?第7講 弦長(zhǎng)與面積問(wèn)題
一、問(wèn)題綜述：
在直線與二次曲線相交的模型中，弦長(zhǎng)和面積是最基本的幾何量，也是考察幾何圖形分析和代數(shù)運(yùn)算最常建立起來(lái)的運(yùn)算式?？疾旆较虮容^復(fù)雜多變。
知識(shí)要點(diǎn)：弦長(zhǎng)問(wèn)題：
在直線與橢圓相交，以及直線與雙曲線相交，求弦長(zhǎng)問(wèn)題研究過(guò)程中，可通過(guò)直線與已知二次曲線聯(lián)立，借助韋達(dá)定理得到兩根關(guān)系，從而進(jìn)行研究.
設(shè)直線，上兩點(diǎn)，則

設(shè)直線，上兩點(diǎn)，則

①特殊地：在直線與圓問(wèn)題中：弦長(zhǎng)公式經(jīng)常用：
②特殊地：橢圓中焦點(diǎn)三角形面積：（其中）
證明：由于
且
故
故

因?yàn)?，所?
③特殊地：雙曲線中焦點(diǎn)三角形面積：（其中）
③特殊地：在直線與拋物線問(wèn)題中：
設(shè)拋物線方程：，過(guò)焦點(diǎn)的直線（斜率存在且），
對(duì)應(yīng)傾斜角為，與拋物線交于
聯(lián)立方程：，
整理可得：
（1），
（2）（幾何法亦可證明）
（3）
二、典例分析
類型一：圓中的弦長(zhǎng)問(wèn)題
模型1：特殊三角形、特殊位置
【例1-1-1】（2012天津）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與圓相交于兩點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)等于（ ）
A． B． C． D．1
解析：圓的圓心到直線的距離，
由內(nèi)角為30°，60°，90°的三角形邊長(zhǎng)比為知：弦長(zhǎng)．
【解后反思】圓中三類特殊三角形：等腰直角、等邊、含30°角的直角三角形可以幫助簡(jiǎn)化運(yùn)算，熟練記憶掌握，會(huì)讓運(yùn)算效率高很多。
【例1-1-2】（2012湖北）過(guò)點(diǎn)的直線，將圓形區(qū)域分為兩部分，使得這兩部分的面積之差最大，則該直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
解析：要使直線將圓形區(qū)域分成兩部分的面積之差最大，必須使過(guò)點(diǎn)的圓的弦長(zhǎng)達(dá)到最小，所以需該直線與直線垂直即可.又已知點(diǎn)，則,故所求直線的斜率為1.又所求直線過(guò)點(diǎn)，故由點(diǎn)斜式得，所求直線的方程為，
即．故選A．
【解后反思】圓中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題，可考慮找特殊位置、極限位置，先定位置再分析，可以事半功倍.
【例1-1-3】設(shè),若直線與軸相交于點(diǎn),與軸相交于,且與圓相交所得弦的長(zhǎng)為2,為坐標(biāo)原點(diǎn),則面積的最小值為_(kāi)________.
解析：直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為,直線與圓相交所得的弦長(zhǎng)為2,圓心到直線的距離滿足,所以,即圓心到直線的距離,所以.三角形的面積為,又,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以最小值為.
【解后反思】雙參數(shù)問(wèn)題的研究過(guò)程中，除了定量運(yùn)算外，也可以考慮極限和特殊位置進(jìn)行分析求解。
模型2：幾何法（）
【例1-2-1】若直線過(guò)點(diǎn)，且被圓截得的弦長(zhǎng)為2，求直線的方程
解答：①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，聯(lián)立方程：
弦長(zhǎng)為2，符合題意.
②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)
由弦長(zhǎng)為2和可得：
，解得：

綜上所述：的方程為和
【解后反思】在設(shè)直線方程求解時(shí)，一定要考慮先特殊后一般防止漏解。
【例1-2-2】已知圓，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)都是定值，則直線的方程為_(kāi)_______
解答：圓標(biāo)準(zhǔn)方程：，圓心為，半徑為，可知在直線。點(diǎn)到直線的距離，所以過(guò)且與平行的直線與圓相交，因?yàn)閳A的半徑，所以截得的弦長(zhǎng)為定值。所以，即
【解后反思】解析幾何的含參問(wèn)題，在動(dòng)態(tài)變化過(guò)程中，要考慮有不變量。本題圓心橫縱坐標(biāo)有線性相等關(guān)系，所以圓的圓心軌跡為直線，而圓半徑為定值，固可求解。本題亦可特殊化處理，令，進(jìn)行求解.
【例1-2-3】在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，點(diǎn)是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別切圓于兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
解答：如圖設(shè)交于，則有，只需確認(rèn)的范圍即可，由圓方程可得，設(shè)，所以，在中，可得：，所以，下面確定的范圍。設(shè)，因?yàn)?，所以，從而解得。則
類型二：橢圓和雙曲線中的弦長(zhǎng)問(wèn)題
【例2-1】過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作兩條相互垂直的直線分別交橢圓于四點(diǎn)，則的值為（ ）
A. B. C. D.
解析：①若分別與坐標(biāo)軸平行，不妨設(shè)軸，則
因?yàn)? 為長(zhǎng)軸長(zhǎng)，即
②當(dāng)斜率均存在時(shí)，設(shè)斜率為，由可得斜率為
設(shè)，
聯(lián)立 得：，整理后為：


設(shè)，，同理只需用替換中的即可


綜上所述：
【解題反思】反設(shè)直線和特殊化解決小題會(huì)更加輕松.
【例2-2】已知長(zhǎng)軸為12，短軸長(zhǎng)為6，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，過(guò)它對(duì)的左焦點(diǎn)作傾斜解為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求弦的長(zhǎng)．
解：【解析法】
．
因?yàn)椋?，所以?br /> 因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，所以橢圓方程為，左焦點(diǎn)，
從而直線方程為．
由直線方程與橢圓方程聯(lián)立得：．設(shè)，為方程兩根，所以，，，
從而
【定義法】
由題意可知橢圓方程為，設(shè)，，則，．
在中，，
即；
所以．同理在中，用余弦定理得，所以
【解題反思】多考慮題目中未知參量所滿足的等量關(guān)系，進(jìn)行求解.不要局限于一題一解。

類型三：拋物線中的弦長(zhǎng)問(wèn)題
【例3-1】（2015浙江）如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)，其中點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在軸上，則與的面積之比是（ ）

A． B． C． D．
解析：如圖，，故選A．
【解題反思】拋物線中，焦半徑的長(zhǎng)度受橫坐標(biāo)影響。解題時(shí)，首先想定義。
【例3-2】（2017新課標(biāo)1）已知為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)作兩條互相垂直的直線，直線與交于，直線與交于、，則最小值為（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
解析：【方法一】由已知垂直于軸是不符合題意，所以的斜率存在設(shè)為，的斜率為，由題意有，設(shè)，，，
此時(shí)直線方程為，
取方程，得，
∴同理得
由拋物線定義可知

當(dāng)且僅當(dāng)（或）時(shí)，取得等號(hào)．
【方法二】設(shè)傾斜角為．作垂直準(zhǔn)線，垂直軸，
易知，，
同理，，，
又與垂直，即的傾斜角為，
，而，即．

，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，即最小值為，故選A；
【方法三】依題意知：，，由柯西不等式知：
，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào).
【解題反思】拋物線中研究弦長(zhǎng)，可采取正設(shè)直線、反設(shè)直線、定義轉(zhuǎn)化、角度參數(shù)、巧記結(jié)論等方法.
【例3-3】已知拋物線C：y2=3x的焦點(diǎn)為F，斜率為的直線l與C的交點(diǎn)為A，B，
與x軸的交點(diǎn)為P．
（1）若，求l的方程；
（2）若，求．
解析：設(shè)直線．
（1）由題設(shè)得，故，由題設(shè)可得．
由，可得，則．
從而，得．
所以的方程為．
（2）由可得．由，可得．
所以．從而，故．
代入的方程得．故．
類型四：圓中的面積最值問(wèn)題
【例4-1】(2018全國(guó)卷Ⅲ)直線分別與軸，軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
解析：圓心到直線的距離，
所以點(diǎn)到直線的距離．
據(jù)直線的方程可知，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，
所以，所以的面積．
因?yàn)?，所以，即面積的取值范圍是．故選A．
【例4-2】（2014江西）在平面直角坐標(biāo)系中，分別是軸和軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以為直徑的圓與直線相切，則圓面積的最小值為
A． B． C． D．
解析：由題意可知以線段為直徑的圓C過(guò)原點(diǎn)，要使圓的面積最小，只需圓的半徑或直徑最?。謭A與直線相切，所以由平面幾何知識(shí)，知圓的直徑的最小值為點(diǎn)到直線的距離，此時(shí)，得，圓的面積的最小值為．
類型五：橢圓和雙曲線中的面積最值問(wèn)題
【例5-1】以橢圓的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的雙曲線，其左右焦點(diǎn)分別為，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，雙曲線上點(diǎn)滿足
，則等于（ ）
A. B. C. D.
解析：可先利用橢圓確定雙曲線方程及其焦點(diǎn)坐標(biāo)，的頂點(diǎn)為，即為的坐標(biāo)，橢圓的焦點(diǎn)為，所以雙曲線中，進(jìn)而
觀察可聯(lián)想到投影，即在的投影與在的投影
相等，由幾何關(guān)系可得為的角平分線。由可得，即平分，從而為的內(nèi)心，且內(nèi)切圓半徑。從而
【例5-2】已知點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，且，為三角形的內(nèi)心，若成立，則的值為（ ）
A. B. C. D.
解析：由三角形內(nèi)心的性質(zhì)可得到三邊的距離相等，所以的高均為，從而，即，所以只需利用確定的關(guān)系即可。
解析：為三角形的內(nèi)心


在雙曲線上，且是焦點(diǎn)
即為離心率
由可得：，兩邊同時(shí)除以得：
，解得 即
【例5-3】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、， 為橢圓
上一點(diǎn)，且，若的面積為9，則__________．
解析：方法一：根據(jù)橢圓定義，則 ，又根據(jù)勾股定理： ，有，則.
方法二：由橢圓的焦點(diǎn)三角形面積公式知：，故
【例5-4】雙曲線C：=1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則△PFO的面積為（ ）
A． B． C． D．
解析：由，
又P在C的一條漸近線上，不妨設(shè)為在上，則，
，故選A．
【例5-5】(2014新課標(biāo)1) 已知點(diǎn)，橢圓：的離心率為，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1)求的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與相交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的方程．
解析：(1) 設(shè)，由條件知，得，又，所以，
,故的方程.
（2）依題意當(dāng)軸不合題意，故設(shè)直線l：，設(shè)
將代入，得，
當(dāng)，即時(shí)，，
從而，= +
又點(diǎn)到直線的距離，故 ，
設(shè)，則，，
當(dāng)且僅當(dāng)，等號(hào)成立，且滿足，
所以當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，的方程為： 或.
【例5-6】（2015山東）平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的
離心率為，左、右焦點(diǎn)分別是、．以為圓心以3為半徑的圓與以為圓心以1
為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓上．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓：，為橢圓上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線 交橢圓于兩點(diǎn)，射線交橢圓于點(diǎn)．
( i )求的值；
（ii）求△面積的最大值．
解析：（1）由題意知，則，又，，
可得，所以橢圓的方程為．
（2）由（I）知橢圓的方程為．
（i）設(shè)，由題意知，
因?yàn)?，又，即?br /> 所以，即．
（ii）設(shè)，將代入橢圓的方程，
可得，
由，可得 ，
則有，
所以．
因?yàn)橹本€與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以的面積

令，將代入橢圓的方程，
可得 ，
由，可得 ，
由①②可知 ，因此，
故 ，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取得最大值，
由（i）知，面積為，
所以面積的最大值為．
【5-7】已知橢圓的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)男甭蕿闀r(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離為
（1）求橢圓的方程
（2）若是橢圓上的四點(diǎn)，已知與共線，與共線，且，求四邊形面積的最小值
解：（1），設(shè)，則



（2）由（1）可得：，因?yàn)?br />
設(shè)，，
聯(lián)立方程可得：，消去可得：
整理后可得：
①
設(shè)，以替換①中的可得：



設(shè)，可得
時(shí)，
【5-9】（2019全國(guó)卷2理）已知點(diǎn)A(?2，0)，B(2，0)，動(dòng)點(diǎn)M(x，y)滿足直線AM與BM的斜率之積為?.記M的軌跡為曲線C.
（1）求C的方程，并說(shuō)明C是什么曲線；
（2）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G.
（i）證明：是直角三角形；
（ii）求面積的最大值.
解析：（1）由題設(shè)得，化簡(jiǎn)得，所以C為中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，不含左右頂點(diǎn)．
（2）（i）設(shè)直線PQ的斜率為k，則其方程為．
由得．
記，則．
于是直線的斜率為，方程為．
由得．①
設(shè)，則和是方程①的解，故，由此得．
從而直線的斜率為．所以，即是直角三角形．
（ii）由（i）得，，所以△PQG的面積．
設(shè)t=k+，則由k>0得t≥2，當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取等號(hào)．
因?yàn)樵赱2，+∞）單調(diào)遞減，所以當(dāng)t=2，即k=1時(shí)，S取得最大值，最大值為．因此，△PQG面積的最大值為．
【例5-10】直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，橢圓的極坐標(biāo)方程為，其左焦點(diǎn)在直線上．
（1）若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求的值；
（2）求橢圓的內(nèi)接矩形面積的最大值．
解析：（1）將代入ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝48，得x2＋3y2＝48，即，因?yàn)閏2＝48－16＝32，所以F的坐標(biāo)為（，0），
又因?yàn)镕在直線l上，所以．
把直線l的參數(shù)方程代入x2＋3y2＝48，
化簡(jiǎn)得t2－4t－8＝0，所以t1＋t2＝4，t1t2＝－8，
所以．
（2）由橢圓C的方程，
可設(shè)橢圓C上在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，4sinθ）（），
所以內(nèi)接矩形的面積，
當(dāng)時(shí)，面積S取得最大值．

類型六：拋物線中的面積最值問(wèn)題
【例6-1】（2014新課標(biāo)2）設(shè)為拋物線C：的焦點(diǎn)，過(guò)且傾斜角為30°的
直線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△的面積為（ ）
A． B． C． D．
解析：易知拋物線中，焦點(diǎn)，直線的斜率，故直線的
方程為，代人拋物線方程，整理得．
設(shè)，則，由物線的定義可得弦長(zhǎng)
，結(jié)合圖像可得到直線的距離，
所以的面積．
【例6-2】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，經(jīng)過(guò)且斜率為的直線與拋物線在軸上方的部分相交于點(diǎn)，，垂足為，則的面積是（ ）
A. B. C. D. 8
解析：【幾何法】由題，直線傾斜角為，從而得，
由于，其中，
而，，故，
從而，所以
【解析法】由拋物線方程可得：，設(shè)，聯(lián)立方程：
，整理可得： 或
或（舍），，
故
【例6-3】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線相交于，則與的面積之比（ ）
A. B. C. D.
解析：由可得，設(shè)
，設(shè)到直線的距離為
則
過(guò)分別引準(zhǔn)線的垂線

設(shè)，聯(lián)立方程：消元可得：
整理后可得：

【例6-4】已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，，則與面積之和的最小值是（ ）
A. B. C. D.
解析：設(shè)，因?yàn)?，所以?br /> 設(shè)與軸交于直線，
聯(lián)立方程，所以，
由可得：，所以，
不妨設(shè)在軸上方，則
，由可知，
消元后可得：，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，
所以的最小值為.
【例6-5】已知、是拋物線上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)、在什么位置時(shí)，的面積最??？最小值是多少？
解：設(shè)，，
則，，
因?yàn)?，所以?br /> 所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即、關(guān)于軸對(duì)稱時(shí)面積最小，最小面積為.
【例6-6】（2019全國(guó)卷3理）已知曲線C：y=，D為直線y=上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.
（1）證明：直線AB過(guò)定點(diǎn)：
（2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積.
解析：（1）設(shè)，則.
由于，所以切線DA的斜率為，故 .整理得
設(shè)，同理可得.
故直線AB的方程為.所以直線AB過(guò)定點(diǎn).
（2）由（1）得直線AB的方程為.
由，可得.
于是，
.
設(shè)分別為點(diǎn)D，E到直線AB的距離，則.
因此，四邊形ADBE的面積.
設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，則.
由于，而，與向量平行，所以.解得t=0或.
當(dāng)=0時(shí)，S=3；當(dāng)時(shí)，.
因此，四邊形ADBE的面積為3或.
【例6-7】【2019年高考浙江卷】如圖，已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線上，使得的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點(diǎn)Q，且Q在點(diǎn)F的右側(cè)．記的面積分別為．
（1）求p的值及拋物線的準(zhǔn)線方程；
（2）求的最小值及此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)．
解析：（1）由題意得，即p=2.
所以，拋物線的準(zhǔn)線方程為x=?1.
（2）設(shè)，重心.
令，則.
由于直線AB過(guò)F，故直線AB方程為，代入，得
，故，即，所以.
又由于及重心G在x軸上，故，得.
所以，直線AC方程為，得.
由于Q在焦點(diǎn)F的右側(cè)，故.從而
.
令，則m>0，
.
當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)G（2，0）．
類型七：組合圖形中的面積最值問(wèn)題
【例7-1】（2016·新課標(biāo)1，20）設(shè)圓的圓心為，直線過(guò)點(diǎn)且與軸不重合，交圓于兩點(diǎn)，過(guò)作的平行線交于點(diǎn)．
（1）證明為定值，并寫出點(diǎn)的軌跡方程；
（2）設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線交于兩點(diǎn)，過(guò)且與垂直的直線與圓交于兩點(diǎn)，求四邊形面積的取值范圍．
解析：（1）圓A整理為，A坐標(biāo)，
如圖，，則，由，
則，
根據(jù)橢圓定義為一個(gè)橢圓，方程為，()；
（2）；設(shè)，因?yàn)?，設(shè)，

聯(lián)立： ，
則圓心到距離，
所以，

【例7-2】【2019年高考北京卷理數(shù)】數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：就是其中之一（如圖）．給出下列三個(gè)結(jié)論：
①曲線C恰好經(jīng)過(guò)6個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；
②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)；
③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3．
其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）
A．① B．② C．①② D．①②③
解析：由得，，
，
所以可取的整數(shù)有0，?1，1，從而曲線恰好經(jīng)過(guò)(0，1)，(0，?1)，(1，0)，(1，1)， (?1，0)，(?1，1)，共6個(gè)整點(diǎn)，結(jié)論①正確.
由得，，解得，所以曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò). 結(jié)論②正確.
如圖所示，易知，
四邊形的面積，很明顯“心形”區(qū)域的面積大于，即“心形”區(qū)域的面積大于3，說(shuō)法③錯(cuò)誤. 故選C.

【例7-3】已知圓,若橢圓的右頂點(diǎn)為圓的圓心,離心率為.
（1）求橢圓的方程；
（2）若存在直線,使得直線與橢圓分別交于兩點(diǎn),與圓分別交于兩點(diǎn),點(diǎn)在線
段上,且,求圓的半徑的取值范圍.
解析：（1）設(shè)橢圓的焦距為2c,因?yàn)?br /> 所以橢圓的方程為.
（2）設(shè),
聯(lián)立方程得
所以
則
又點(diǎn)到直線的距離, 則
顯然,若點(diǎn)也在線段上,則由對(duì)稱性可知,直線就是y軸,與已知矛盾,所以要使,只要,所以

當(dāng)時(shí),.
當(dāng)時(shí),3,
又顯然,所以.
綜上,圓的半徑的取值范圍是.
【例7-4】（2015湖北）一種作圖工具如圖1所示．是滑槽的中點(diǎn)，短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，長(zhǎng)桿MN通過(guò)N處鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動(dòng)，且，．當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)N繞轉(zhuǎn)動(dòng)一周（D不動(dòng)時(shí)，N也不動(dòng)），M處的筆尖畫出的曲線記為C．以為原點(diǎn)，所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)動(dòng)直線與兩定直線和分別交于兩點(diǎn)．若直線 總與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，試探究：△OPQ的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說(shuō)明理由．

解析：（1）設(shè)點(diǎn)，，依題意，
，且，
所以，且
即，且．
由于當(dāng)點(diǎn)不動(dòng)時(shí)，點(diǎn)也不動(dòng)，所以不恒等于0，
于是，故，代入，可得，
即所求的曲線的方程為．
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線為或，都有．
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，
由 ，消去，可得．
因?yàn)橹本€總與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
所以，即． ①
又由 可得；同理可得．
由原點(diǎn)到直線的距離為和，可得
．②
將①代入②得，．
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，．
因，則，，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．所以當(dāng)時(shí)，的最小值為8．
綜合（1）（2）可知，當(dāng)直線與橢圓在四個(gè)頂點(diǎn)處相切時(shí)，△OPQ的面積取得最小值8．
練習(xí)：
1、（2018·新課標(biāo)Ⅲ，理6）直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
解析：由直線得，∴，
圓的圓心為，∴圓心到直線的距離為，
∴點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為，
即，∴.
2、已知是直線上一動(dòng)點(diǎn),是圓C：
的兩條切線,是切點(diǎn),若四邊形的最小面積是2,則的值為_(kāi)_______
解析：圓的方程可化為,因?yàn)樗倪呅蔚淖钚∶娣e是,且此時(shí)切線長(zhǎng)為,故圓心到直線的距離為,即,解得,又,所以．
3、（2014新課標(biāo)2）設(shè)為拋物線C：的焦點(diǎn)，過(guò)且傾斜角為30°的直線交于兩點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△的面積為（ ）
A． B． C． D．
解析：易知拋物線中，焦點(diǎn)，直線的斜率，故直線的方程為，代人拋物線方程，整理得．
設(shè)，則，由物線的定義可得弦長(zhǎng)
，結(jié)合圖象可得到直線的距離，
所以的面積．
4、（2013新課標(biāo)1）為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，若，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
解析：∵，由拋物線的定義可得點(diǎn)的坐標(biāo)，
∴的面積為．
5、（2017江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中 ，雙曲線的右準(zhǔn)線與它的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，，其焦點(diǎn)是，，則四邊形的面積是 ．
解析：由題意，右準(zhǔn)線的方程為，漸近線的方程為，
設(shè)，則，，，
所以四邊形的面積為．
6、 (2016天津)已知雙曲線，以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑長(zhǎng)的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于、、、四點(diǎn)，四邊形的的面積為，則雙曲線的方程為
A． B． C． D．
解析：不妨設(shè)在第一象限，，所以，解得，故四邊形的面積為，
解得．故所求的雙曲線方程為，選D．
7、 (2014江蘇)如圖，為了保護(hù)河上古橋，規(guī)劃建一座新橋BC，同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū)．規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直;保護(hù)區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓．且古橋兩端O和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80m． 經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)A位于點(diǎn)O正北方向60m處， 點(diǎn)C位于點(diǎn)O正東方向170m處(OC為河岸)，．
（1）求新橋BC的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)OM多長(zhǎng)時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大？

解析：（1）如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy．
由條件知A(0, 60)，C(170, 0)，
直線BC的斜率k BC=－tan∠BCO=－.
又因?yàn)锳B⊥BC，
所以直線AB的斜率k AB=.
設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a,b)，
則kBC=
kAB=
解得a=80，b=120.
所以BC=.
因此新橋BC的長(zhǎng)是150 m.
（2）設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓M的半徑為r m，OM=d m，(0≤d≤60).
由條件知，直線BC的方程為，即
由于圓M與直線BC相切，故點(diǎn)M(0，d)到直線BC的距離是r，
即.
因?yàn)镺和A到圓M上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m,
所以即解得
故當(dāng)d=10時(shí),最大，即圓面積最大.
所以當(dāng)OM = 10 m時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大.
解法二: （1）如圖，延長(zhǎng)OA, CB交于點(diǎn)F.
因?yàn)閠an∠BCO=.所以sin∠FCO=，cos∠FCO=．
因?yàn)镺A=60,OC=170，所以O(shè)F=OC tan∠FCO=.
CF=,從而.
因?yàn)镺A⊥OC，所以cos∠AFB=sin∠FCO==，
又因?yàn)锳B⊥BC，所以BF=AF cos∠AFB==，從而BC=CF－BF=150.
因此新橋BC的長(zhǎng)是150 m.
（2）設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓M與BC的切點(diǎn)為D，連接MD，則MD⊥BC，且MD是圓M的半
徑，并設(shè)MD=r m，OM=d m(0≤d≤60).
因?yàn)镺A⊥OC，所以sin∠CFO =cos∠FCO，
故由(1)知，sin∠CFO =所以.
因?yàn)镺和A到圓M上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m,
所以即解得
故當(dāng)d=10時(shí),最大，即圓面積最大.
所以當(dāng)OM = 10 m時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大.
8、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)、分別作傾斜角都為的兩條直線、，分別交橢圓于點(diǎn)、和、. 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1）.
（1）求此橢圓的方程；
（2）當(dāng)變化時(shí)，討論線段與長(zhǎng)度之間的關(guān)系，并給出證明；
（3）當(dāng)變化時(shí)，求四邊形面積的最大值及對(duì)應(yīng)的值．

解（1）由已知，得，所以∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：
（2）設(shè)
直線，則直線
由得
其中
∴∴
由得
同理可證
∴,又因?yàn)椤?所以，四邊形是平行四邊形,即
（3）由（2）知
點(diǎn)到直線的距離是
∴
（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最大值）
所以。四邊形的最大值為，此時(shí)
9、已知橢圓的左頂點(diǎn)為，離心率為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)取得最大值時(shí)，求的面積．
解析：（1）由題意可得：，，得，則.
所以橢圓.
（2）當(dāng)直線與軸重合時(shí)，不妨取，此時(shí)；
當(dāng)直線與軸不重合時(shí)，設(shè)直線的方程為：，，
聯(lián)立得，
顯然，，.
所以





.
當(dāng)時(shí)，取最大值.此時(shí)直線方程為，
不妨取，所以.
又，所以的面積.
10、如圖,已知橢圓：,其左右焦點(diǎn)為及,過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,的中垂線與軸和軸分別交于兩點(diǎn),且、、構(gòu)成等差數(shù)列.

（1）求橢圓的方程；
（2）記△的面積為,△（為原點(diǎn)）的面積為．試問(wèn)：是否存在直線,使得？說(shuō)明理由．
解析：（1）因?yàn)?、、?gòu)成等差數(shù)列,
所以,所以.
又因?yàn)?所以,
所以橢圓的方程為.
（2）假設(shè)存在直線，使得，顯然直線不能與軸垂直.
設(shè)方程為，將其帶入，整理得
設(shè)，所以
故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．所以 ．
因?yàn)?,所以 , 解得 ,
即
和相似,若,則
所以 ,
整理得 ．
因?yàn)榇朔匠虩o(wú)解,所以不存在直線,使得 ．
11、（2012廣東）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率，且橢圓上的點(diǎn)到的距離的最大值為3．
（1）求橢圓的方程；
（2）在橢圓上，是否存在點(diǎn)使得直線：與圓O： 相交于不同的兩點(diǎn)，且的面積最大？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及相對(duì)應(yīng)的的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解析：（1）由，所以
設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，則，所以

所以，當(dāng)時(shí)，有最大值，可得，所以
故橢圓的方程為：
（2）存在點(diǎn)滿足要求，使得面積最大．
假設(shè)直線與圓相交于不同兩點(diǎn),
則圓心到的距離，∴ ①
因?yàn)樵跈E圓上，所以 ②，由①②得：
∵
所以，由②得代入上式
得，當(dāng)且僅當(dāng)，
∴，此時(shí)滿足要求的點(diǎn)有四個(gè)．
此時(shí)對(duì)應(yīng)的的面積為．
12、（2018江蘇）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓過(guò)點(diǎn)，焦點(diǎn)
，圓的直徑為．

(1)求橢圓及圓的方程；
(2)設(shè)直線與圓相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)．
①若直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
②直線與橢圓交于兩點(diǎn)．若的面積為，求直線的方程．
(1)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)為，
可設(shè)橢圓的方程為．又點(diǎn)在橢圓上，
所以，解得
因此，橢圓的方程為．
因?yàn)閳A的直徑為，所以其方程為．
(2)①設(shè)直線與圓相切于，則，
所以直線的方程為，即．
由消去，得
．（*）
因?yàn)橹本€與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
所以．
因?yàn)?，所以?br /> 因此，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
②因?yàn)槿切蔚拿娣e為，所以，從而．
設(shè)，
由（*）得，
所以．
因?yàn)椋?br /> 所以，即，
解得舍去），則，因此的坐標(biāo)為．
綜上，直線的方程為．

13、設(shè)直線：與橢圓相交于,兩個(gè)不同的點(diǎn),與軸相交于點(diǎn),記為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）證明：；
（2）若,的面積取得最大值時(shí)橢圓方程．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.
解析：（1）依題意,直線顯然不平行于坐標(biāo)軸,故可化為,
將代入,整理得,①
由直線與橢圓相交于兩個(gè)不同的點(diǎn),得,
化簡(jiǎn)整理即得．（*）
（2）,,由①,得,②
因?yàn)?,由,得,③
由②③聯(lián)立,解得,④
的面積,
上式取等號(hào)的條件是,即．
當(dāng)時(shí),由④解得；當(dāng)時(shí),由④解得．
將,及,這兩組值分別代入①,
均可解出,
經(jīng)驗(yàn)證,,滿足（*）式．
所以,的面積取得最大值時(shí)橢圓方程為．
14、(2016年全國(guó)II)已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，是的左頂點(diǎn)，斜率為的直線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在上，．
（1）當(dāng)時(shí)，求的面積；
（2）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．
解析：（I）設(shè)，則由題意知．
當(dāng)時(shí)，橢圓的方程為，A點(diǎn)坐標(biāo)為，
由已知及橢圓的對(duì)稱性知，直線的傾斜角為．
因此直線的方程為．
將代入得．
解得或，所以．
所以的面積為．
（2）由題意知，則直線的方程為，
聯(lián)立并整理得，
解得或，
所以
由題意，所以的方程為，
同理可得
由,得，即
當(dāng)時(shí)上式成立，因此．
因?yàn)?，即，整理?br /> 即，解得．
15、已知橢圓的離心率為，傾斜角為的直線經(jīng)過(guò)
橢圓的右焦點(diǎn)且與圓相切.
(1)求橢圓 的方程；
(2)若直線與圓相切于點(diǎn)，且交橢圓于兩點(diǎn)，射線于橢圓交于點(diǎn)，設(shè)的面積于的面積分別為.
①求的最大值；
②當(dāng)取得最大值時(shí)，求的值.
解析： (1)依題直線的斜率.設(shè)直線的方程為,
依題有：
(2)由直線與圓相切得： .
設(shè).將直線代入橢圓的方程得： ,且.設(shè)點(diǎn)到直線的距離為,故的面積為：
,
當(dāng).等號(hào)成立.故的最大值為1.
設(shè)，由直線與圓相切于點(diǎn)，可得，

16、已知拋物線（），直線與拋物線交于 (點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè))兩點(diǎn)，且.
（1）求拋物線在兩點(diǎn)處的切線方程；
（2）若直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)在線段上， 的垂直平分線交軸于點(diǎn)，求面積的最大值.
解析：（1）由，令，得，所以，解得， ，由，得，故所以在點(diǎn)的切線方程為
，即，同理可得在點(diǎn)的切線方程為
.
（2）由題意得直線的斜率存在且不為0，
故設(shè)， ， ，由與聯(lián)立，
得， ，
所以， ，
故.
又，所以，所以，
由，得且.
因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，所以的垂直平分線方程為，令，得，即，所以點(diǎn)到直線的距離，
所以.
令，則，則，故.
設(shè)，則，結(jié)合，令，得；
令，得，所以當(dāng)，即時(shí)， .

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