24．已知的展開式中常數(shù)項(xiàng)為20，則___________.
名稱
定義
排列
從個不同元素中取出（）個元素
按照一定的順序排成一列
組合
合成一組

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