第4講  圓錐曲線硬解定理一、題型綜述直曲聯(lián)立求韋達(dá)，利用韋達(dá)求弦長(zhǎng)，面積、、、等是圓錐曲線考察頻率比較高，經(jīng)常出現(xiàn)的知識(shí)點(diǎn)，若果能快速記住一些必要的結(jié)論，可以有效提升做題的速度及準(zhǔn)確度，但圓錐曲線結(jié)論的記憶有一點(diǎn)難度，需要想一些辦法進(jìn)行理解，公式口訣話，以便記憶，筆者在這為大家提供一些網(wǎng)絡(luò)上聽到覺得比較好記的口訣。 二、硬解定理 第一部分：硬解定理在橢圓中的運(yùn)用設(shè)橢圓方程用①表示，與直線②相交于、兩點(diǎn)，聯(lián)立①②式可得最終的二次方程：消去得：    消去得：    可得：（1）判別式在橢圓中，所以判斷判別式的正負(fù)可以利用來(lái)進(jìn)行判斷若 有兩實(shí)根，即直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)若 有兩相同實(shí)根，即直線與橢圓相切若 無(wú)實(shí)根，即直線與橢圓沒(méi)有交點(diǎn)記憶：成對(duì)去見單身 （2）韋達(dá)定理：把直線設(shè)為口算韋達(dá)公式：  記憶口訣：分母都為兩兩配對(duì)分子為乘以消去系數(shù)（）剩余直線系數(shù)的倍分子為乘以消去系數(shù)（）剩余直線系數(shù)的倍分子為乘以減去消去系數(shù)的平方分子為乘以減去消去系數(shù)的平方例：   ，得： 代入y，得：   （1）       中點(diǎn)組：（2）              弦長(zhǎng)組： 口訣：2倍根號(hào)下，小方積，大方和，成對(duì)去見單C方，減完C方去下方。 （3）       向量組：第一組：……①…………②………③公式簡(jiǎn)證：第二組：向量的數(shù)量積……④……⑤【說(shuō)明】其中在直線上，即，。下同公式證明：，設(shè)） （4）       斜率組：斜率和已知點(diǎn)，，，直線的方程為。則直線、的斜率和 ……⑥ （記憶要點(diǎn)1：分母中，即在直線上。記憶要點(diǎn)2：分子的記憶曲線直線 公式證明：代入韋達(dá)定理和公式②、④得（設(shè)）即 第二部分：圓錐曲線的硬解定理二次曲線方程用①表示，與直線②相交于、兩點(diǎn)，聯(lián)立①②式可得最終的二次方程：消去得：    消去得：    可得：（根據(jù)，寫，的方法：、互換；、互換；不變。）（1）       判別式（2）       韋達(dá)定理；（3）       中點(diǎn)組：（4）       弦長(zhǎng)組：（設(shè)，下同）（5）       向量組：第一組：……①…………②………③公式簡(jiǎn)證： 第二組：向量的數(shù)量積……④……⑤【說(shuō)明】其中在直線上，即，。下同公式證明： （6）       斜率組：斜率和已知點(diǎn)，，，直線的方程為。則直線、的斜率和 ……⑥ （記憶要點(diǎn)1：分母中，即在直線上。記憶要點(diǎn)2：分子的記憶曲線直線 公式證明：代入韋達(dá)定理和公式②、④得（設(shè)）即 第三部分 應(yīng)用硬解定理解題例1.已知直線與橢圓交于兩點(diǎn)(不是左右頂點(diǎn)）且以為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，求△面積的最大值。【解】設(shè)直線的方程為，則有在本題中有：  代入有方程代入有代入韋達(dá)定理有，，因?yàn)橐?/span>為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，所以，即，即。代入得，這里在直線上，化簡(jiǎn)得，即。所以（舍去）或令，則又當(dāng)不存在時(shí)，。綜上，三角形的面積最大值為。  跟蹤練習(xí)：練習(xí)：點(diǎn)在橢圓上，直線交橢圓于、兩點(diǎn)，求三角形面積的最大值。點(diǎn)到直線的距離為當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)面積取得最大值。 練習(xí)2.若直線交橢圓于、兩點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，求面積的最大值。 點(diǎn)到直線的距離為當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)面積取得最大值。例題3：動(dòng)點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)到橢圓的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)的軌跡方程。當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為即，，，，此即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，動(dòng)點(diǎn)亦滿足此方程。  例題4.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、，且橢圓與直線相切，則橢圓的長(zhǎng)軸為（ ）                               因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以：法：，故選法：，故選 練習(xí)5.橢圓兩頂點(diǎn)，，過(guò)焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的方程為                  。，斜率不存在時(shí)與已知條件矛盾，當(dāng)斜率存在時(shí)， 練習(xí)6.直線，當(dāng)變化時(shí)，此直線被橢圓截得的最大弦長(zhǎng)是                               不能確定令，因?yàn)榍笞畲笾?，故可只考慮的情況，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。練習(xí)7.過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦與，求四邊形的面積的最大值。 當(dāng)與的斜率為或不存在時(shí)，當(dāng)與的斜率存在且不為時(shí)，，所以最大值為。    
 

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