?專訓(xùn)27.1.3 相似多邊形的判定和性質(zhì)
一、單選題
1．（2021·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知矩形中，，下列四個(gè)矩形中與矩形相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用相似多邊形對應(yīng)邊的比相等，即可找出結(jié)論．
【詳解】
解：∵，∴A選項(xiàng)中的矩形與矩形ABCD相似，該選項(xiàng)正確；
∵，∴B選項(xiàng)中的矩形與矩形ABCD不相似，該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
∵，∴C選項(xiàng)中的矩形與矩形ABCD不相似，該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
∵，∴D選項(xiàng)中的矩形與矩形ABCD不相似，該選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選A．
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，牢記“相似多邊形對應(yīng)邊的比相等”是解題的關(guān)鍵．
2．（2020·山東北區(qū)·九年級(jí)期末）如圖，細(xì)線平行于正多邊形一邊，并把它分割成兩部分，則陰影部分多邊形與原多邊形相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用相似多邊形的判定方法判斷即可．
【詳解】
解：A、陰影三角形與原三角形的對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊的比相等，符合相似多邊形的定義，符合題意；
B、陰影矩形與原矩形的對應(yīng)角相等，但對應(yīng)邊的比不相等，不符合相似多邊形的定義，不符合題意；
C、陰影五邊形與原五邊形的對應(yīng)角相等，但對應(yīng)邊的比不相等，不符合相似多邊形的定義，不符合題意；
D、陰影六邊形與原六邊形的對應(yīng)角相等，但對應(yīng)邊的比不相等，不符合相似多邊形的定義，不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似多邊形的定義，解題的關(guān)鍵是了解相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等．
3．（2021·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，取一張長為a，寬為b的長方形紙片，將它對折兩次后得到一張小長方形紙片，若要使小長方形與原長方形相似，則原長方形紙片的邊a、b應(yīng)滿足的條件是（ ）

A．a(chǎn)＝b B．a(chǎn)＝2b C．a(chǎn)＝2b D．a(chǎn)＝4b
【答案】B
【分析】
根據(jù)對折表示出小長方形的長和寬，再根據(jù)相似多邊形的判定，對應(yīng)邊成比例列式計(jì)算即可．
【詳解】
解：對折兩次后的小長方形的長為b，寬為，
要使小長方形與原長方形相似，只要滿足即可，
∴．
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似多邊形的判定，準(zhǔn)確表示出小長方形的長和寬是解題的關(guān)鍵．
4．（2021·河北·九年級(jí)專題練習(xí)）將矩形按照如圖所示的方式向外擴(kuò)張得到新矩形，每條對角線向其延長線兩個(gè)方向各延伸，若所得新矩形與原矩形相似，則的值的個(gè)數(shù)可以是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．無數(shù)個(gè)
【答案】D
【分析】
根據(jù)相似多邊形的對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等進(jìn)行分析判斷．
【詳解】
新矩形與原矩形相似，因此可得到對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等，與a的取值無關(guān)，
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似多邊形的判定，矩形性質(zhì)的應(yīng)用，能理解相似多邊形的判定定理是解此題的關(guān)鍵．
5．（2020·河北保定師范附屬學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，在矩形、三角形、正五邊形、菱形的外邊加一個(gè)寬度一樣的外框，保證外框的邊界與原圖形對應(yīng)邊平行，則外框與原圖一定相似的有（ ）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3 D．4個(gè)
【答案】C
【分析】
根據(jù)相似多邊形的判定定理對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定最后答案．
【詳解】
矩形的原圖與外框不相似，因?yàn)槠鋵?yīng)角的度數(shù)一定相同，但對應(yīng)邊的比值不一定相等，不符合相似的條件；
銳角三角形的原圖與外框相似，因?yàn)槠鋵?yīng)角均相等，對應(yīng)邊均對應(yīng)成比例，符合相似的條件；
正五邊形相似，因?yàn)樗鼈兊倪呴L都對應(yīng)成比例、對應(yīng)角都相等，符合相似的條件；
菱形的原圖與外框相似，因?yàn)槠鋵?yīng)角均相等，對應(yīng)邊均對應(yīng)成比例，符合相似的條件．
綜上，外框與原圖一定相似的有3個(gè)，
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了相似圖形的概念，注意邊數(shù)相同、各角對應(yīng)相等、各邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)多邊形是相似多邊形．
6．（2021·河南·鄭州中原一中實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)月考）如圖，將一張矩形紙片沿它的長邊折疊兩次（EF、GH為折痕），得到三個(gè)全等的小矩形，如果小矩形與原來的矩形相似，那么小矩形的長邊與短邊的比是（ ）

A． B． C．2：1 D．3：1
【答案】B
【分析】
先分別表示出對折前后的矩形的長和寬，再根據(jù)小矩形與原來的矩形相似可得對應(yīng)邊成比例，由此列出比例式求解即可．
【詳解】
解：設(shè)原來矩形的長為，寬為，
則對折后的小矩形的長為，寬為，
得到的三個(gè)全等的小矩形都和原矩形相似，
，
，
（舍負(fù)），
∴．
故選：B．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握相似多邊形對應(yīng)邊成比例．
7．（2021·遼寧·沈陽市光明中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，一張矩形紙片沿它的長邊AD對折（折痕為EF），得到兩個(gè)全等的小矩形，若小矩形與原來的矩形相似，那么原來矩形的長邊與短邊之比為（　?。?br />
A．1：1 B．：1 C．：1 D．2：1
【答案】B
【分析】
設(shè)原來矩形的長為x，寬為y，表示出對折后的矩形的長和寬，再根據(jù)相似矩形對應(yīng)邊成比例列出比例式，然后求解．
【詳解】
解：設(shè)原來矩形的長為x，寬為y，
則對折后的矩形的長為y，寬為，
∵得到的兩個(gè)矩形都和原矩形相似，
∴x：y＝y(tǒng)：，
解得，（負(fù)值舍去）
∴x：y＝：1．
故選：B．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握相似多邊形對應(yīng)邊成比例，列出比例式求值．
8．（2021·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，矩形ABCD∽矩形FAHG，連結(jié)BD，延長GH分別交BD、BC于點(diǎn)Ⅰ、J，延長CD、FG交于點(diǎn)E，一定能求出△BIJ面積的條件是（　　）

A．矩形ABJH和矩形HJCD的面積之差
B．矩形ABJH和矩形HDEG的面積之差
C．矩形ABCD和矩形AHGF的面積之差
D．矩形FBJG和矩形GJCE的面積之差
【答案】B
【分析】
設(shè)矩形的邊AH＝x，GH＝y(tǒng)，EG＝a，DC＝b，根據(jù)平行線分線段成比例可得JI＝，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)可得＝，然后表示出S陰影的面積和S矩形ABJH﹣S矩形HDEG的值即可求解．
【詳解】
解：設(shè)矩形的邊AH＝x，GH＝y(tǒng)，EG＝a，DC＝b，
則BJ＝x，JC＝a，
∵JI//CD，
∴＝即JI＝，
∵矩形ABCD∽矩形FAHG，
∴＝，
即＝，
∴x+a＝，
∴S陰影＝BJ?JI
＝x?
＝xy．
∵S矩形ABJH﹣S矩形HDEG
＝xb﹣ay
＝x?﹣ay
＝xy．
∴S陰影△BIJ＝(S矩形ABJH﹣S矩形HDEG)．
所以一定能求出△BIJ面積的條件是矩形ABJH和矩形HDEG的面積之差．
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似多邊形的性質(zhì)、三角形的面積、矩形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握相似多邊形的性質(zhì)．
9．（2020·四川·渠縣第三中學(xué)九年級(jí)月考）如圖所示，一般書本的紙張是在原紙張多次對開得到．矩形沿對開后，再把矩形沿對開，依此類推，若各種開本的矩形都相似，那么等于（　?。?br />
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)矩形ABCD的面積是矩形ABFE面積的2倍，得出相似圖形面積比是相似比的平方，進(jìn)而得出的值．
【詳解】
解：∵矩形ABCD的面積是矩形ABFE面積的2倍，各種開本的矩形都相似，
∴（）2=2，
∴=．
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，即相似多邊形面積的比等于相似比的平方．
10．（2021·河北·石家莊市第二十八中學(xué)九年級(jí)月考）甲：將邊長為3、4、5的三角形按圖1的方式向外擴(kuò)張，得到新三角形，它們的對應(yīng)邊間距為1，則新三角形與原三角形相似．
乙：將鄰邊為3和5的矩形按圖2的方式向外擴(kuò)張，得到新的矩形，它們的對應(yīng)邊間距均為1，則新矩形與原矩形相似．
對于兩人的觀點(diǎn)，下列說法正確的是（ ）

A．兩人都對 B．兩人都不對 C．甲對，乙不對 D．甲不對，乙對
【答案】C
【分析】
甲：根據(jù)題意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，即可證得∠A=∠A′，∠B=∠B′，可得△ABC∽△A′B′C′；
乙：根據(jù)題意得：AB=CD=3，AD=BC=5，則A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，則可得，即新矩形與原矩形不相似．
【詳解】
解：甲：根據(jù)題意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，
∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴甲說法正確；
乙：∵根據(jù)題意得：AB=CD=3，AD=BC=5，則A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，
∴，
∴，
∴新矩形與原矩形不相似．
∴乙說法不正確．
故選：C．
【點(diǎn)睛】
此題考查了相似三角形以及相似多邊形的判定．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
11．（2021·重慶南岸·九年級(jí)期末）如圖，一塊矩形紙片，長為20cm，寬為15cm，現(xiàn)在把這個(gè)矩形紙片的左右同時(shí)剪去寬為cm的紙條、上下同時(shí)剪去寬為cm的紙條（如圖所示的陰影部分），要使剩下的矩形與原來的矩形相似，則與滿足的關(guān)系式為（ ）


A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)題意，剩下矩形與原矩形相似，利用相似形的對應(yīng)邊的比相等可得．
【詳解】
解：依題意，要使剩下的矩形與原來的矩形相似，
則
15（20-2y）=20(15-2x)
3（20-2y）=4(15-2x)
60-6y=60-8x
-6y=-8x
3y=4x
即．
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似形的對應(yīng)邊的比相等，分清矩形的對應(yīng)邊是解決本題的關(guān)鍵．
12．（2021·浙江浙江·九年級(jí)月考）如圖，矩形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在菱形的四條邊上，．將，分別沿邊，折疊，當(dāng)重疊部分為菱形且面積是菱形面積的時(shí)，則為（ ）

A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】
設(shè)重疊的菱形邊長為x，BE=BF=y，由矩形和菱形的對稱性以及折疊的性質(zhì)得：四邊形AHME、四邊形BENF是菱形，得出EN=BE=y，EM=x+y，由相似的性質(zhì)得出AB=4MN=4x，求出AE=AB-BE=4x-y，得出方程4x-y=x+y，得出x=y，AE=y，即可得出結(jié)論．
【詳解】
解：設(shè)重疊的菱形邊長為x，BE=BF=y，
由矩形和菱形的對稱性以及折疊的性質(zhì)得：四邊形AHME、四邊形BENF是菱形，
∴AE=EM，EN=BE=y，EM=x+y，
∵當(dāng)重疊部分為菱形且面積是菱形ABCD面積的，且兩個(gè)菱形相似，
∴AB=4MN=4x，
∴AE=AB-BE=4x-y，
∴4x-y=x+y，
解得：x=y，
∴AE=y，
∴，
∴，
故選：D．

【點(diǎn)睛】
本題考查了折疊的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、相似多邊形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題．


二、多選題
13．（2021·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形、銳角三角形、正五邊形、直角三角形的外邊加一個(gè)寬度一樣的外框，保證外框的邊與原圖形的對應(yīng)邊平行，則外框與原圖一定相似的有（　 ?。?br /> A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】
根據(jù)相似多邊形的判定定理對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定最后答案．
【詳解】
解：矩形不相似，因?yàn)槠鋵?yīng)角的度數(shù)一定相同，但對應(yīng)邊的比值不一定相等，不符合相似的條件，故A不符合題意；
銳角三角形、正五邊形、直角三角形的原圖與外框相似，因?yàn)槠鋵?yīng)角均相等，對應(yīng)邊均對應(yīng)成比例，符合相似的條件，故B、C、D符合題意．
故選BCD．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了相似圖形判定，注意邊數(shù)相同、各角對應(yīng)相等、各邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)多邊形是相似多邊形．

三、填空題
14．（2021·廣東順德·九年級(jí)月考）如圖，在矩形ABCD中，AD＞AB，AB＝2．點(diǎn)E在矩形ABCD的邊BC上，連結(jié)AE，將矩形ABCD沿AE翻折，翻折后的點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)F處，得到矩形CDFE．若矩形CDFE與原矩形ABCD相似，則AD的長為__．

【答案】
【分析】
根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可．
【詳解】
∵矩形CDFE∽矩形ADCB，
∴＝，即＝，
整理得，AD2﹣2AD﹣4＝0，
解得，AD1＝1﹣（舍去），AD2＝，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，掌握相似多邊形的對應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵．
15．（2021·山西·太原市志達(dá)中學(xué)校九年級(jí)月考）復(fù)印紙型號(hào)多樣，而各型號(hào)復(fù)印紙之間存在這樣的關(guān)系：將其中一型號(hào)紙張（如A3紙）沿較長邊中點(diǎn)的連線對折，就能得到下一型號(hào)（A4紙）的紙張，且對折得到的兩個(gè)矩形和原來的矩形相似（即A3紙與A4紙相似），則這些型號(hào)的復(fù)印紙寬與長之比為________．

【答案】
【分析】
設(shè)這些型號(hào)的復(fù)印紙的長、寬分別為b、a，根據(jù)相似多邊形的對應(yīng)邊的比相等列出比例式，計(jì)算即可．
【詳解】
解：設(shè)這些型號(hào)的復(fù)印紙的長、寬分別為、，
得到的矩形都和原來的矩形相似，
，則，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，相似多邊形的性質(zhì)為：①對應(yīng)角相等；②對應(yīng)邊的比相等．
16．（2021·山西孝義·九年級(jí)期末）如圖所示，復(fù)印紙的型號(hào)有A0，A1，A2，A3，A4等，它們之間存在著這樣一種關(guān)系：將其中某一型號(hào)（如A3）的復(fù)印紙沿較長邊的中點(diǎn)對折，就能得到兩張下一型號(hào)（A4）的復(fù)印紙，且得到的兩個(gè)矩形都和原來的矩形相似，那么這些型號(hào)的復(fù)印紙的長、寬之比為______．

【答案】
【分析】
設(shè)這些型號(hào)的復(fù)印紙的長、寬分別為b、a，根據(jù)相似多邊形的對應(yīng)邊的比相等列出比例式，計(jì)算即可．
【詳解】
解：設(shè)這些型號(hào)的復(fù)印紙的長、寬分別為b、a，
∵得到的矩形都和原來的矩形相似，
∴，
則，
∴，
∴這些型號(hào)的復(fù)印紙的長寬之比為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，相似多邊形的性質(zhì)為：①對應(yīng)角相等；②對應(yīng)邊的比相等．
17．（2021·上海·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AD=2，CD=1，連接AC，以對角線AC為邊，按逆時(shí)針方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再連接AC1，以對角線AC1為邊作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1，…，按此規(guī)律繼續(xù)下去，則矩形AB4C4C3的面積為_____．

【答案】
【分析】
利用勾股定理可求得AC的長，根據(jù)面積比等于相似比的平方可得矩形AB1C1C的面積，同理可求出矩形AB2C2C1、AB3C3C2，……的面積，從而可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律即可求得第n個(gè)矩形的面積，繼而即可求得矩形AB4C4C3的面積．
【詳解】
∵在矩形ABCD中，AD=2，CD=1，
∴AC=，
∵矩形ABCD與矩形AB1C1C相似，
∴矩形AB1C1C與矩形ABCD的相似比為，
∴矩形AB1C1C與矩形ABCD的面積比為，
∵矩形ABCD的面積為1×2=2，
∴矩形AB1C1C的面積為2×=，
同理：矩形AB2C2C1的面積為×==，
矩形AB3C3C2的面積為×==，
……
∴矩形ABnCnCn-1面積為，
∴矩形AB4C4C3的面積為=，
故答案為：
【點(diǎn)睛】
本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似多邊形的性質(zhì)，根據(jù)求出的結(jié)果得出規(guī)律并熟記相似圖形的面積比等于相似比的平方是解題關(guān)鍵．

四、解答題
18．（2021·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）先判斷下列各命題的真假，然后寫出它們的逆命題，并判斷逆命題的真假：
（1）對角線互相垂直的四邊形是菱形；
（2）相似四邊形對應(yīng)邊成比例．
【答案】（1）原命題是假命題；逆命題：菱形的對角線互相垂直；逆命題是真命題；（2）原命題是真命題；逆命題：四條邊分別對應(yīng)成比例的四邊形是相似四邊形；逆命題是假命題．
【分析】
（1）先利用舉反例的方法判斷原命題是假命題，再把原命題的題設(shè)與結(jié)論交換位置可得命題的逆命題，再利用菱形的性質(zhì)可得其逆命題是真命題，從而可得答案；
（2）先利用相似多邊形的性質(zhì)可得原命題是真命題，再把原命題的題設(shè)與結(jié)論交換位置可得其逆命題，再利用舉反例的方法可得其逆命題是假命題，從而可得答案.
【詳解】
解：（1）如圖：

所以：命題：“對角線互相垂直的四邊形是菱形”是假命題，
“對角線互相垂直的四邊形是菱形”的逆命題是：
菱形的對角線互相垂直，由菱形是軸對稱圖形可得：其逆命題是真命題，
（2）由相似多邊形的對應(yīng)邊成比例可得：
命題“相似四邊形對應(yīng)邊成比例．”是真命題，
“相似四邊形對應(yīng)邊成比例”的逆命題是：
四條邊分別對應(yīng)成比例的四邊形是相似四邊形，
如圖：

菱形與正方形的四條邊對應(yīng)成比例，而四個(gè)角不對應(yīng)相等，所以兩個(gè)圖形不相似，
“相似四邊形對應(yīng)邊成比例”其逆命題是假命題.
【點(diǎn)睛】
本題考查的命題的逆命題，命題的真假判斷，掌握舉反例判斷命題是假命題是解本題的關(guān)鍵.
19．（2021·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，矩形草坪長、寬．沿草坪四周有寬的環(huán)行小路，小路內(nèi)外邊緣形成的兩個(gè)矩形相似嗎？說出你的理由．

【答案】不相似．小路內(nèi)外邊緣形成的兩個(gè)矩形的邊長分別為30，20和28，18．因?yàn)椋?，即這兩個(gè)矩形的邊不成比例，所以它們不相似
【分析】
根據(jù)已知條件，可求出小路內(nèi)側(cè)矩形的長和寬分別為28，8；再把兩個(gè)矩形的邊分兩種情況進(jìn)行比值運(yùn)算，結(jié)果，，即可得出答案．
【詳解】
解：不相似．理由如下：
因?yàn)椴萜核闹苡袑挼沫h(huán)行小路，
所以小路內(nèi)外邊緣形成的兩個(gè)矩形的邊長分別為30，20和28，18；
因?yàn)?，，即這兩個(gè)矩形的邊不成比例，
所以它們不相似．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了相似圖形的判定，即不僅要對應(yīng)角相等，還要對應(yīng)邊成比例．
20．（2021·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形是矩形，點(diǎn)F在對角線AC上運(yùn)動(dòng)，，．四邊形和四邊形一直保持相似嗎？證明你的結(jié)論．

【答案】四邊形與四邊形一直保持相似．原因是它們的角分別相等、邊成比例．
【分析】
由，證明再證明四個(gè)角分別對應(yīng)相等，四條邊分別對應(yīng)成比例，從而可得答案.
【詳解】
解： ，，

即
，，




四邊形與四邊形一直保持相似．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是四邊形相似的判定，掌握“四個(gè)角分別對應(yīng)相等，四條邊分別對應(yīng)成比例的兩個(gè)四邊形相似”是解題的關(guān)鍵.
21．（2021·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）圖中每組兩個(gè)矩形相似嗎？說說你的理由．

【答案】第（1）組的兩個(gè)矩形相似；第（2）組的兩個(gè)矩形不相以，證明見解析．
【分析】
利用相似多邊形的判定定理進(jìn)行證明即可．
【詳解】
解：第（1）組的兩個(gè)矩形相似；
，
第（1）組的兩個(gè)矩形相似；
，
第（2）組的兩個(gè)矩形不相似．
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似多邊形的判定定理，解題的關(guān)鍵是掌握相應(yīng)的判定定理．
22．（2021·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示的兩個(gè)五邊形相似，求a，b，c，d的值．

【答案】，，，
【分析】
根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)求解即可；
【詳解】
∵兩個(gè)五邊形相似，
∴相似比是，
∴，
解得，，，．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了利用相似多邊形的性質(zhì)應(yīng)用，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
23．（2021·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，一塊矩形綢布的長，寬，按照圖中所示的方式將它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的寬與長的比與原綢布的寬與長的比相同，即，那么a的值應(yīng)當(dāng)是多少？

【答案】
【分析】
由裁出的每面彩旗的寬與長的比與原綢布的寬與長的比相同，構(gòu)建方程求解即可．
【詳解】
解：根據(jù)題意可知，．
由，得，
即．
∴．
開平方，得（舍去）．
【點(diǎn)睛】
此題考查了相似多邊形的性質(zhì)．注意相似多邊形的對應(yīng)邊成比例．
24．（2021·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，將一張矩形紙片沿它的長邊對折（為折痕），得到兩個(gè)全等的小矩形．如果小矩形長邊與短邊的比等于原來矩形長邊與短邊的比，那么原來矩形的長邊與短邊的比是多少？


【答案】原來矩形長邊與短邊的比為．
【分析】
先根據(jù)題意得到，再代入變形得到，然后求解．
【詳解】
根據(jù)題意，得．
將代入，得，開平方得（舍去）．
【點(diǎn)睛】
本題主要利用相似多邊形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，需要熟練掌握．
25．（2021·山東張店·八年級(jí)期末）如圖，四邊形四邊形，且，，，，，，．

（1）請直接寫出：______度；
（2）求邊和的長．
【答案】（1）83；（2）AB＝，BC＝12．
【分析】
（1）根據(jù)相似多邊形的對應(yīng)角相等以及四邊形內(nèi)角和360°解決問題即可．
（2）利用相似多邊形的對應(yīng)邊成比例，解決問題即可．
【詳解】
解：（1）∵四邊形ABCD∽四邊形A′B′C′D′，
∴∠D＝∠D′＝140°，
∴∠C＝360°?∠A?∠B?∠D＝360°?62°?75°?140°＝83°，
故答案為：83；
（2）∵四邊形ABCD∽四邊形A′B′C′D′，
∴，
∴，
∴AB＝，BC＝12．
【點(diǎn)睛】
本題考查相似多邊形的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握相似多邊形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．
26．（2021·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形和相似，求角的大小和的長度x．

【答案】α＝83°，β＝81°，x＝28．
【分析】
根據(jù)相似多邊形的對應(yīng)角相等可得出α＝∠C＝83°，∠F＝∠B＝78°，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360°可計(jì)算求出β的大小，然后根據(jù)相似多邊形的對應(yīng)邊成比例即可求出EH的長度x．
【詳解】
解：∵四邊形ABCD與四邊形EFGH相似，
∴α＝∠C＝83°，∠F＝∠B＝78°，EH：AD＝EF：AB，
∴x：21＝24：18，解得x＝28．
在四邊形EFGH中，β＝360°﹣83°﹣78°﹣118°＝81°．
∴∠G＝∠C＝67°．
故α＝83°，β＝81°，x＝28．
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和等于360°，熟記性質(zhì)并熟練運(yùn)用是求解的關(guān)鍵．
27．（2021·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，矩形草坪的長為a米，寬為b米（），沿草坪四周外圍有寬為x米的環(huán)形小路．

（1）草坪的長與寬的比值________，外圍矩形的長與寬的比值________；（用含有a、b、x的代數(shù)式表示）
（2）請比較m與n的大??；
（3）圖中的兩個(gè)矩形相似嗎？為什么？
【答案】（1）， ；（2）；（3）圖中的兩個(gè)矩形不相似，見解析
【分析】
（1）根據(jù)即可求解出m的值，然后分別求出外圍矩形的長為a+2x，寬為b+2x由此求解即可；
（2）利用作差法進(jìn)行求解即可得到答案；
（3）假設(shè)兩個(gè)矩形相似那么m=n與事實(shí)矛盾，由此即可得到答案．
【詳解】
解：（1）∵矩形草坪的長為a米，寬為b米，
∴草坪的長與寬的比值，外圍矩形的長與寬的比值；
（2）

，
∵，
∴，
∴；
（3）若圖中的兩個(gè)矩形相似，則，
∵，
∴圖中的兩個(gè)矩形不相似．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了假設(shè)法，分式的混合運(yùn)算，相似圖形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．
28．（2020·浙江·臺(tái)州市路橋區(qū)桐嶼鎮(zhèn)中學(xué)九年級(jí)月考）某校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組在探究相似多邊形問題時(shí)，他們提出了下面兩個(gè)觀點(diǎn)：
觀點(diǎn)一：將外面大三角形按圖1的方式向內(nèi)縮小，得到新三角形，它們對應(yīng)的邊間距都為1，則新三角形與原三角形相似．
觀點(diǎn)二：將鄰邊為6和10的矩形按圖2的方式向內(nèi)縮小，得到新的矩形，它們對應(yīng)的邊間距都為1，則新矩形與原矩形相似．

請回答下列問題：
（1）你認(rèn)為上述兩個(gè)觀點(diǎn)是否正確？請說明理由．
（2）如圖3，已知，AC=6，BC=8，AB=10，將按圖3的方式向外擴(kuò)張，得到，它們對應(yīng)的邊間距都為1，DE=15，求的面積．
【答案】（1）觀點(diǎn)一正確；觀點(diǎn)二不正確；理由見解析；（2）54
【分析】
（1）根據(jù)相似三角形以及相似多邊形的判定定理來判定兩個(gè)觀點(diǎn)是否正確；
（2）首先根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠C是直角，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出△DEF的邊長，進(jìn)而求出△DEF的面積．
【詳解】
解：（1）觀點(diǎn)一正確；觀點(diǎn)二不正確．
理由：①如圖（1）連接并延長DA，交FC的延長線于點(diǎn)O，

∵△ABC和△DEF對應(yīng)的邊的距離都為1，
∴AB//DE，AC//DF，
∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB，
∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB，
即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC，
∴△ABC∽△DEF，
∴觀點(diǎn)一正確；
②如圖（2）由題意可知，原矩形的鄰邊為6和10，

則新矩形鄰邊為4和8，
∵，，
∴，
∴新矩形于原矩形不相似，
∴觀點(diǎn)二不正確；
（2）∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB=90°，
由（1）知△ABC∽△DEF，
∴∠DFE=90°，，
∴，，
∴DF＝9，EF＝12，
∴△DEF的面積為：9×12＝54．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了相似形的綜合題，矩形的性質(zhì)，平行線的判定，主要涉及到相似三角形以及相似多邊形的判定，熟練應(yīng)用相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
29．（2021·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，矩形ODEF的一邊落在矩形ABCO的一邊上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比為1：4，矩形ABCO的邊AB=4，BC=4．
（1）求矩形ODEF的面積；
（2）將圖1中的矩形ODEF繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，連接EC、EA，ACE的面積是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）；（2）存在，最大值，最小值
【分析】
（1）根據(jù)相似多邊形面積的比等于相似比的平方求解即可；
（2）旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)E的軌跡是以點(diǎn)O為圓心以2為半徑的圓，所以△ACE的AC邊上的高就是點(diǎn)E到AC的距離，也就是AC到圓上的點(diǎn)的距離，又最大值和最小值，最大值為點(diǎn)O到AC的距離與圓的半徑的和，最小值為點(diǎn)O到AC的距離與圓的半徑的差，再利用三角形的面積公式求解即可．
【詳解】
解：（1）∵矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比為1：4，
∴S矩形ODEF=S矩形ABCO=×4×4=；
（2）存在．
∵OE=，
所以點(diǎn)E的軌跡為以點(diǎn)O為圓心，以2為半徑的圓，
設(shè)點(diǎn)O到AC的距離為h，
AC=，
∴8h=4×4，
解得h=2，
∴當(dāng)點(diǎn)E到AC的距離為2+2時(shí)，△ACE的面積有最大值，
當(dāng)點(diǎn)E到AC的距離為2-2時(shí)，△ACE的面積有最小值，
S最大=，
S最小=．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，圓上的點(diǎn)到直線的距離的取值范圍，理解AC邊上的高的最大值為點(diǎn)O到AC的距離與圓的半徑的和是解本題的關(guān)鍵．
30．（2021·全國·九年級(jí)）下面我們做一次折疊活動(dòng)：第一步：在一張寬為2的矩形紙片的一端，利用圖1的方法折疊出一個(gè)正方形，然后把紙片展開．
第二步：如圖（2），把這個(gè)正方形折成兩個(gè)相等的矩形，再把紙片展平．
第三步：折出內(nèi)側(cè)矩形的對角線AB，并將AB折到圖（3）中所示的AD處．
第四步：展平紙片，按照所得的點(diǎn)D折出DE，矩形BCDE就是黃金矩形，你能說明為什么嗎？（注：當(dāng)矩形的寬與長的比為時(shí)，稱這個(gè)矩形為黃金矩形）

【答案】答案見解析
【分析】
設(shè)正方形BCNM的邊長為2，利用對折的性質(zhì)得ACNC＝1，再在△ABC中根據(jù)勾股定理計(jì)算出AB，接著利用對折得AD＝AB，所以CD＝AD﹣AC＝1，于是有，然后根據(jù)黃金矩形的定義進(jìn)行判斷．
【詳解】
解：由題意可得正方形BCNM的邊長為2，
∵正方形BCNM沿AF對折，
∴ACNC＝1，
在△ABC中，∵BC＝2，AC＝1，
∴AB，
∵AD＝AB，
∴CD＝AD﹣AC＝1，
∴，
∴矩形BCDE就是黃金矩形．
【點(diǎn)評(píng)】
本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)．其中ACAB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)．也考查了折疊的性質(zhì)．



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