大數(shù)據(jù)分析*預(yù)測(cè)高考
十年試題分類(lèi)*探求規(guī)律
考點(diǎn)51平面向量數(shù)量積的概念、其幾何意義及其運(yùn)算律
1．（2020全國(guó)Ⅲ理6）已知向量滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路導(dǎo)引】計(jì)算出、的值，利用平面向量數(shù)量積可計(jì)算出的值．
【解析】，，，．
，因此．故選D．
2．（2020山東7）已知是邊長(zhǎng)為的正六邊形內(nèi)的一點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【思路導(dǎo)引】首先根據(jù)題中所給的條件，結(jié)合正六邊形的特征，得到在方向上的投影的取值范圍是，利用向量數(shù)量積的定義式，求得結(jié)果．
【解析】解法一：的模為2，根據(jù)正六邊形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范圍是，結(jié)合向量數(shù)量積的定義式，可知等于的模與在方向上的投影的乘積，所以的取值范圍是，故選：A．
解法二：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，由題意知，，，，設(shè)，則，∵，∴，∴的取值范圍是．
3．（2018?新課標(biāo)Ⅱ，理4）已知向量，滿足，，則
A．4B．3C．2D．0
【答案】B
【解析】向量，滿足，，則，故選．
4．（2016新課標(biāo)，理3）已知向量 ， 則ABC=
(A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200
【答案】A
【解析】由題意，得，所以，故選A．
5．（2017北京）設(shè)， 為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】因?yàn)闉榉橇阆蛄?，所以的充要條件是．因?yàn)?，則由可知的方向相反，，所以，所以“存在負(fù)數(shù)，使得”可推出“”；而可推出，但不一定推出的方向相反，從而不一定推得“存在負(fù)數(shù)，使得”，所以“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的充分而不必要條件．
6．（2013湖北）已知點(diǎn)、、、，則向量在方向上的投影為
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】=（2，1），=（5，5），則向量在向量方向上的射影為
7．（2011遼寧）已知向量，，，則
A． B． C．6 D．12
【答案】D
【解析】 ∵，由，得，∴，解得．
8．(2015山東)已知菱形ABCD 的邊長(zhǎng)為，，則＝
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由菱形的邊長(zhǎng)為，可知，
．
9．（2015四川）設(shè)四邊形為平行四邊形，，．若點(diǎn)滿足
，，則（ ）
A．20 B．15 C．9 D．6
【答案】C
【解析】，所以 ====9，選C．
10．（2014天津）已知菱形的邊長(zhǎng)為2，，點(diǎn)分別在邊上，，．若，，則
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，，因?yàn)椋?，? ①，同理可得 ②，①+②得．
11．（2012天津）在△ABC中，A=90°，AB=1，設(shè)點(diǎn)P，Q滿足，，．若，則（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】如圖，設(shè) ，則，又 = =，，∴= ==，即，選B．
12．（2020全國(guó)Ⅰ文14）設(shè)向量，若，則 ．
【答案】5
【思路導(dǎo)引】根據(jù)向量垂直，結(jié)合題中所給的向量的坐標(biāo)，利用向量垂直的坐標(biāo)表示，求得結(jié)果．
【解析】由可得，又∵，
∴，即，故答案為：．
13．（2020全國(guó)Ⅱ理13）已知單位向量的夾角為45°，與垂直，則__________．
【答案】
【思路導(dǎo)引】首先求得向量的數(shù)量積，然后結(jié)合向量垂直的充分必要條件即可求得實(shí)數(shù)k的值．
【解析】由題意可得：，由向量垂直的充分必要條件可得：，
即：，解得：，故答案為：．
14．（2020全國(guó)Ⅰ理14）設(shè)為單位向量，且，則 ．
【答案】
【思路導(dǎo)引】整理已知可得：，再利用為單位向量即可求得，對(duì)變形可得：，問(wèn)題得解．
【解析】∵為單位向量，∴，
∴，解得：，
∴，故答案為：．
15．（2019?新課標(biāo)Ⅲ，文13）已知向量，，則， ．
【答案】
【解析】由題知，，，，
，．
16．（2014新課標(biāo)Ⅰ，理15）已知A，B，C是圓O上的三點(diǎn)，若，則與的夾角為 ．
【答案】
【解析】∵，∴O為線段BC中點(diǎn)，故BC為的直徑，
∴，∴與的夾角為．
17．（2013新課標(biāo)Ⅰ，理13文13）已知兩個(gè)單位向量a，b的夾角為60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c=0，則t=_____．
【答案】2
【解析】=====0，解得=．
18．（2013新課標(biāo)Ⅱ，理13文14）已知正方形ABC的邊長(zhǎng)為2，E為CD的中點(diǎn)，則= ．
【答案】2
【解析】===4-2=2．
19．（2011江蘇）已知，是夾角為的兩個(gè)單位向量，，， 若，則的值為 ．
【答案】
【解析】由題意知，即，即，化簡(jiǎn)可求得．
20．（2017天津）在中，，，．若，
，且，則的值為_(kāi)__________．
【答案】
【解析】，，則 ==，解得．
21．（2014天津）已知菱形的邊長(zhǎng)為，，點(diǎn)，分別在邊、上，，．若，則的值為_(kāi)_______．
【答案】
【解析】因?yàn)椋庑蔚倪呴L(zhǎng)為2，所以．因?yàn)?，由，所以，解得?br>考點(diǎn)52平面向量數(shù)量積性質(zhì)的應(yīng)用
1．（2020全國(guó)Ⅱ文5）已知單位向量的夾角為60°，則在下列向量中，與垂直的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【思路導(dǎo)引】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義、運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合兩平面向量垂直數(shù)量積為零這一性質(zhì)逐一判斷即可．
【解析】由已知可得：．
A：∵，∴本選項(xiàng)不符合題意；
B：∵，∴本選項(xiàng)不符合題意；
C：∵，∴本選項(xiàng)不符合題意；
D：∵，∴本選項(xiàng)符合題意．故選D．
2．（2019?新課標(biāo)Ⅰ，理7文8）已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，，，，，故選．
3．（2017?新課標(biāo)Ⅱ，文4）設(shè)非零向量，滿足則
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】非零向量，滿足，，即，∴，，故選．
4．（2016新課標(biāo)，理3）已知向量，且，則m=（ ）
（A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8
【答案】D
【解析】由題知a+b=，所以==0，解得，故選D．
5．（2014新課標(biāo)Ⅱ，理3文4）設(shè)向量滿足，，則（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D． 5
【答案】A
【解析】∵，，∴……①，……②．
由①②得：，故選A．
6．(2018北京)設(shè)，均為單位向量，則“”是“⊥”的
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】∵，∴，∴
，又，∴，∴；反之也成立，故選C．
7．（2016年山東）已知非零向量滿足，．若，則實(shí)數(shù)t的值為（ ）
A．4 B．–4 C． D．–
【答案】B
【解析】由可得，即，所以．故選B．
8．(2015重慶)若非零向量，滿足，且，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意，即，所以，，，選A．
9．（2015陜西）對(duì)任意向量，下列關(guān)系式中不恒成立的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)向量、的夾角為，∵，∴A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，∵當(dāng)向量、反向時(shí)，，∴B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，由向量的平方等于向量模的平方可知，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可推導(dǎo)出，故D選項(xiàng)正確，綜上選B．
10．（2015安徽）是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，已知向量，滿足，，則下列結(jié)論正確的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖由題意，，故，故錯(cuò)誤；，所以，又，所以，故錯(cuò)誤；設(shè)中點(diǎn)為，則，且，所以，故選D．
11．(2014山東)已知向量． 若向量的夾角為，則實(shí)數(shù)（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【解析】由題意得，兩邊平方化簡(jiǎn)得，
解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．
12．（2014重慶）已知向量，，，且，則實(shí)數(shù)
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，，所以=．解得，選C
13．（2012陜西）設(shè)向量=（1，）與=（1，2）垂直，則等于
A． B． C．0 D．－1
【答案】C
【解析】正確的是C．
14．（2012浙江）設(shè)，是兩個(gè)非零向量
A．若，則
B．若，則
C．若，則存在實(shí)數(shù)，使得
D．若存在實(shí)數(shù)，使得，則
【答案】C
【解析】 因?yàn)?，，所以不垂直，A不正確，同理B也不正確；因?yàn)?，則，所以共線，故存在實(shí)數(shù)，使得，C正確；若，則，此時(shí)，所以D不正確．
15．（2019?新課標(biāo)Ⅲ，理13）已知，為單位向量，且，若，則， ．
【答案】
【解析】∵，，
，，．
16．（2017?新課標(biāo)Ⅰ，理13）已知向量，的夾角為，，，則 ．
【答案】
【解析】向量，的夾角為，且，，
，．
17．（2017?新課標(biāo)Ⅰ，文13）已知向量，，若向量與垂直，則 ．
【答案】7
【解析】向量，，，向量與垂直，
，解得．
18．（2017?新課標(biāo)Ⅲ，文13）已知向量，，且，則 ．
【答案】2
【解析】向量，，且，，解得．
19．(2016新課標(biāo)，理13)設(shè)向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，則m= ．
【答案】-2
【解析】由|a+b|2=|a|2+|b|2得，=0，所以，解得．
20．（2016?新課標(biāo)Ⅰ，文13）設(shè)向量，，且，則 ．
【答案】
【解析】，，即，∴．
21．（2012課標(biāo)，理13）已知向量，夾角為，且||=1，||=，則||= ．
【答案】．
【解析】∵||=，平方得，即，解得||=或（舍）
22．（2011新課標(biāo)，文13）已知與為兩個(gè)不共線的單位向量，為實(shí)數(shù)，若向量與向量垂直， 則= ．
【答案】1
【解析】∵與為 兩個(gè)不共線的單位向量，∴||=1，||=1，且與夾角不為0也不為，∴，又∵向量與向量垂直，∴====0，∴=0，∴=1．
23．(2017山東)已知，是互相垂直的單位向量，若與的夾角為，則實(shí)數(shù)的值是 ．
【答案】
【解析】，
，
，
，解得：．
24．（2015湖北）已知向量，，則 ．
【答案】9
【解析】因?yàn)椋?．
25．（2014四川）平面向量，，（），且與的夾角等于與的夾角，則____________．
【答案】2
【解析1】，因?yàn)?，，所以，又，所以，?br>26．（2013北京）已知向量，夾角為，且，，則．
【答案】
【解析】
27．（2012湖北）已知向量=（1，0），=（1，1），則
（Ⅰ）與同向的單位向量的坐標(biāo)表示為_(kāi)___________；
（Ⅱ）向量與向量夾角的余弦值為_(kāi)___________．
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）由，得．設(shè)與同向的單位向量為，則且，解得故．即與同向的單位向量的坐標(biāo)為．
（Ⅱ）由，得．設(shè)向量與向量的夾角為，則．
28．（2012安徽）若平面向量，滿足：；則的最小值是．
【答案】
【解析】，
∴
29．（2011安徽）已知向量滿足，且，，則與的夾角為 ．
【答案】
【解析】設(shè)與的夾角為，由題意有，所以，因此，所以．
考點(diǎn)53平面向量的綜合應(yīng)用
1．（2019?新課標(biāo)Ⅱ，理3）已知，，，則
A．B．C．2D．3
【答案】C
【解析】，，，，即，則，故選．
2．（2017?新課標(biāo)Ⅱ，理12）已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】建立如圖所示的坐標(biāo)系，以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，，，
設(shè)，則，，，則，當(dāng)，時(shí)，取得最小值，故選．
3．（2017?新課標(biāo)Ⅲ，理12）在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓上．若，則的最大值為
A．3B．C．D．2
【答案】A
【解析】如圖：以為原點(diǎn)，以，所在的直線為，軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，
則，，，，動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓上，
設(shè)圓的半徑為，，，，，，
圓的方程為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，
，，，，，，
，，，其中，∵，∴，故的最大值為3，故選．
4．（2015新課標(biāo)Ⅰ，理5）已知M（x0，y0）是雙曲線C：上的一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是C上的兩個(gè)焦點(diǎn)，若＜0，則y0的取值范圍是（ ）
（A）（-，）（B）（-，）
（C）（，） （D）（，）
【答案】A
【解析】由題知，，所以= =，解得，故選A．
5．（2011新課標(biāo)，理10）已知與均為單位向量，其中夾角為，有下列四個(gè)命題
：∈[0，） ：∈(，]
： ∈[0， ） ：∈(，]
其中真命題是
（A）， (B) ， (C) ， (D) ，
【答案】A
【解析】由得，，即＞，即=＞，
∵∈[0，]，∴∈[0，），
由得，，即＜，即=＜，∵∈[0，]，∴∈(，]，故選A．
6．（2016年天津）已知是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，則的值為
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)，，∴，，，
∴，故選B．
7．（2014安徽）設(shè)為非零向量，，兩組向量和均由2個(gè)和2個(gè)排列而成，若所有可能取值中的最小值為，則與的夾角為
A． B． C． D．0
【答案】B
【解析】設(shè)，若的表達(dá)式中有0個(gè)，則，記為，若的表達(dá)式中有2個(gè)，則，記為，若的表達(dá)式中有4個(gè)，則，記為，又，所以，，
，∴，故，設(shè)的夾角為，
則，即，又，所以．
8．（2014浙江）設(shè)為兩個(gè)非零向量，的夾角，已知對(duì)任意實(shí)數(shù)，是最小值為1
A．若確定，則唯一確定 B．若確定，則唯一確定
C．若確定，則唯一確定 D．若確定，則唯一確定
【答案】B
【解析】由于，令，而是任意實(shí)數(shù)，所以可得的最小值為，
即，則知若確定，則唯一確定．
9．（2013福建）在四邊形中，，則該四邊形的面積為
A． B． C．5 D．10
【答案】C
【解析】 因?yàn)?，所以，所以四邊形的面積為，故選C．
10．（2013浙江）設(shè)，是邊上一定點(diǎn)，滿足，且對(duì)于邊上任一點(diǎn)，恒有．則
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意，設(shè)，則，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，
在上任取一點(diǎn)，設(shè)，則由數(shù)量積的幾何意義可得，
，，
于是恒成立，相當(dāng)于恒成立，
整理得恒成立，只需
即可，于是，因此我們得到，即是的中點(diǎn)，故△是等腰三角形，所以．
11．（2013湖南）已知是單位向量，．若向量滿足，則的最大值為
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】建立平面直角坐標(biāo)系，令向量的坐標(biāo)，又設(shè)，代入得，又的最大值為圓上的動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值，即圓心(1，1)到原點(diǎn)的距離加圓的半徑，即．
12．（2013重慶）在平面上，，，．若，則的取值范圍是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)椤停钥梢訟為原點(diǎn)，分別以，所在直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)B1(a，0)，B2(0，b)，O(x，y)，則＝＋＝(a，b)，即P(a，b)．由||＝||＝1，得(x－a)2＋y2＝x2＋(y－b)2＝1，所以(x－a)2＝1－y2≥0，(y－b)2＝1－x2≥0，由||＜，得(x－a)2＋(y－b)2＜，即0≤1－x2＋1－y2＜，所以＜x2＋y2≤2，即，所以||的取值范圍是，故選D．
13．(2018天津)如圖，在平面四邊形中，，，，
． 若點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，建立如圖的平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)樵谄矫嫠倪呅沃?，，，所以，，，設(shè)，，所以，，因?yàn)?，所以，即，解得，即，因?yàn)樵谏希?，由，得，即，因?yàn)椋?，所?==，令，，因?yàn)楹瘮?shù)在 上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．所以的最小值為，故選A．
14．(2018浙江)已知，，是平面向量，是單位向量．若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是（ ）
A． B．C．2 D．
【答案】A
【解析】解法一 設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，，由得，即，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，l為半徑的圓．因?yàn)榕c的夾角為，所以不妨令點(diǎn)在射線()上，如圖，數(shù)形結(jié)合可知．故選A．
解法二 由得．設(shè)，，，所以，，所以，取的中點(diǎn)為．則在以為圓心，為直徑的圓上，如圖，設(shè)，作射線，使得，所以 =．故選A．
15．（2017浙江）如圖，已知平面四邊形，，，，與交于點(diǎn)，記，，，則
A．

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