第22講  切線與切點(diǎn)弦問題一、問題綜述1.切線1）定義：設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn)，當(dāng)直線連續(xù)變動(dòng)時(shí)，兩點(diǎn)沿著曲線漸漸靠近，一直到重合為一點(diǎn)，此時(shí)直線稱為曲線在點(diǎn)處的切線.注：若曲線為二次曲線，記其方程為，直線的方程為.若方程組有兩個(gè)不同的解，則直線與二次曲線相交，當(dāng)這兩個(gè)交點(diǎn)重合為一點(diǎn)時(shí)，就稱直線與二次曲線相切，直線就稱為二次曲線在這一點(diǎn)處的切線，這一公共點(diǎn)稱為切點(diǎn).2）切線方程：1）過圓上一點(diǎn)的切線方程：；2）過橢圓上一點(diǎn)的切線方程：；3）過雙曲線上一點(diǎn)的切線方程：；4）過拋物線上一點(diǎn)的切線方程：.注：替換的規(guī)則是.2.圓錐曲線的切點(diǎn)弦1）定義：從圓錐曲線外一點(diǎn)向圓錐曲線引兩條切線，那么經(jīng)過兩切點(diǎn)的圓錐曲線的弦叫做切點(diǎn)弦.2）切點(diǎn)弦方程：1）設(shè)為圓外一點(diǎn)，則切點(diǎn)弦方程為：；2）設(shè)為橢圓外一點(diǎn)，則切點(diǎn)弦方程：；3）設(shè)為雙曲線外一點(diǎn)，則切點(diǎn)弦方程：；4）設(shè)為拋物線外一點(diǎn)，則切點(diǎn)弦切線方程：.注：點(diǎn)與切點(diǎn)弦為圓錐曲線的極點(diǎn)和極線. 二、典例分析類型1：過曲線外一點(diǎn)的切線方程【例1】求橢圓兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡方程.解法：（1）當(dāng)其中一條切線斜率不存在時(shí)，交點(diǎn)為中的一個(gè)；（2）當(dāng)兩條切線斜率存在時(shí)，設(shè)點(diǎn)，切線方程為.由消去得.由，得，當(dāng)時(shí)，由得.又當(dāng)時(shí)，也滿足.所以所求點(diǎn)的軌跡方程為. 【例2】【2012廣東文20】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：（）的左焦點(diǎn)為，且點(diǎn)在上.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線同時(shí)與橢圓和拋物線：相切，求直線的方程. 解法：（1）因?yàn)?/span>橢圓的左焦點(diǎn)為，所以，點(diǎn)代入橢圓，得，即，所以所以橢圓的方程為.（2）直線的斜率顯然存在，設(shè)直線的方程為，，消去并整理得因?yàn)?/span>直線與橢圓相切，所以整理得  ①，消去并整理得因?yàn)?/span>直線與拋物線相切，所以整理得  ②綜合①②，解得或所以直線的方程為或【方法小結(jié)】 根據(jù)題中條件設(shè)出切線方程，將切線方程代入圓錐切線方程，化為關(guān)于（或）的一元二次方程，利用切線與圓錐曲線相切的充要條件為判別式，即可解出切線方程，注意關(guān)于（或）的一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為0這一條件.  類型2：以曲線上一點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程【例3】如圖，設(shè)橢圓動(dòng)直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限.（I）已知直線的斜率為，用表示點(diǎn)的坐標(biāo)；（II）若過原點(diǎn)的直線與垂直，證明：點(diǎn)到直線的距離的最大值為.解法：（Ⅰ）解法1：韋達(dá)定理 設(shè)切線，代入，得,由題意知，即，解得，，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以，.解法2：導(dǎo)數(shù)法由點(diǎn)在第一象限及方程，得，設(shè)，則，兩邊平方得，則，又由點(diǎn)在第一象限，得，，，所以，.解法3：直接利用切線方程設(shè)，則切線又聯(lián)立①②及在第一象限，得，即.（Ⅱ）解法1：直接法由于直線過原點(diǎn)且與垂直，故直線的方程為，所以點(diǎn)到直線的距離    因?yàn)?/span>，所以    當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以，點(diǎn)到直線的距離的最大值為.解法2：參數(shù)法設(shè)，則切線，因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)取到最大值.解法3：等價(jià)轉(zhuǎn)化     設(shè)，則切線      設(shè)過且與垂直的直線為，則，所以點(diǎn)到直線的距離等于的直線的距離.      因?yàn)?/span>，所以，， 又，    所以（柯西不等式）       當(dāng)且僅當(dāng) 即時(shí)取到最大值.          【例4】如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，過作拋物線 的兩條切線，且與拋物線分別相切于A、B兩點(diǎn).（1）求△的重心的軌跡方程；（2）證明：.解法：（1）（1）設(shè)切點(diǎn)，∴切線的方程為：；  切線的方程為：.解得：.所以△的重心的坐標(biāo)為， 所以，由點(diǎn)在直線l上運(yùn)動(dòng)，從而得到重心的軌跡方程為：，即.    （2）因?yàn)?/span>，由于點(diǎn)在拋物線外，則.，.所以.【方法小結(jié)】過曲線上一點(diǎn)的二次曲線的切線方程常用的有兩種方法： 一種是利用二次方程有等根，用；另一種是用導(dǎo)數(shù)的方法. 類型3：圓錐曲線切點(diǎn)弦【例5】已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的上焦點(diǎn)重合，點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，過作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為.（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）證明：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).解析：（Ⅰ）拋物線方程為；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，則拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，即，同理在點(diǎn)處的切線方程為.又點(diǎn)在兩條切線上，則，所以直線的方程為：又點(diǎn)滿足，故直線的方程為即所以直線經(jīng)過定點(diǎn).  【方法小結(jié)】本題實(shí)際上涉及圓錐曲線極點(diǎn)極線的一個(gè)性質(zhì)：過圓錐曲線外任一點(diǎn)作直線，交圓錐曲線于兩點(diǎn)，若圓錐曲線在點(diǎn)處切線的交點(diǎn)為，則點(diǎn)在一定直線上.   三、鞏固練習(xí)1.已知拋物線，圓的圓心為點(diǎn).點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)（異于原點(diǎn)），過點(diǎn)作圓的兩條切線，交拋物線于兩點(diǎn)，若過兩點(diǎn)的直線垂直于，求直線的方程.2.已知橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；（Ⅱ）設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線平行于，與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且與直線交于點(diǎn)．證明：存在常數(shù)，使得，并求的值. 3.【2015新課標(biāo)1，理20】在直角坐標(biāo)系中，曲線與直線(＞0)交與兩點(diǎn).（1）當(dāng)時(shí)，分別求在點(diǎn)和處的切線方程；（2）軸上是否存在點(diǎn)，使得當(dāng)變動(dòng)時(shí)，總有？說明理由.   4.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率為，其右焦點(diǎn)是圓：的圓心．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，過橢圓上且位于軸左側(cè)的一點(diǎn)作圓的兩條切線，分別交軸于點(diǎn)、．試推斷是否存在點(diǎn)，使？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由． 5.已知橢圓，是直線上一點(diǎn)，由向已知橢圓作兩切線，切點(diǎn)分別是，求直線的方程，使與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積最小，并求出這個(gè)最小值.   6. 如圖，設(shè)拋物線方程為x2=2py(p＞0),M為 直線y=-2p上任意一點(diǎn)，過M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A，B.（Ⅰ）求證：A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；（Ⅱ）已知當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，，求此時(shí)拋物線的方程；（Ⅲ）是否存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)D在拋物線上，其中，點(diǎn)C滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.若存在，求出所有適合題意的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.         參考答案：1.設(shè)點(diǎn)，切線的斜率為，則切線方程是，由題意得：，整理得：，（*）設(shè). 解得：（是方程*的根）.因?yàn)?/span>，所以，所以，解得：，所以，所以直線的方程.2. （I）由已知得，所以，則橢圓E的方程為.由方程組 得.①方程①的判別式為，由，得，此方程①的解為，所以橢圓E的方程為.點(diǎn)T坐標(biāo)為（2,1）.（II）由已知可設(shè)直線 的方程為，有方程組 可得所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（ ），.設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為 .由方程組 可得.②方程②的判別式為，由得.又由②得.所以，同理，所以故存在常數(shù)，使得.3. （1）由題設(shè)可得，，或，.∵，故在=處的到數(shù)值為，C在處的切線方程為，即.故在=-處的導(dǎo)數(shù)值為-，C在處的切線方程為，即.   故所求切線方程為或.  （2）存在符合題意的點(diǎn)，證明如下：  設(shè)為符合題意得點(diǎn)，，，直線，的斜率分別為.  將代入C得方程整理得.  ∴.  ∴==.  當(dāng)時(shí)，有=0，則直線的傾斜角與直線的傾斜角互補(bǔ)，  故，所以符合題意。 4. （1）設(shè)橢圓方程，半焦距為，因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)是圓的圓心，則，因?yàn)闄E圓的離心率為，則，即，從而，故橢圓的方程為．（2）設(shè)點(diǎn)（），，，則直線的方程為，即，因?yàn)閳A心到直線的距離為1，即，即，即，同理．由此可知，，為方程的兩個(gè)實(shí)根，所以，，．因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，則，即，則，令，則，因?yàn)?/span>，則，，即，故存在點(diǎn)滿足題設(shè)條件．5. 設(shè)，所以切點(diǎn)弦所在直線方程為.所以，則.又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)直線方程為.6.（Ⅰ）證明：由題意設(shè)由得，則所以因此直線MA的方程為直線MB的方程為所以   ①   ②由①、②得　　因此　，即所以A、M、B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，當(dāng)x0=2時(shí)，將其代入①、②并整理得：  　所以是方程的兩根，因此又所以由弦長(zhǎng)公式得又，所以或，因此所求拋物線方程為或（Ⅲ）解：設(shè)，由題意得,則的中點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)直線的方程為由點(diǎn)在直線上，并注意到點(diǎn)也在直線上，代入得若在拋物線上，則因此或. 即或（1）當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，點(diǎn)M(0,-2p)適合題意.（2）當(dāng)，對(duì)于D(0，0)，此時(shí)又AB⊥CD，所以即矛盾.對(duì)于因?yàn)?/span>此時(shí)直線CD平行于y軸，又所以直線AB與直線CD不垂直，與題設(shè)矛盾，所以時(shí)，不存在符合題意的M點(diǎn).綜上所述，僅存在一點(diǎn)M(0，-2p)適合題意.
 

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