1、函數(shù)與映射的概念
注意：判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是否是函數(shù)關(guān)系，就看這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是否滿足函數(shù)定義中“定義域內(nèi)的任意一個(gè)自變量的值都有唯一確定的函數(shù)值”這個(gè)核心點(diǎn)．
2、函數(shù)的定義域、值域
在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．
3、構(gòu)成函數(shù)的三要素
函數(shù)的三要素為定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系.
4、函數(shù)的表示方法
函數(shù)的表示方法有三種：解析法、列表法、圖象法.
解析法：一般情況下，必須注明函數(shù)的定義域；
列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征；
圖象法：注意定義域?qū)D象的影響.
5、函數(shù)的定義域
函數(shù)的定義域是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍，常見(jiàn)基本初等函數(shù)定義域的要求為：
(1)分式函數(shù)中分母不等于零.
(2)偶次根式函數(shù)的被開(kāi)方式大于或等于0.
(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為R.
(4)y＝x0的定義域是{x|x≠0}.
(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝csx的定義域均為R.
(6)y＝lgax(a>0且a≠1)的定義域?yàn)?0，＋∞).
(7)y＝tanx的定義域?yàn)?
【典型題型講解】
考點(diǎn)一：函數(shù)的概念
【典例例題】
例1（多選題）下列對(duì)應(yīng)關(guān)系f，能構(gòu)成從集合M到集合N的函數(shù)的是（ ）
A．，，，，
B．，
C．，
D．，，
【方法技巧與總結(jié)】
函數(shù)概念：注意兩個(gè)非空數(shù)集，任意與唯一兩個(gè)關(guān)鍵字對(duì)應(yīng).
【變式訓(xùn)練】
1.函數(shù)y=f(x)的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)（ ）
A．至少1個(gè)B．至多1個(gè)C．僅有1個(gè)D．有0個(gè)、1個(gè)或多個(gè)
2.已知函數(shù)的定義域和值域都是集合，其定義如表所示，則____________．
考點(diǎn)二：具體函數(shù)的定義域
【典例例題】
例1.函數(shù)的定義域是（ ）
A． B．
C． D．
例2.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)__________.
【方法技巧與總結(jié)】
對(duì)求函數(shù)定義域問(wèn)題的思路是：
（1）先列出使式子有意義的不等式或不等式組；
（2）解不等式組；
（3）將解集寫(xiě)成區(qū)間的形式.
【變式訓(xùn)練】
1.已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2.函數(shù)的定義域是_______．
3．函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)__________.
考點(diǎn)三：抽象函數(shù)定義域
【典例例題】
例1.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A．B．C．D．
【方法技巧與總結(jié)】
1.抽象函數(shù)的定義域求法：此類(lèi)型題目最關(guān)鍵的就是法則下的定義域不變，若的定義域?yàn)?，求中的解的范圍，即為的定義域，口訣：定義域指的是的范圍，括號(hào)范圍相同．已知的定義域，求四則運(yùn)算型函數(shù)的定義域
2．若函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算結(jié)合而成的，其定義域?yàn)楦骰竞瘮?shù)定義域的交集，即先求出各個(gè)函數(shù)的定義域，再求交集．
【變式訓(xùn)練】
1.已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_____.
2．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋?）
A．B．C．D．
3.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A．B．C．D．
考四：函數(shù)的解析式求法
【典例例題】
例1.（待定系數(shù)法）已知函數(shù)是一次函數(shù)，滿足，則的解析式可能為（ ）
A．B．
C．D．
例2.（換元法或配湊法（適用于了型））已知，則（ ）
A．B．
C．D．
例3.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧與總結(jié)】
求函數(shù)解析式的常用方法如下：
（1）當(dāng)已知函數(shù)的類(lèi)型時(shí)，可用待定系數(shù)法求解.
（2）當(dāng)已知表達(dá)式為時(shí)，可考慮配湊法或換元法，若易將含的式子配成，用配湊法.若易換元后求出，用換元法.
（3）若求抽象函數(shù)的解析式，通常采用方程組法.
（4）求分段函數(shù)的解析式時(shí)，要注意符合變量的要求.
（5）當(dāng)出現(xiàn)大基團(tuán)換元轉(zhuǎn)換繁瑣時(shí)，可考慮配湊法求解．
（6）若已知成對(duì)出現(xiàn)，或，，類(lèi)型的抽象函數(shù)表達(dá)式，則常用解方程組法構(gòu)造另一個(gè)方程，消元的方法求出．
【變式訓(xùn)練】
1.設(shè)y＝f(x)是一次函數(shù)，若f(0)＝1，且成等比數(shù)列，則等于（ ）
A．n(2n＋3)B．n(n＋4)
C．2n(2n＋3)D．2n(n＋4)
2.已知函數(shù)，則的解析式為（ ）
A．B．
C．D．
3．已知函數(shù)滿足，則的解析式為（ ）
A．B．
C．D．
考點(diǎn)五：分段函數(shù)
【典例例題】
例1.已知函數(shù)若，則m的值為（ ）
A．B．2C．9D．2或9
例2．（2022·廣東東莞·高三期末）(多選)已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．關(guān)于的方程的所有根之和為D．關(guān)于的方程的所有根之積小于
【方法技巧與總結(jié)】
1.分段函數(shù)的求值問(wèn)題，必須注意自變量的值位于哪一個(gè)區(qū)間，選定該區(qū)間對(duì)應(yīng)的解析式代入求值
2.函數(shù)區(qū)間分類(lèi)討論問(wèn)題，則需注意在計(jì)算之后進(jìn)行檢驗(yàn)所求是否在相應(yīng)的分段區(qū)間內(nèi).
【變式訓(xùn)練】
1.已知，若，則（ ）
A．2B．C．1D．0
2．己知函數(shù)，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．2B．6C．8D．10
4．已知函數(shù)，則___________；若，則實(shí)數(shù)___________.
【鞏固練習(xí)】
一.單選題
1．下列函數(shù)中，不滿足：的是
A．B．C．D．
2．若函數(shù)f（x）滿足f（1－lnx）＝，則f（2）＝（ ）
A．B．e
C．D．－1
3．設(shè)全集，集合，則（ ）
A．（1，2）B．（1，2]
C．（2，+ ∞）D．[2，+ ∞）
4．已知函數(shù)的定義域?yàn)?－2,0)，則的定義域?yàn)椋? ）
A．(－1,0)B．(－2,0)C．(0,1)D．
5．若函數(shù)，則函數(shù)的最小值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
6．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知滿足，則（ ）
A．B．
C．D．
7．下列四組函數(shù)中，f(x)與g(x) 表示同一函數(shù)的是（ ）
A．f(x)＝x＋1，g(x)＝B．f(x)＝·，g(x)＝
C．f(x)＝(x－1)0，g(x)＝1D．f(x)＝，g(x)＝
8．關(guān)于直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)有如下四個(gè)結(jié)論，其中正確的是（ ）
A．不論為何值時(shí)都有交點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)
C．當(dāng)時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，沒(méi)有交點(diǎn)
三、填空題
9．已知函數(shù)，則____________．
10.若定義在的函數(shù)，滿足，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是___________.
函數(shù)
映射
兩個(gè)集合A、B
設(shè)A、B是兩個(gè)非空數(shù)集
設(shè)A、B是兩個(gè)非空集合
對(duì)應(yīng)關(guān)系
按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)
按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)
名稱(chēng)
稱(chēng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)
稱(chēng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)映射
記法
y＝f(x)，x∈A
f：A→B
x
0
1
2
0
1
2

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