2023屆新高考數(shù)學(xué)解析幾何專題講義第16講范圍與最值問題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

第16講范圍與最值問題一、問題綜述圓錐曲線中的目標(biāo)取值范圍與最值問題，實(shí)質(zhì)是探求運(yùn)動(dòng)變化中的特殊值或臨界值，可以與函數(shù)、不等式等知識相結(jié)合。通常有兩類：一類是有關(guān)角度、長度或面積的最值或取值范圍問題；一類是圓錐曲線中有關(guān)的幾何元素的最值或取值范圍問題。二、典例分析類型1：化折為直--圓錐曲線的定義轉(zhuǎn)化法【例1】拋物線上一點(diǎn)到直線的距離與到點(diǎn)的距離之差的最大值為（） A． B． C． D．【解析】如圖作出拋物線，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，直線為拋物線的準(zhǔn)線，過點(diǎn)作垂直于直線，垂足為點(diǎn)，由拋物線的定義知，則點(diǎn)到直線的距離與到點(diǎn)的距離之差當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，由三角形三邊之間的關(guān)系可知，當(dāng)點(diǎn)為射線與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，故選D 方法總結(jié)：化折為直--圓錐曲線的定義轉(zhuǎn)化法第一步根據(jù)圓錐曲線的定義，把所求的最值轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)之間的距離、點(diǎn)線之間的距離等；第二步利用兩點(diǎn)間線段最短，或垂線段最短，或三角形的三邊性質(zhì)等找到取得最值的臨界條件，進(jìn)而求出最值．類型2：距離的最值與范圍問題【例2】求橢圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值和最小值，并求取得最值時(shí)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】解法1切線法設(shè)與直線平行，且與橢圓相切的直線為將代入，得所以，解得當(dāng)時(shí)，代入中得切點(diǎn)坐標(biāo)為，此時(shí) 當(dāng)時(shí)，代入中得切點(diǎn)坐標(biāo)為，此時(shí) 解法2 參數(shù)法設(shè)橢圓上的點(diǎn)，，則點(diǎn)到直線的距離（其中）當(dāng)時(shí)，得，即點(diǎn)，此時(shí) 當(dāng)時(shí)，得，即點(diǎn)，此時(shí) 【方法總結(jié)】 1．切線法第一步設(shè)出與這條直線平行的圓錐曲線的切線，第二步切線方程與曲線方程聯(lián)立，消元得到一個(gè)一元二次方程，且，求出的值，即可求出切線方程；第三步兩平行線間的距離就是所求的最值，切點(diǎn)就是曲線上去的最值時(shí)的點(diǎn)． 2．參數(shù)法第一步根據(jù)曲線方程的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)膮?shù)表示曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)；第二步將目標(biāo)函數(shù)表示成關(guān)于參數(shù)的函數(shù)；第三步把所求的最值歸結(jié)為求解關(guān)于這個(gè)參數(shù)的函數(shù)的最值的方法．【例3】如圖，已知拋物線，點(diǎn)，，拋物線上的點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為（ = 1 \* ROMAN I）求直線斜率的取值范圍；（ = 2 \* ROMAN II）求的最大值．【解析】（Ⅰ）設(shè)直線的斜率為 ,則因?yàn)?，所以直線斜率的取值范圍是。（Ⅱ）聯(lián)立直線與的方程得，解得點(diǎn)的橫坐標(biāo)是因?yàn)? |PA|= |PQ|= ，所以令因?yàn)? 所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，因此當(dāng)時(shí)，取得最大值【方法總結(jié)】函數(shù)法第一步：把所求最值的目標(biāo)表示為關(guān)于某個(gè)變量的函數(shù)；第二步：通過研究這個(gè)函數(shù)求最值，是求各類最值最為普遍的方法．【例4】定長為的線段的兩個(gè)端點(diǎn)在上移動(dòng)，中點(diǎn)為，求點(diǎn)到軸的最短距離。【解析】解法1 函數(shù)思想+基本不等式法設(shè)，，中點(diǎn)，則由得即（4）由（2）（3）得代入（4）得，所以，，所以當(dāng) 即時(shí)，此時(shí) 解法2拋物線定義+化折為直如圖，所以，即，所以，當(dāng)經(jīng)過焦點(diǎn)時(shí)取得最小值。所以點(diǎn)到軸的最短距離為【方法總結(jié)】（1）可直接利用拋物線設(shè)點(diǎn)，如設(shè)，，又設(shè)中點(diǎn)為用弦長公式及中點(diǎn)公式得出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，再利用基本不等式或函數(shù)思想求出最短距離。（2）到軸的距離是一種“點(diǎn)線距離”，可先考慮到準(zhǔn)線的距離，想到用定義法。類型3：面積的最值問題【例5】拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)． (1)若，求直線AB的斜率； (2)設(shè)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，求四邊形面積的最小值．【解析】(1)依題意知，設(shè)直線的方程為．將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去得．設(shè)，，所以， ① 因?yàn)?，所?② 聯(lián)立①和②，消去，得．所以直線的斜率是． (2) 原點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，得是線段的中點(diǎn)，從而點(diǎn)與點(diǎn)到直線的距離相等，所以四邊形的面積等于．因?yàn)椋?所以當(dāng) 時(shí)，四邊形OACB的面積最小，最小值是4． x y O M A B C F 【例6】已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，直線交拋物線于另一點(diǎn)，的最小值為．（Ｉ）求拋物線的方程；（Ⅱ）記、的面積分別為，，求的最小值．【解析】（Ⅰ）由已知及拋物線的幾何性質(zhì)可得＝4 拋物線的方程為．　　　　　　（Ⅱ）設(shè)直線，由同理可得，從而，點(diǎn)到的距離又= == 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)有最小值．【方法總結(jié)】圓錐曲線中的有關(guān)最值（范圍）問題，常用代數(shù)法和幾何法解決。（1）若命題的條件和結(jié)論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質(zhì)來解決。（2）若命題的條件和結(jié)論體現(xiàn)明確的函數(shù)關(guān)系式，則可建立目標(biāo)函數(shù)（通常利用二次函數(shù)，三角函數(shù)，均值不等式）求最值。類型4：面積的取值范圍【例7】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是,離心率,過點(diǎn)且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為．（1）求橢圓的方程; （2）若直線過橢圓的右焦點(diǎn),且與軸不重合, 交橢圓于兩點(diǎn), 過點(diǎn)且與垂直的直線與圓交于兩點(diǎn), 求四邊形面積的取值范圍．【解析】（1）略（2）當(dāng)直線與軸不垂直時(shí), 設(shè)的方程 , 由,得,則 , ,過點(diǎn)且與垂直的直線, 圓心到的距離是,所以．故四邊形面積．可得當(dāng)與軸不垂直時(shí), 四邊形面積的取值范圍為．當(dāng)與軸垂直時(shí), 其方程為,四邊形面積為, 綜上, 四邊形面積的取值范圍為．【例8】如圖，已知直線，，分別與拋物線交于點(diǎn)，，，與軸的正半軸分別交于點(diǎn)，，，且，直線方程為．　（Ⅰ）設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：；（Ⅱ）求的取值范圍．【解析】（Ⅰ）聯(lián)立，解得，由圖象可知，易知，由題意可設(shè)， ∴ （），，所以，故．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，，聯(lián)立，得，同理，得設(shè)點(diǎn)到的距離為，點(diǎn)到的距離為， ∴ ，所以因?yàn)?，所以的取值范圍是．類型5：斜率的取值范圍【例9】若拋物線上存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】解法1：當(dāng)時(shí)，顯然滿足．當(dāng)時(shí)，設(shè)拋物線上關(guān)于直線對稱的兩點(diǎn)分別為，且的中點(diǎn)為，則，又，．中點(diǎn)在直線上，，于是．中點(diǎn)在拋物線區(qū)域內(nèi) ，即，解得．綜上可知，所求實(shí)數(shù)的取值范圍是．解法2：當(dāng)時(shí)，顯然滿足．當(dāng)時(shí)，設(shè)拋物線上關(guān)于直線對稱的兩點(diǎn)分別為，且的中點(diǎn)為，設(shè)直線的方程為直線與拋物線聯(lián)立得 ① 所以，，所以，由點(diǎn)在直線上，得，即 ② ②代入①得，解得．綜上可知，所求實(shí)數(shù)的取值范圍是．【方法總結(jié)】解法1：利用拋物線上存在不同的兩點(diǎn)的中點(diǎn)在不等式所表示的區(qū)域內(nèi)，建立不等式，從而得到結(jié)果．解法2：利用直線與拋物線聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為一元方程根的個(gè)數(shù)，利用判別式建立不等式．類型6：向量的數(shù)量積的取值范圍【例10】已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且斜率為的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)．設(shè) 直線是拋物線的切線，且，為上一點(diǎn)，則的最小值為_____．[來源:學(xué)# 【解析】設(shè)：，代入拋物線方程，得，因?yàn)榕c拋物線相切，所以，解得，所以：．由拋物線的方程，知，所以：．設(shè)，由，得，所以，所以．設(shè)，則，，所以，所以的最小值為．【方法總結(jié)】在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時(shí)常從以下五個(gè)方面考慮： (1)利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍； (2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是在兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系； (3)利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍； (4)利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍； (5)利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍．三、鞏固練習(xí) 1．已知點(diǎn)是雙曲線的左焦點(diǎn)，定點(diǎn)是雙曲線右支上動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為． 2．是橢圓的右焦點(diǎn)，為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為． 3．已知是橢圓的右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，，當(dāng)周長最小時(shí)，其面積為 4．設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為、，過的直線交雙曲線左支于、，則的最小值為________． 5．設(shè)實(shí)數(shù)、滿足，若，則的最小值為________． 6．在平面直角坐標(biāo)系中，是橢圓上動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是________． 7．設(shè)，求的最大值，并求取得最值時(shí)的值． 8．如圖，設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，點(diǎn) 關(guān)于對稱，且（1）求橢圓的離心率；（2）已知是過三點(diǎn)的圓上的點(diǎn)，若的面積為，求點(diǎn)到直線距離的最大值． 9．已知點(diǎn)，在拋物線上，點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為若點(diǎn)的坐標(biāo)為，且是的垂心，求直線的方程；若點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，且，求的最小值； 10．對于橢圓，有如下性質(zhì)：若點(diǎn)是橢圓外一點(diǎn)，是橢圓的兩條切線，則切點(diǎn)所在直線的方程是．利用此結(jié)論解答下列問題：已知橢圓和點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)是，記點(diǎn)到直線（是坐標(biāo)原點(diǎn)）的距離是．（1）當(dāng)時(shí)，求線段的長；（2）求的最大值． 11．如圖，過橢圓上一點(diǎn)向軸作垂線，垂足為左焦點(diǎn)，分別為的右頂點(diǎn)，上頂點(diǎn)，且，．（1）求橢圓的方程；（2）過原點(diǎn)做斜率為的直線，交于兩點(diǎn)，求四邊形面積的最大值． 12．已知點(diǎn)在拋物線上，過作圓的切線，且切線段長最短為．（Ｉ）求拋物線的方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，（為正常數(shù)），直線，分別交拋物線于、兩點(diǎn)，求面積取最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)． 13．已知橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且長軸長為（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若是橢圓的左頂點(diǎn)，經(jīng)過左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求與的面積之差的絕對值的最大值．（為坐標(biāo)原點(diǎn)） 14．已知拋物線內(nèi)有一點(diǎn)，過的兩條直線分別與拋物線交于和兩點(diǎn)，且滿足，已知線段的中點(diǎn)為，直線的斜率為（1）求證：點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值；（2）如果，點(diǎn)的縱坐標(biāo)小于，求的面積的最大值 15．如圖所示，已知拋物線的焦點(diǎn)為，，是拋物線上的兩點(diǎn)，線段的中垂線交軸于點(diǎn)，若．求點(diǎn)的坐標(biāo)；求面積的最大值． 16．過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，拋物線在、處的切線交于．（1）求證：；（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，求的面積的最小值． 17．已知拋物線，是其焦點(diǎn)，是上異于原點(diǎn)的點(diǎn)，過作的切線與的準(zhǔn)線的準(zhǔn)線相交于，點(diǎn)滿足，（1）求證：，（2）設(shè)直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，求面積的取值范圍． 18．已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，是的左頂點(diǎn)，斜率為的直線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在上，．（1）當(dāng)時(shí)，求的面積；（2）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍． 19．設(shè)橢圓（）的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知，其中為原點(diǎn)，為橢圓的離心率．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)（不在軸上），垂直于的直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，且，求直線的斜率的取值范圍． 20．已知是雙曲線上的一點(diǎn)，是上的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則的取值范圍是 ( ) （A）（B）（C）（D）鞏固練習(xí)答案 1．答案解：設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為，由雙曲線的定義知，，則所以 2．解：（1）答案設(shè)另一焦點(diǎn)為，則連，當(dāng)是的延長線與橢圓的交點(diǎn)時(shí), 取得最小值為。 3．答案：4 解法：（利用橢圓定義轉(zhuǎn)化）由，已知點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，的周長 == 當(dāng)三點(diǎn)、、共線且點(diǎn)在線段上時(shí)，周長最小，此時(shí)直線的方程為：與橢圓聯(lián)立得，此時(shí)， 4．答案：解法：根據(jù)雙曲線定義，，所以所以易知當(dāng)垂直于軸時(shí)，，所以的最小值為 5．答案：2 解法：（數(shù)形結(jié)合）由設(shè),則易知為上焦點(diǎn)在橢圓內(nèi)，在橢圓外，所以當(dāng)運(yùn)動(dòng)到三點(diǎn)共線時(shí)候最小， 6．答案：解：設(shè)點(diǎn)，，則當(dāng)時(shí)， 7．答案：當(dāng)時(shí)，解：點(diǎn)，，則當(dāng)時(shí)，此時(shí)， 8．答案：（1）（2）解：（1）由已知條件可得，即（2）由（1）可知為正三角形，，解得過三點(diǎn)的圓為，即點(diǎn)在圓為上因?yàn)閳A心到直線距離為故該圓與直線相切，所以點(diǎn)到直線距離的最大值為 9．解：（Ⅰ）由題意思，則，因?yàn)槭堑拇剐?，所以，則設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線，得則由由題意由，即-化簡得．化簡得，故，解得經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，不符合題意．故直線的方程．（Ⅱ）顯然要使的最小，必須垂直于直線，分別過點(diǎn)作垂直于直線，等號成立當(dāng)且當(dāng)直線過焦點(diǎn)，且直線軸．因此的最小值為． 10．答案：（1）（2）解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)，直線的方程是：，當(dāng)時(shí)，直線的方程是，此時(shí) （2）由（1）知直線的方程是：，直線的方程是，，設(shè)，則，另所以，令，則，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有最大值為． 11．解（1）（2）直線：，設(shè)到直線的距離分別為將直線代入橢圓得或由，得直線的方程為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以當(dāng)時(shí)，四邊形的面積取得最大值． 12解：（1）因?yàn)椋?所以，即所以拋物線的方程是（2）設(shè)，設(shè)，代入，得，則同理可得，又，所以到直線的距離是所以＝設(shè)，則所以當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增所以當(dāng)取到最小值，同理所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí) 13．答案（Ⅰ）；（Ⅱ）的最大值為．解（Ⅰ）由題意得，又，則，所以．又，故橢圓的方程為．（Ⅱ）設(shè)的面積為，的面積為．當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)不妨設(shè)，，且，面積相等，．當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，設(shè)，，和橢圓方程聯(lián)立得，消掉得．顯然，方程有根，且．此時(shí)．因?yàn)?，所以上式（時(shí)等號成立）．所以的最大值為． 14．解析：（1）設(shè)中點(diǎn)為，則由可推得，這說明，且和三點(diǎn)共線對使用點(diǎn)差法，可得即，同理，于是即軸，所以為定值（2）由得到，設(shè)，聯(lián)立，得所以于是，當(dāng)時(shí)，有最大值 15解：（Ⅰ）因?yàn)椋?設(shè)，所以，即設(shè)直線的方程是：，代入得，，所以，故，因?yàn)?，所以中點(diǎn)坐標(biāo)為又因?yàn)榈闹写咕€方程是，令，得，（Ⅱ）因?yàn)橹悬c(diǎn)在直線上所以，且，解得所以令，，則，設(shè)，則，易得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以 16．答案：（1）詳見解析；（2）解：（1）設(shè)，，把拋物線看成函數(shù)求導(dǎo)得，則：即，：解得，所以，所以．設(shè)：與拋物線聯(lián)立得：，所以，，從而，所以，所以；（2）由（1）得，，，，因?yàn)?，所以，，所以? ，所以．，因?yàn)?，所以點(diǎn)到直線的距離，所以，令，則有，所以． 17．解：（1）設(shè)，則點(diǎn)處的切線方程為令，則，故從而所以，所以．（2）由（1）可知直線的方程為，代入拋物線方程得，設(shè)，則因?yàn)椋?所以，，所以． 18．解（1）（2）由題意，，．將直線的方程代入得．由得，故由題設(shè)，直線的方程為，故同理可得，由得，即．當(dāng)時(shí)上式不成立，因此．等價(jià)于，即．由此得，或，解得．因此的取值范圍是． 19．答案：（Ⅰ）（Ⅱ）解：（1）（2）設(shè)直線的斜率為（），則直線的方程為．設(shè)，由方程組，消去，整理得．解得，或，由題意得，從而．由（Ⅰ）知，，設(shè)，有，．由，得，所以，解得．因此直線的方程為．設(shè)，由方程組消去，解得．在中，，即，化簡得，即，解得或． 20．答案 A．解析：由題知及，所以，解得．

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