?第8講 齊次化與點(diǎn)乘雙根法
一、問題綜述
（1）齊次化
1．齊次化原理：
若直線與二次曲線相交于，，如圖所示，

設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，則，．
現(xiàn)將二次曲線方程齊次化的方法如下：
首先將直線化出“”： 將直線化為截距式；
其次利用“”構(gòu)建關(guān)于、的齊次方程，操作方法是對(duì)二次曲線方程二次方項(xiàng)保持不變，一次方項(xiàng)同乘以“”，常數(shù)項(xiàng)同乘以“”的平方，則可把二次曲線方程變?yōu)椋?br /> ，
將其化簡得：
，
為了簡化運(yùn)算，記，，，
則方程可化為：；
最后我們對(duì)該齊次式兩邊同時(shí)除以可得：
，
因?yàn)椋侵本€與二次曲線的交點(diǎn)，
所以點(diǎn)，點(diǎn)滿足方程，
因此，是方程的兩個(gè)根，
由韋達(dá)定理可得（）．
2．齊次化適用范圍：
由原理可知齊次化適應(yīng)于處理解決曲線上的點(diǎn)與坐標(biāo)系原點(diǎn)連線有關(guān)的斜率運(yùn)算問題，常見類型如：
，，，，，，
前面兩個(gè)考題相對(duì)比較常見，后面的則需要變形才能使用，變形如下：
，，．
這個(gè)需要根據(jù)韋達(dá)定理判斷符號(hào)再變形．在遇到上述關(guān)于斜率運(yùn)算問題時(shí)，采取齊次化處理往往能達(dá)到簡化運(yùn)算的目的．
二、典例分析
類型一：定點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的斜率問題
【例1】已知直線交橢圓于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求該直線方程．
【解析】法一（齊次化解法）：設(shè)，，
步驟1：構(gòu)建關(guān)于、的齊次式：
將直線變形為代入進(jìn)行“”的代換得，
整理得；
步驟2：構(gòu)建關(guān)于斜率的方程：
因?yàn)?，方程兩邊同除以，得?br /> 步驟3：利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化目標(biāo)：
易知和是方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得，即，故所求直線方程為．
法二（常規(guī)解法）：
設(shè)，，聯(lián)立， ①代入②消去得
，
設(shè)，，則
，，
所以
，
解得，故所求直線方程為．
【方法小結(jié)】本題屬于曲線上的兩個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率之和為定值（斜率之積為定值也可以用本法）問題，通過對(duì)直線變形，采取“”的巧用，一般二次方不變，一次方項(xiàng)直接乘以“”，常數(shù)項(xiàng)乘以“”的平方，從而構(gòu)建關(guān)于，的二元二次的齊次方程，再兩邊同時(shí)除以得到一個(gè)是以原點(diǎn)與曲線上連線的斜率為根的一元二次方程，再借助韋達(dá)定理使得問題運(yùn)算得到簡化，我們把這種操作手法稱之為“齊次化”．
推論1：已知直線交橢圓 于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則該直線的斜率為．
推論2：已知直線交雙曲線 于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則該直線的斜率為．
推論3：已知直線交拋物線 于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則該直線的斜率為．
變式訓(xùn)練1：已知拋物線的方程為，若直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，證明直線過定點(diǎn)．
【證明】因?yàn)橐詾橹睆降膱A過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，即．
設(shè)，，則，．
將直線變形得，記，，則直線可化為，
將“”代入拋物線的方程得，整理得，
因?yàn)椋匠虄蛇呁?，得?br /> 易知和是方程的兩個(gè)根，
由韋達(dá)定理得，即，
代入求直線方程得，即，
當(dāng)時(shí)，，故直線恒定過點(diǎn)．


類型二：定點(diǎn)不在坐標(biāo)原點(diǎn)的斜率問題（平移坐標(biāo)系）
【例2】已知橢圓過點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)為，．
（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II），是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
（1）如果直線的斜率與的斜率之和為，證明直線恒過定點(diǎn)；
（2）如果直線的斜率與的斜率之積為，證明直線恒過定點(diǎn)．
【分析】本題定點(diǎn)不再是坐標(biāo)原點(diǎn)，若坐標(biāo)系原點(diǎn)平移到與重合，則問題就轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的類型，則可以采取類型一的齊次化解法．
【解析】（I）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，過程略；
（II）法一：（平移構(gòu)造+齊次化）平移坐標(biāo)系．
【解析】平移坐標(biāo)系，使得坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)重合，則，得新坐標(biāo)系中，
在新坐標(biāo)系中，橢圓方程為，化簡得
①，
直線平移后變?yōu)?，其方程不妨設(shè)為，代入①構(gòu)建齊次式得
，
整理得
，
兩邊同除以
得 ②，
易知和是方程②的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得
，
化簡得，代入直線得，整理得
，
直線恒過和直線的交點(diǎn)，
則直線恒定過點(diǎn)．
(2) ，即，直線的方程為，
直線恒過和直線的交點(diǎn)，則直線恒定過點(diǎn)．
法二：（平移構(gòu)造+齊次化）平移直線和平移橢圓．
【解析】設(shè)直線的方程為，即，變形得，
將橢圓變形為
展開整理得，
將直線進(jìn)行“”的代換得
，
去分母化簡得
，
等式同除以得
，
因此是方程的實(shí)數(shù)根，設(shè)，，
則和是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，①
由韋達(dá)定理得：，即，即，
代入直線的方程得，
所以直線恒定過定點(diǎn)．
②由韋達(dá)定理得，所以，
代入直線的方程為，
所以直線恒定過定點(diǎn)．
法三：（常規(guī)解法）．
【解析】設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立得
，
由韋達(dá)定理得
，．
由題意知，，即，
去分母得 ，整理得
，
代入韋達(dá)定理得
，
去分母整理得，即，
即，即，
故，或．
當(dāng)時(shí)，直線恒過定點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，直線的方程為恒過定點(diǎn)與點(diǎn)重合，不符合題意，舍去．
綜上：直線恒過定點(diǎn)．
【方法小結(jié)】解法三是常規(guī)方法，需要較強(qiáng)代數(shù)恒等變形能力；解法一和解法二通過平移構(gòu)造二元二次齊次式，使得運(yùn)算難度大大降低，及時(shí)處理的過程有所不同．對(duì)于曲線上兩個(gè)點(diǎn)與定點(diǎn)連線斜率問題，當(dāng)定點(diǎn)不在作用原點(diǎn)時(shí)，往往可以像解法一一樣把坐標(biāo)系原點(diǎn)平到定點(diǎn)處，然后按照定點(diǎn)為原點(diǎn)的處理方法求解，但是最后一定記得把求解結(jié)果平移回去；當(dāng)然也可以按照解法二的方法來處理，但是這個(gè)計(jì)算往往沒有解法一那么簡潔．解法二的操作方法如下:一般地，構(gòu)造齊次方程的方法為：設(shè)定點(diǎn)，直線與曲線的交點(diǎn)為，，將圓錐曲線的方程及直線方程都轉(zhuǎn)化為關(guān)于，的方程，使直線方程具有的形式，在圓錐曲線的方程中，二次項(xiàng)不變，一次項(xiàng)乘以，常數(shù)項(xiàng)乘以，即構(gòu)造成為關(guān)于，的齊次方程，然后等式兩邊同乘以，從而使得所研究直線的斜率為該方程的兩個(gè)根，達(dá)到簡化數(shù)學(xué)運(yùn)算的目的．
現(xiàn)把一些常見的曲線定點(diǎn)不在坐標(biāo)原點(diǎn)的結(jié)論歸納如下：
命題1：過橢圓 上一定點(diǎn)（不是橢圓頂點(diǎn)）作兩條直線分別交橢圓于，兩點(diǎn)，使這兩條直線的斜率之和等于（為常數(shù)），則
（1）當(dāng)時(shí)，直線恒過一個(gè)定點(diǎn)，且定點(diǎn)為；
（2）當(dāng)時(shí)，直線的斜率為定值．
命題2：過橢圓 上一定點(diǎn)（不是橢圓頂點(diǎn)）作兩條直線分別交橢圓于，兩點(diǎn)，使這兩條直線的斜率之積等于（為常數(shù)），則
（1）當(dāng)時(shí)，直線恒過一個(gè)定點(diǎn)，且定點(diǎn)為；
（2）當(dāng)時(shí)，直線的斜率為定值．
命題3：過雙曲線 上一定點(diǎn)（不是雙曲線頂點(diǎn)）作兩條直線分別交雙曲線于，兩點(diǎn)，使這兩條直線的斜率之和等于（為常數(shù)），則
（1）當(dāng)時(shí)，直線恒過一個(gè)定點(diǎn)，且定點(diǎn)為；
（2）當(dāng)時(shí)，直線的斜率為定值．
命題4：過雙曲線 上一定點(diǎn)（不是雙曲線頂點(diǎn)）作兩條直線分別交雙曲線于，兩點(diǎn)，使這兩條直線的斜率之積等于（為常數(shù)），則
（1）當(dāng)時(shí)，直線恒過一個(gè)定點(diǎn)，且定點(diǎn)為；
（2）當(dāng)時(shí)，直線的斜率為定值．
命題5：若點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)引直線和與拋物線相交于，兩點(diǎn)．
（1）若時(shí)，則；
（2）若時(shí)，則直線恒定過點(diǎn)；
（3）若時(shí)，則直線恒定過點(diǎn)．
變式訓(xùn)練2：若，為拋物線：上兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過點(diǎn)，證明：直線過定點(diǎn)．
【證明】因?yàn)橐詾橹睆降膱A過點(diǎn)，所以，即．
設(shè)，，則，．令，
代入拋物線方程得：，整理得：
，
不妨設(shè)直線的方程為：，
將其代入式得：，
化簡得：
，
因?yàn)椋匠虄蛇呁?，?br /> ①，
易知和是方程①的兩個(gè)根，
由韋達(dá)定理得，即，
代入求直線方程得
，
所以直線過和的交點(diǎn)，即，
利用變換將其平移回原坐標(biāo)系得，故直線恒定過點(diǎn)．
類型三：齊次化方法在等角問題中的應(yīng)用
【例3】設(shè)橢圓：的右焦點(diǎn)為，過的直線與相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為．
（1）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，求直線的方程；
（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：．
【解析】（1），過程略．

（2）法一: （平移構(gòu)造+齊次化）
方法識(shí)別：等價(jià)于，故可以用平移構(gòu)造和齊次化來處理．
將橢圓：和直線：按照平移至以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，
得和，
即
，
將代入構(gòu)造齊次化得
，
整理得 ．
設(shè)平移后設(shè)，，則，．
易知和是方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得，根據(jù)平移角度不變知，，
故有．
法二: （常規(guī)解法）設(shè)，，直線：，與聯(lián)立得：
，
由韋達(dá)定理得
，，
要證，即證，
即證
，
用消去得：，
代入韋達(dá)定理得：，命題得證．
【方法小結(jié)】1．本例中為橢圓的右準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)：即本來結(jié)論是：設(shè)橢圓的右準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，則軸平分角，即，或者說直線和直線的傾斜角互補(bǔ)（即斜率之和為零）．
2．本題結(jié)論還可以推廣到拋物線：設(shè)為拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，則軸平分角，即，或者說直線和直線的傾斜角互補(bǔ)（即斜率之和為零）．
等角問題的推廣：
結(jié)論1：過拋物線線外一點(diǎn)作拋物線的切線，，則．


結(jié)論2：過橢圓外一點(diǎn)作橢圓的切線，，則．

變式訓(xùn)練1：（2018年高考課標(biāo)卷1文科第20題）設(shè)拋物線：，點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)與軸垂直時(shí)，求直線的方程；
（2）證明：．
解析：（1）當(dāng)與x軸垂直時(shí)，的方程為，可得的坐標(biāo)為或．
所以直線的方程為或．
（2）法一：（齊次化解法）
要證，只需證．
當(dāng)與軸垂直時(shí)，為的垂直平分線，所以．
當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，
將坐標(biāo)系原點(diǎn)按平移至點(diǎn)，
則在新坐標(biāo)系中得到拋物線方程和直線方程分別為
，，
將直線化為，整理得:，
將直線代入構(gòu)建齊次方程得
，
化簡得：，
設(shè)平移后，，則和是方程的兩個(gè)根，
由韋達(dá)定理得，
因?yàn)槠揭平嵌炔蛔?，所以，故證．
法二：（常規(guī)方法）
當(dāng)與軸垂直時(shí)，為的垂直平分線，所以．
當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)的方程為，，，則，．
由，得
，可知，．
直線，的斜率之和為
．①
將，及，的表達(dá)式代入①式分子，可得
．
所以．可知，的傾斜角互補(bǔ)，所以．
綜上，．
法三：（常規(guī)方法）
設(shè)，，直線：，與聯(lián)立，
由韋達(dá)定理得，．
，
代入消去得:
，
代入韋達(dá)定理得，命題得證．
變式訓(xùn)練2：（2013年數(shù)學(xué)高考陜西卷理科）已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且在軸上截得弦長的長為．
（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；
（2）已知點(diǎn)，設(shè)不垂直于軸的直線與軌跡交于不同的兩個(gè)點(diǎn)，，若軸是的角平分線，證明：直線過定點(diǎn)．
（1）動(dòng)圓圓心軌跡方程為：；
（2）【證明】將坐標(biāo)系原點(diǎn)按照平移到點(diǎn)，則在新坐標(biāo)系中，的軌跡方程為
，即，
設(shè)平移后直線的方程為，將其代入式化為齊次式得，
化簡得
，
因?yàn)?，兩邊同除以得?br /> ①，
設(shè)平移后，，則，．
和是方程①的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得
，
又因?yàn)檩S是的角平分線，所以，即，
所以，所以，即，
所以直線過定點(diǎn)，將定點(diǎn)按照平移原坐標(biāo)系得，
所以過定點(diǎn)，即直線過定點(diǎn)．
二、點(diǎn)乘雙根法及其應(yīng)用
1、點(diǎn)乘雙根法的含義與原理：
何謂點(diǎn)乘雙根法呢？在大學(xué)數(shù)學(xué)中，把向量，的數(shù)量積叫做向量點(diǎn)乘向量，因此點(diǎn)乘得名；所謂雙根是由初中的一元二次方程知識(shí)可知：若和是一元二次方程的兩個(gè)根，則，我們把叫做二次方程的雙根式，所謂的點(diǎn)乘雙根法就是構(gòu)建雙根式是去解決含和或者可轉(zhuǎn)化為含含和的計(jì)算問題，其中以向量的數(shù)量積有關(guān)的問題為最常見．
點(diǎn)乘雙根法的原理：
點(diǎn)乘雙根法是通過對(duì)雙根式進(jìn)行賦值和，直接計(jì)算和的含參表達(dá)式，然后整體代入目標(biāo)，從而構(gòu)建出關(guān)于參數(shù)的等式關(guān)系式，避免繁雜的計(jì)算，達(dá)到快速解題的目的（其中，點(diǎn)坐標(biāo)為已知定點(diǎn)，，為直線與圓錐曲線的交點(diǎn)）．
2、點(diǎn)乘雙根法適用題型:
在圓錐曲線中，遇到如（其中為常數(shù)）的形式，其中點(diǎn)是已知的點(diǎn)，，為直線與圓錐曲線的交點(diǎn)的問題時(shí)，可用點(diǎn)乘雙根法以達(dá)到簡化運(yùn)算，快速解題的目的．
3、點(diǎn)乘雙根法解題范式：
下來以一個(gè)例題來講解一下點(diǎn)乘雙根法應(yīng)用范式．
【例題】橢圓：，若直線：與橢圓交于，兩點(diǎn)（，不是左右頂點(diǎn)），且以直線為直徑的圓恒過橢圓的右頂點(diǎn)．求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出該點(diǎn)的坐標(biāo)．
步驟1：聯(lián)立方程，構(gòu)建雙根式
設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為，，，所以，
聯(lián)立，化簡得：
，
又因?yàn)?，是方程的兩個(gè)根，所以
①
步驟2：賦值
點(diǎn)乘雙根法賦值目的是為了對(duì)目標(biāo)中的和進(jìn)行整體代換以達(dá)到簡化計(jì)算的目的，故對(duì)雙根式①中的進(jìn)行賦值得
，
整體求出
②．
接下來先求出，，只需對(duì)雙根是進(jìn)行賦值，并兩邊同時(shí)乘以可得
③．
步驟3：變形代入
將②和③整體代入，可得
，
即，分解因式得，或，
當(dāng)時(shí)，直線，故直線恒過定點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，直線，故直線恒過定點(diǎn)，舍去．
4、典型例題
【例1】(2012年重慶理科第20題)設(shè)橢圓中心在原點(diǎn)，長軸在軸上，上頂點(diǎn)為，左右頂點(diǎn)分別為，，線段 ，中點(diǎn)分別為，，且是面積為的直角三角形．
（1）求其橢圓的方程
（2）過作直線交橢圓于，兩點(diǎn)，使，求直線的方程．

【解析】（1），過程略．
（2）法一：(點(diǎn)乘雙根)
易知：直線不與軸垂直，則設(shè)直線方程為：，，，
因?yàn)?，則，所以，
①
現(xiàn)聯(lián)立
則方程可以等價(jià)轉(zhuǎn)化
即
令，
令，
結(jié)合化簡可得：
，，所以直線方程為：．
法二：（點(diǎn)乘雙根）
若的斜率為，則，所以的斜率不會(huì)為．
設(shè)：，，，則，，所以
①，
將，代入①得
②．
當(dāng)時(shí)，：，經(jīng)檢驗(yàn)不符合題意；
當(dāng)時(shí)，②式變形得
③，
聯(lián)立得
，
令，則，即
④；
令，則，即
⑤，
將④⑤代入③得
，
解得，所以：．
【方法小結(jié)】由，得，故而按照點(diǎn)乘雙根法的步驟去求解即可，方法一和方法二都是于點(diǎn)乘雙根法，題目不同在于消去的元不一樣，并無本質(zhì)上的區(qū)別，都是用點(diǎn)乘雙根法去簡化有關(guān)雙根的和與乘積有關(guān)的式子的計(jì)算問題．
【例2】(2018年全國課標(biāo)卷3理科16題) 已知點(diǎn)和拋物線：，過的焦點(diǎn)且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)．若，則 ．
【解析】法一：（點(diǎn)乘雙根法）
設(shè)，，直線：(其中)，
因?yàn)椋?，?br />
①

聯(lián)立消去可得：
，
又因?yàn)?，是方程的兩根，所?br /> ②．
令，得，所以
③；
令，得，所以
④
將③④式代入①，得
，
解得，，所以．
法二:(常規(guī)方法) 拋物線：的焦點(diǎn)，過，兩點(diǎn)的直線方程為，
聯(lián)立，可得
，
設(shè)，，則
，，
，，
，，，，，
整理可得，
，
，即，．
故答案為．
法三:(中點(diǎn)弦法) 設(shè)，，則，所以，

則，如圖，取的中點(diǎn)，分別過，作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，，在中，，所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，且平行于軸，則，從而有，代入，故填．

練習(xí)鞏固：
1．設(shè)，為橢圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，過原點(diǎn)作直線的垂線，求的軌跡方程．

1． 解析：法一：（常規(guī)方法）
設(shè)，，,設(shè)直線方程為，聯(lián)立化簡可得:
，
所以
，，
因?yàn)?，所?br /> ，
①
又因?yàn)橹本€方程等價(jià)于為，即，
對(duì)比于，則代入①中，化簡可得：．
法二：（齊次化解法）
設(shè)直線方程為，聯(lián)立，可得，
所以，化簡可得，
整理成關(guān)于，的齊次式：
，
進(jìn)而兩邊同時(shí)除以，則
，
記，的斜率分別為，，則，為方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得，
因?yàn)?，所以?br /> ①
又因?yàn)橹本€方程等價(jià)于為，即，
對(duì)比于，則，代入①中，化簡可得：．
2．已知橢圓，設(shè)直線不經(jīng)過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若直線，的斜率之和為，證明：直線恒過定點(diǎn)．

2．解：(1)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立新的直角坐標(biāo)系，如圖所示：

舊坐標(biāo) 新坐標(biāo)

即
所以，則，即，
在新坐標(biāo)中轉(zhuǎn)換為：，即．
設(shè)直線方程為：．
原方程：則轉(zhuǎn)換到新坐標(biāo)就成為：．
展開得：
構(gòu)造齊次式：
整理為：
兩邊同時(shí)除以，則
所以，所以代入，
整理得，對(duì)于任意都成立．
則，解之得，故原理坐標(biāo)系地應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為，所以過定點(diǎn)；
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)：，則，，
所以，直線：，過定點(diǎn)．
綜上，直線恒過定點(diǎn)．
3．已知橢圓，過其上一定點(diǎn)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線，分別交于橢圓于，兩點(diǎn)，證明：直線斜率為定值．

3．解析：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立新的直角坐標(biāo)系，如圖所示：

舊坐標(biāo) 新坐標(biāo)

即
所以，
原來 ，則轉(zhuǎn)換到新坐標(biāo)為：，即．
設(shè)直線方程為：．
原方程：則轉(zhuǎn)換到新坐標(biāo)就成為：．
展開得：
構(gòu)造齊次式：
整理為：
兩邊同時(shí)除以，則，
所以，所以
而．所以．
平移變換，斜率不變，所以直線斜率為定值．
4．已知橢圓：經(jīng)過點(diǎn),且離心率等于．
（1）求橢圓的方程；
(2)過點(diǎn)作直線,交橢圓于，兩點(diǎn)，且滿足，試判斷直線是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)請(qǐng)寫出點(diǎn)坐標(biāo)．
4．解析： (Ⅰ)橢圓經(jīng)過點(diǎn),且離心率等于,? 橢圓的方程為;?
(Ⅱ)方法一：（常規(guī)方法）
設(shè)直線的方程為，，
聯(lián)立橢圓方程得,則,．
,?
由,得,代入得，
(舍去), ,直線的方程為,所以過定點(diǎn)．
方法二：（平移坐標(biāo)＋齊次化）

把橢圓向左平移2個(gè)單位，（是為了平移到原點(diǎn)）
則方程變成（左加右減，上減下加）
設(shè)直線為；下面對(duì)橢圓方程進(jìn)行化簡；
我們需要的形式是不出現(xiàn)一次項(xiàng)，都是二次項(xiàng)，此時(shí)將乘上一個(gè)，也就是即可，此時(shí)橢圓方程變成，兩邊同時(shí)除以，令，則化簡為，又因?yàn)椋瑒t恒過，再向右平移個(gè)單位，則恒過．
5．已知橢圓與雙曲線有共同焦點(diǎn)，且離心率為．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)為橢圓的下頂點(diǎn)，，為橢圓上異于的不同兩點(diǎn)，且直線與的斜率之積為．
①試問，所在直線是否過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說明理由;
②若點(diǎn)為橢圓上異于，的一點(diǎn)，且，求的面積的最小值．
5．解析：(1)依題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
雙曲線的焦點(diǎn)為，，解得，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
(2)①由題意可知
設(shè)，直線的解析式為
則有即有 (*)
聯(lián)立整理得
將此代入(*)式可得，當(dāng)直線過
故此時(shí)直線過定點(diǎn)，②由①知，由知
直線的解析式為，聯(lián)立可得
，

設(shè)，，當(dāng)時(shí)，為最?。?br /> 方法二：齊次化+平移構(gòu)造：
把點(diǎn)平移到原點(diǎn)，需向上平移個(gè)單位，設(shè)直線為此時(shí)橢圓方程變成，為了讓結(jié)果都是二次項(xiàng)，則讓乘上一個(gè)1，即，即，化簡得：，同時(shí)除以，并令，則方程變成，此時(shí)；
直線為，恒過，再平移回去，則原題直線恒過．
6．（2017新課標(biāo)Ⅰ卷理科第20題）已知橢圓：，四點(diǎn)，，，中恰有三點(diǎn)在橢圓上．
(1)求的方程；
(2)設(shè)直線不經(jīng)過點(diǎn)且與相交于，兩點(diǎn)．若直線與直線的斜率的和為，證明：過定點(diǎn)．
6．解析：（1）由于兩點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，故由題設(shè)知經(jīng)過，兩點(diǎn)．又由知，不經(jīng)過點(diǎn)，所以點(diǎn)在上，因此，解得，故的方程為．
（2）法一：（常規(guī)方法）設(shè)直線與直線的斜率分別為，，
如果與軸垂直，設(shè)，由題設(shè)知，且，可得，的坐標(biāo)分別為，．則，得，不符合題設(shè)．
從而可設(shè)，將代入得：，由題設(shè)可知，設(shè)，，
則，，
而，
由題設(shè)，故，
即，
解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，則，
即，所以過定點(diǎn)．
法二：齊次化+平移構(gòu)造
步驟1：平移坐標(biāo)系，當(dāng)定點(diǎn)不是坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，要坐標(biāo)系原點(diǎn)平移到與定點(diǎn)重合．
令，在新坐標(biāo)系中，曲線：的方程為，
化簡得．
步驟2：聯(lián)立方程構(gòu)建齊次式
聯(lián)立曲線方程和直線方程，
進(jìn)行“”的代換構(gòu)造齊次式，化簡得：，
兩邊同除以得．
步驟3：構(gòu)建目標(biāo)條件
本題目標(biāo)條件是研究直線與直線的斜率之和時(shí)，
易知和是方程的兩個(gè)根，
由韋達(dá)定理可得：，化簡可得，即，
將其代入直線方程得，整理得，
令，解得，故平移后的直線過定點(diǎn)．
步驟4：平移回去
將平移后的直線過的定點(diǎn)，將其代入得，故原直線過定點(diǎn)．
7．已知拋物線，過原點(diǎn)且相互垂直的直線，交拋物線于，兩點(diǎn)，求證：
直線過定點(diǎn)．
7．解析：方法識(shí)別：，適合用齊次化來處理．
法一：（齊次化）
設(shè)：①，，，，，
將直線變形為，代入到中得，
兩邊同除以，整理可得，
注意到，，所以和方程的兩個(gè)根，
所以，又因?yàn)?，所以?br /> 所以，代入①可得，
所以直線恒定過定點(diǎn)．
類型識(shí)別：
因?yàn)橹本€，互相垂直，所以，適合用點(diǎn)乘雙根法．
方法二：（點(diǎn)乘雙根法）
設(shè)：①，，，則，
， ①．
聯(lián)立，，
又因?yàn)楹褪欠匠蹋?br /> 所以，
令，則②；
令，則③．
將②③代入①得，即，
代入可得，所以直線恒定過定點(diǎn)．

8．過雙曲線右焦點(diǎn)且斜率為的直線交雙曲線于，，若且，求雙曲線的方程．
方法識(shí)別：因?yàn)椋?，適合用齊次化來處理．
8．解析：法一：（齊次化）
設(shè)雙曲線方程為，直線：，其中．
將直線變形為，代入雙曲線方程得，
整理得，
兩邊同除以，，
注意到，，
所以和方程的兩個(gè)根，所以，
又因?yàn)?，所以，即，可得?br /> 化簡可得，即，，故雙曲線方程為，
聯(lián)立，消去得，
設(shè)，，則，，
由弦長公式得，
計(jì)算可得，，所以雙曲線方程為．
法二：（點(diǎn)乘雙根法）
方法識(shí)別：由，得，適合用點(diǎn)乘雙根法．
設(shè):①，，，則，
，①．
聯(lián)立，，
又因?yàn)楹褪欠匠蹋?br /> 所以．
令得②；
令得③．
將②③代入①得，
化簡可得，即，，故雙曲線方程為，
聯(lián)立，消去得，
設(shè)，，則，，
由弦長公式得，
計(jì)算可得，，所以雙曲線方程為．
9．直線與圓相交于，，且，求的值．
類型識(shí)別：，所以，適合用齊次化來處理．
9．解析：設(shè)，，將直線變形為，
代入圓得，
化簡得，
等式兩邊同除以得，
注意到，，所以和方程的兩個(gè)根，
所以，計(jì)算可得．
10．過橢圓:上的定點(diǎn)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線，分別交橢圓于，兩點(diǎn)，求證：．
類型識(shí)別:因?yàn)閮蓷l直線傾斜角互補(bǔ)，所以，所以可用齊次化+平移構(gòu)造．
10． 解析：設(shè):,將橢圓方程變?yōu)楹男问娇傻茫?br /> ，
11． 展開得，
與直線方程聯(lián)立并齊次化整理得，
由韋達(dá)定理可得，即，
所以，即，可得．
11．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過作兩條垂直的直線，，與拋物線相交于，兩點(diǎn)，與拋物線相交于，兩點(diǎn)，求的最小值．
11．解析：設(shè)，，：，：，
聯(lián)立，得的兩個(gè)根為，，
，
又，
同理以替換可得：，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即取得最小值．
12．已知拋物線方程為，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，，且，求的值．
12．解析：設(shè)，， ①
聯(lián)立，消得②，
將代入②式得 ③；
同理：聯(lián)立，消得④，
將代入④得⑤，
聯(lián)立①③⑤得：，
所以，所以直線方程為．
13．（2013年石家莊一模理科20）橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，過作與軸不重合的直線交橢圓于，兩點(diǎn)．
（1）若為正三角形，求橢圓的離心離；
（2）若橢圓的離心離滿足，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：．
13．解析：（1），過程略．
（2）（點(diǎn)乘雙根法）

由題意有：，，所以，
則，要證（因?yàn)椋?br /> ．
設(shè)，，①當(dāng)軸時(shí)，，則，，
則
，所以．
②當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線：，，，
所以 ⑴．
聯(lián)立 得，
所以，
令，則，即②；
令，則，即③，
將②③代入①得，
要證，只需證即可，
因?yàn)?，則，
所以，
所以，綜上可得：．
14．(2008年遼寧理科第20題) 在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到兩點(diǎn)，的距離之和等于，設(shè)點(diǎn)的軌跡為，直線與交于，兩點(diǎn)．
（Ⅰ）寫出的方程；
（Ⅱ）若，求的值；
（Ⅲ）若點(diǎn)在第一象限，證明：當(dāng)時(shí)，恒有．
14．解析：（Ⅰ）設(shè)，由橢圓定義可知，點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長半軸為的橢圓．它的短半軸，
故曲線C的方程為．
（Ⅱ）法一：（常規(guī)方法）
設(shè),，其坐標(biāo)滿足，消去并整理得，
故，．
若，即 ，而，
于是 ，化簡得，所以．
法二：（點(diǎn)乘雙根法）
設(shè),，直線：．若，則：，即，，
故,．
因?yàn)?，所以①?br /> 將代入①得②．
聯(lián)立得，
令得③；
令，則，即④．
將③④代入②，即，，所以．
法三：（點(diǎn)乘雙根法）設(shè),，直線：．若，則：，即，，故,，故，與矛盾，所以，直線：可變?yōu)椋ㄆ渲校?，故?br /> 因?yàn)?，所以①?
聯(lián)立得，
即令得，即②；
令，則，③．
將②③代入①，即，，所以．
（Ⅲ）．
因?yàn)樵诘谝幌笙?，故．由知，從而．又，故，即在題設(shè)條件下，恒有．
15．(2017年高考課標(biāo)1卷第20題) 設(shè)，為曲線：上兩點(diǎn)，與的橫坐標(biāo)之和為．
（1）求直線的斜率；
（2）設(shè)為曲線上一點(diǎn)，在處的切線與直線平行，且，求直線的方程．
15． 解析：（1）設(shè),，則，，，，
于是直線的斜率．
（2）法一：（常規(guī)方法）
因?yàn)椋?，設(shè)，由題設(shè)知，所以，于是，
設(shè)直線的方程:，故線段的中點(diǎn)為，，
將代入，得，
當(dāng)即時(shí)，，，
從而，
由題設(shè)知，，即，解得，
所以直線的方程:．
法二：（點(diǎn)乘雙根法）
類型識(shí)別:因?yàn)?，所以，故適合使用點(diǎn)乘雙根法．
因?yàn)?，所以，設(shè)，由題設(shè)知，所以，于是．
設(shè)，，，，
因?yàn)椋?①．
設(shè)直線的方程:，聯(lián)立化簡得，
又因?yàn)椋欠匠痰膬蓚€(gè)根，
故有②，
令，則③，
又，
令代入②得④，
將③④代入①得，解之得或（舍去），
故所以直線的方程:．
法三：（齊次化+坐標(biāo)系平移構(gòu)造）
因?yàn)椋?，設(shè)，由題設(shè)知，所以，所以，
平移坐標(biāo)系，使坐標(biāo)原點(diǎn)與點(diǎn)重合，則，
在新坐標(biāo)系中，曲線：的方程為：，整理得．
直線平移后變?yōu)?，斜率仍為，其方程不妨設(shè)為，代入曲線方程得
，，
兩邊同除以得，
易知和是方程的兩個(gè)根，且，
故由韋達(dá)定理得，，直線的方程為，
平移回原坐標(biāo)系得直線方程為，即．
16．(2019年北京二中期中考試)已知拋物線過點(diǎn)，且點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為．
（1）求拋物線的方程；
（2）直線與拋物線交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，，若，則求實(shí)數(shù)的值；
16．解析：（1）由拋物線定義可知點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離，即，，所以拋物線的
方程為．
(2)(點(diǎn)乘雙根法)
設(shè)，，則，，
因?yàn)?，所以①?
聯(lián)立消去得，
又因?yàn)楹褪堑膬蓚€(gè)根，所以，
令得②；
令，③，
將②③代入①得，解得或，
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，直線與拋物線交點(diǎn)中有一點(diǎn)與原點(diǎn)重合，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，符合題意．
綜上，實(shí)數(shù)的值為．
17． 直線與雙曲線 相交于，兩點(diǎn)，若以為直徑的圓過原點(diǎn)，且雙曲線的離心率為，求雙曲線的方程．
17．解析：法一：（常規(guī)解法）
由雙曲線的離心率為，即，得，
所以雙曲線方程可設(shè)為．聯(lián)立，
②代入①消去得，
設(shè)，，則，，
又以為直徑的圓過原點(diǎn)，所以，
所以，即，
將韋達(dá)定理代入得：，
解之得，所以，故雙曲線的方程為．
方法二：（齊次化解法）
由雙曲線的離心率為，即，得，
所以雙曲線方程可設(shè)為．聯(lián)立，
由 ①得代入②消去“”構(gòu)建關(guān)于，的齊次式得：，又，兩邊同除以得③，
所以和為方程③的兩個(gè)根，
由韋達(dá)定理得，解之得，所以，
故雙曲線的方程為．
法三：（點(diǎn)乘雙根法）
由雙曲線的離心率為，即，得，
所以雙曲線方程可設(shè)為．
又以為直徑的圓過原點(diǎn)，所以，
所以，即．
聯(lián)立，②代入①消去得，
又因?yàn)楹褪欠匠痰膬蓚€(gè)根，所以③．
將代入③得，
將代入③得，
代入式得，解之得，所以，
故雙曲線的方程為．


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