求曲線的軌跡方程
直接法、定義法、相關(guān)點法
橢圓方程
橢圓相關(guān)計算
（1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個量的幾何意義
（2）通徑:過焦點且垂直于長軸的弦,其長 焦點弦：橢圓過焦點的弦。
最短的焦點弦為通經(jīng)，最長為。
（3）最大角:是橢圓上一點，當(dāng)是橢圓的短軸端點時，為最大角。
（4）橢圓上一點和兩個焦點構(gòu)成的三角形稱為焦點三角形。
焦點三角形的面積，其中（注意公式的推導(dǎo)）
雙曲線
（1）雙曲線的通徑
過雙曲線的焦點且與雙曲線實軸垂直的直線被雙曲線截得的線段，稱為雙曲線的通徑．通徑長為．
（2）點與雙曲線的位置關(guān)系
對于雙曲線，點在雙曲線內(nèi)部，等價于．
點在雙曲線外部，等價于 結(jié)合線性規(guī)劃的知識點來分析．
（3）雙曲線?？夹再|(zhì)
性質(zhì)1：雙曲線的焦點到兩條漸近線的距離為常數(shù)；頂點到兩條漸近線的距離為常數(shù);
性質(zhì)2：雙曲線上的任意點到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數(shù)；
（4）雙曲線焦點三角形面積為（可以這樣理解，頂點越高，張角越小，分母越小，面積越大）
（5）雙曲線的切線
點在雙曲線上，過點作雙曲線的切線方程為．若點在雙曲線外，則點對應(yīng)切點弦方程為
拋物線
（1）、焦半徑
拋物線上的點與焦點的距離稱為焦半徑，若，則焦半徑，．
（2）、焦點弦
若為拋物線的焦點弦，，，則有以下結(jié)論：
（1）．（2）．
（3）焦點弦長公式1：，，當(dāng)時，焦點弦取最小值，即所有焦點弦中通徑最短，其長度為．
焦點弦長公式2：（為直線與對稱軸的夾角）．
（4）的面積公式：（為直線與對稱軸的夾角）．
（3）、拋物線的通徑
過焦點且垂直于拋物線對稱軸的弦叫做拋物線的通徑．
對于拋物線，由，，可得，故拋物線的通徑長為．
（4）、弦的中點坐標(biāo)與弦所在直線的斜率的關(guān)系：
（5）、焦點弦的?？夹再|(zhì)
已知、是過拋物線焦點的弦，是的中點，是拋物線的準(zhǔn)線，，為垂足．
（1）以為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切，以AF（或BF）為直徑的圓與y軸相切；
（2），
（3）；
（4）設(shè)，為垂足，則、、三點在一條直線上
【典型題型講解】
考點一：橢圓
【典例例題】
例1．（2022·廣東清遠(yuǎn)·高三期末）若橢圓的焦距為6，則實數(shù)（ ）
A．13B．40C．5D．
例2．（2022·廣東珠海·高三期末）已知橢圓的長軸長為4，左頂點A到上頂點B的距離為，F(xiàn)為右焦點．
(1)求橢圓C的方程和離心率；
(2)設(shè)直線l與橢圓C交于不同的兩點M，N（不同于A，B兩點），且直線時，求F在l上的射影H的軌跡方程．
【方法技巧與總結(jié)】
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·廣東佛山·高三期末）（多選）已知橢圓的左?右焦點分別為，上頂點為B，且，點P在C上，線段與交于Q，，則（ ）
A．橢圓C的離心率為B．橢圓C上存在點K，使得
C．直線的斜率為D．平分
2．（2022·廣東·金山中學(xué)高三期末）已知橢圓：與圓：，若在橢圓上不存在點P，使得由點P所作的圓的兩條切線互相垂直，則橢圓的離心率的取值范圍是________.
3.（2022·廣東汕尾·高三期末）已知分別是橢圓C：的左、右兩個焦點，若橢圓C上存在四個不同的點P，使得，的面積為，則正實數(shù)m的取值范圍為______．
4．（2022·廣東肇慶·二模）已知點，分別是橢圓的左、右焦點，點A是橢圓上一點，點О為坐標(biāo)原點，若，直線的斜率為，則橢圓C的離心率為（ ）
A． B． C．D．
5．（2022·廣東汕頭·二模）已知橢圓C的左、右焦點分別為，，直線AB過與該橢圓交于A，B兩點，當(dāng)為正三角形時，該橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·廣東中山·高三期末）已知橢圓的右焦點為,離心率為,直線被橢圓截得的弦長為
求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
若是橢圓上一點,是坐標(biāo)原點,過點與直線平行的直線與橢圓的兩個交點為,且,求的最大值
7．（2022·廣東·金山中學(xué)高三期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：的左，右頂點分別為A、B，點F是橢圓的右焦點，，．
(1)求橢圓C的方程；
(2)不過點A的直線l交橢圓C于M、N兩點，記直線l、AM、AN的斜率分別為k、、．若，證明直線l過定點，并求出定點的坐標(biāo)．
8．（2022·廣東潮州·高三期末）已知橢圓的離心率為，以原點O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線相切．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知點A，B為動直線y=k(x-2)(k≠0)與橢圓C的兩個交點，問：在x軸上是否存在定點E，使得為定值？若存在，試求出點E的坐標(biāo)和定值；若不存在，請說明理由．
9．（2022·廣東東莞·高三期末）已知點為橢圓的左頂點，點為右焦點，直線與軸的交點為，且，點為橢圓上異于點的任意一點，直線交于點.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)證明：.
10．（2022·廣東深圳·高三期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點在橢圓上，過點的直線l與C交于M，N兩點（異于點A），記直線AM，AN的斜率分別為，，當(dāng)時，．
(1)求C的方程；
(2)證明：為定值．
11．（2021·廣東汕頭·高三期末）已知橢圓的離心率為，又點在橢圓上．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若動直線與橢圓有且只有一個公共點，過點作直線的垂線，垂足為，試探究：是否為定值，如果是，請求出該值；如果不是，請說明理由.
12．（2022·廣東潮州·二模）設(shè)橢圓為左右焦點,為短軸端點,長軸長為4,焦距為,且,的面積為.
(Ⅰ)求橢圓的方程
(Ⅱ)設(shè)動直線橢圓有且僅有一個公共點,且與直線相交于點.試探究:在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點,使得以為直徑的圓恒過點?若存在求出點的坐標(biāo),若不存在.請說明理由.
考點二：雙曲線
【典例例題】
例1．（2022·廣東珠海·高三期末）雙曲線的右支上一點M關(guān)于原點O的對稱點為點N，F(xiàn)為雙曲線的右焦點，若，，則雙曲線C的離心率e為（ ）
A．B．C．D．
例2．（2022·廣東佛山·高三期末）已知雙曲線C的漸近線方程為，且過點.
(1)求C的方程；
(2)設(shè)，直線不經(jīng)過P點且與C相交于A，B兩點，若直線與C交于另一點D，求證：直線過定點.
【方法技巧與總結(jié)】
1.雙曲線的定義：焦點三角形
2.雙曲線的性質(zhì)：離心率、雙曲線的漸近線
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·廣東潮州·高三期末）、分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線與的左、右兩支曲線分別交于、兩點，若，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·廣東汕尾·高三期末）已知雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．2
3．（2022·廣東清遠(yuǎn)·高三期末）（多選）已知雙曲線的左、右焦點分別為，點P是雙曲線C上位于第一象限的點，過點作的角平分線的垂線，垂足為A，若O為坐標(biāo)原點，，則（ ）
A．雙曲線C的漸近線方程為 B．雙曲線C的漸近線方程為
C．雙曲線C的離心率為 D．雙曲線C的離心率為
4.（2022·廣東東莞·高三期末）已知為雙曲線：的一個焦點，則點到雙曲線的一條漸近線的距離為_______.
5.（2022·廣東深圳·高三期末）在平面直角坐標(biāo)系中，為雙曲線的一個焦點，以為圓心的圓與的兩條漸近線交于、、三點，若四邊形的面積為，則的離心率為______．
6.（2022·廣東中山·高三期末）已知點M為雙曲線C：在第一象限上一點，點F為雙曲線C的右焦點，O為坐標(biāo)原點，，則雙曲線C的離心率為___________；若分別交雙曲線C于P、Q兩點，記直線QM與PQ的斜率分別為，則___________．
29．（2022·廣東深圳·一模）已知雙曲線：經(jīng)過點A，且點到的漸近線的距離為．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)過點作斜率不為的直線與雙曲線交于M，N兩點，直線分別交直線AM，AN于點E，F(xiàn)．試判斷以EF為直徑的圓是否經(jīng)過定點，若經(jīng)過定點，請求出定點坐標(biāo)；反之，請說明理由．
考點三：拋物線
【典例例題】
例1．（2022·廣東惠州·一模）若拋物線（）上一點P（2，）到其焦點的距離為4，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．y2=2xB．y2=4xC．y2=6xD．y2=8x
例2．（2022·廣東韶關(guān)·一模）已知在平面直角坐標(biāo)系中，有兩定點，動點滿足.
(1)求動點的軌跡的方程；
(2)若拋物線與軌跡按順時針方向依次交于四點（點在第一象限）.
①求證：直線與直線相交于點；
②設(shè)的面積為S，求S取最大值時的拋物線方程.
【方法技巧與總結(jié)】
1.拋物線的定義：到準(zhǔn)線與到定點距離相等.
2.拋物線的性質(zhì)：焦點弦長
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·廣東廣州·一模）設(shè)拋物線的焦點為F，過點的直線與E相交于A，B兩點，與E的準(zhǔn)線相交于點C，點B在線段AC上，，則與的面積之比（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·廣東廣東·一模）已知O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為拋物線的焦點，P為C上一點，若，則點F到直線PO的距離為（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·廣東茂名·一模）（多選）已知拋物線C:的焦點為，準(zhǔn)線為，P是拋物線上第一象限的點，，直線PF與拋物線C的另一個交點為Q，則下列選項正確的是（ ）
A．點P的坐標(biāo)為（4，4） B． C．
D．過點作拋物線的兩條切線，其中為切點，則直線的方程為：
4．（2022·廣東·一模）（多選）已知拋物線的焦點為F，拋物線C上存在n個點，，，（且）滿足，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．時，
B．時，的最小值為9
C．時，
D．時，的最小值為8
5．（2022·廣東湛江·一模）（多選）已知F是拋物線的焦點，過點F作兩條互相垂直的直線，，與C相交于A，B兩點，與C相交于E，D兩點，M為A，B中點，N為E，D中點，直線l為拋物線C的準(zhǔn)線，則（ ）
A．點M到直線l的距離為定值B．以為直徑的圓與l相切
C．的最小值為32D．當(dāng)最小時，
6．（2022·廣東深圳·一模）（多選）已知定圓A的半徑為1，圓心A到定直線l的距離為d，動圓C與圓A和直線l都相切，圓心C的軌跡為如圖所示的兩條拋物線，記這兩拋物線的焦點到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離分別為，，則（ ）
A．B．C．D．
【鞏固練習(xí)】
一、單選題
1．橢圓：的左、右焦點分別為，，經(jīng)過點的直線與橢圓相交于A，兩點，若的周長為16，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
2．已知橢圓的左右焦點分別，左頂點為A，上頂點為B，點P為橢圓上一點，且，若，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
3．已知分別為橢圓的左右焦點，點P為橢圓上一點，以為圓心的圓與直線恰好相切于點P，則是（ ）
A．B．C．D．
4．明朝的一個葡萄紋橢圓盤如圖（1）所示，清朝的一個青花山水樓閣紋飾橢圓盤如圖（2）所示，北宋的一個汝窯橢圓盤如圖（3）所示，這三個橢圓盤的外輪廊均為橢圓.已知圖（1）?（2）?（3）中橢圓的長軸長與短軸長的比值分別，設(shè)圖（1）?（2）?（3）中橢圓的離心率分別為，則（ ）
A．B．
C．D．
5．設(shè)F為橢圓的右焦點，點，點B在C上，若，則（ ）
A．B．C．D．
6．設(shè)橢圓長軸的兩個頂點分別為、，點為橢圓上不同于、的任一點，若將的三個內(nèi)角記作、、，且滿足，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
7．已知直線過拋物線：的焦點，且與該拋物線交于兩點.若線段的長為16，的中點到軸距離為6，則（為坐標(biāo)原點）的面積是（ ）
A．B．C．D．
8.過拋物線的焦點F作直線l，交拋物線于A，B兩點，若，則直線l的傾斜角等于（ ）
A．或B．或C．或D．與p值有關(guān)
二、多選題
9．已知為橢圓的焦點，，分別為橢圓的兩個頂點（且不是離最近的那個頂點），若，，則橢圓的離心率可以為（ ）
A．B．C．D．
2．設(shè)圓錐曲線C的兩個焦點分別為，若曲線C上存在點P滿足，則曲線C的離心率可以是（ ）
A．B．C．D．2
3．雙曲線的左，右焦點分別為，，點P在C上.若是直角三角形，則的面積為（ ）
A．B．C．4D．2
4．已知橢圓的左、右焦點分別為，為上一點，則（ ）
A．的離心率為B．的周長為
C．D．
5．已知拋物線C：，過其準(zhǔn)線上的點T(1，-1)作C的兩條切線，切點分別為A、B，下列說法正確的是（ ）
A．p=1B．拋物線的焦點為F(0，1)
C．D．直線AB的斜率為
三、填空題
1．與雙曲線有相同的焦點，且短半軸長為的橢圓方程是________.
2．已知橢圓：的焦點為，．過且傾斜角為60°的直線交橢圓的上半部分于點，以，（為坐標(biāo)原點）為鄰邊作平行四邊形，點恰好也在橢圓上，則______．
3．已知橢圓的左、右頂點分別為、，上頂點為，直線和的斜率分別為、，寫出一個滿足的橢圓的方程：___________.
4.因為正三角形內(nèi)角余弦值為，所以有人將離心率為的橢圓稱為“正橢圓”.已知“正橢圓”C：的上下頂點分別為，且“正橢圓”C上有一動點P（異于橢圓的上下頂點），若直線的斜率分別為，則為______.
5．拋物線上一點與焦點F的距離，則M到坐標(biāo)原點的距離為___________.
四、解答題
1．（2022·黑龍江·佳木斯一中三模（理））已知橢圓，左焦點為，上頂點為，直線BF與橢圓交于另一點Q，且，且點在橢圓上.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)，，M是橢圓C上一點，且不與頂點重合，若直線與直線交于點P，直線與直線交于點.證明：是等腰三角形.
2．（2022·廣東深圳·二模）已知橢圓經(jīng)過點，且焦距，線段分別是它的長軸和短軸．
(1)求橢圓E的方程；
(2)若是平面上的動點，從下面兩個條件中選一個，證明：直線經(jīng)過定點．
①，直線與橢圓E的另一交點分別為P，Q；
②，直線與橢圓E的另一交點分別為P，Q．
3．（2022·廣東茂名·二模）已知橢圓C：的上頂點為A，右焦點為F，原點O到直線AF的距離為，△AOF的面積為1．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過點F的直線l與C交于M，N兩點，過點M作軸于點E，過點N作軸于點Q，QM與NE交于點P，是否存在直線l使得△PMN的面積等于，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．
(1)
(2)存在；或
標(biāo)準(zhǔn)方程
圖形
性質(zhì)
焦點
，
，
焦距
范圍
，
，
對稱性
關(guān)于軸、軸和原點對稱
頂點
，
，
軸
長軸長，短軸長
離心率
（注：離心率越小越圓，越大越扁）

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