思維導圖
知識梳理
1．均值
一般地，若離散型隨機變量X的分布列為：
則稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機變量X的均值或數(shù)學期望．它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．
2．方差
設離散型隨機變量X的分布列為：
則(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相對于均值E(X)的偏離程度．而D(X)＝eq \i\su(i＝1,n, )(xi－E(X))2pi為這些偏離程度的加權平均，刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度．稱D(X)為隨機變量X的方差，并稱其算術平方根eq \r(D?X?)為隨機變量X的標準差．
3．兩個特殊分布的期望與方差
4．正態(tài)分布
(1)正態(tài)曲線的特點
①曲線位于x軸上方，與x軸不相交；
②曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱；
③曲線在x＝μ處達到峰值eq \f(1,σ\r(2π))；
④曲線與x軸之間的面積為1；
⑤當σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；
⑥當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．
(2)正態(tài)分布的三個常用數(shù)據(jù)
①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6；
②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4；
③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 4.
題型歸納
題型1 離散型隨機變量的均值與方差
【例1-1】為迎接2022年北京冬奧會，推廣滑雪運動，某滑雪場開展滑雪促銷活動．該滑雪場的收費標準是：滑雪時間不超過1小時免費，超過1小時的部分每小時收費標準為40元(不足1小時的部分按1小時計算)．有甲、乙兩人相互獨立地來該滑雪場運動，設甲、乙不超過1小時離開的概率分別為eq \f(1,4)，eq \f(1,6)；1小時以上且不超過2小時離開的概率分別為eq \f(1,2)，eq \f(2,3)；兩人滑雪時間都不會超過3小時．
(1)求甲、乙兩人所付滑雪費用相同的概率；
(2)設甲、乙兩人所付的滑雪費用之和為隨機變量ξ(單位：元)，求ξ的分布列與數(shù)學期望E(ξ)，方差D(ξ)．
【解】 (1)兩人所付費用相同，相同的費用可能為0,40,80元，
兩人都付0元的概率為P1＝eq \f(1,4)×eq \f(1,6)＝eq \f(1,24)，
兩人都付40元的概率為P2＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,3)，
兩人都付80元的概率為
P3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,6)－\f(2,3)))＝eq \f(1,4)×eq \f(1,6)＝eq \f(1,24)，
故兩人所付費用相同的概率為P＝P1＋P2＋P3＝eq \f(1,24)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,24)＝eq \f(5,12).
(2)由題設甲、乙所付費用之和為ξ，ξ可能取值為0,40,80,120,160，則：
P(ξ＝0)＝eq \f(1,4)×eq \f(1,6)＝eq \f(1,24)，
P(ξ＝40)＝eq \f(1,4)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,6)＝eq \f(1,4)，
P(ξ＝80)＝eq \f(1,4)×eq \f(1,6)＋eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,6)×eq \f(1,4)＝eq \f(5,12)，
P(ξ＝120)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,6)＋eq \f(1,4)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,4)，
P(ξ＝160)＝eq \f(1,4)×eq \f(1,6)＝eq \f(1,24).
ξ的分布列為
E(ξ)＝0×eq \f(1,24)＋40×eq \f(1,4)＋80×eq \f(5,12)＋120×eq \f(1,4)＋160×eq \f(1,24)＝80.
D(ξ)＝(0－80)2×eq \f(1,24)＋(40－80)2×eq \f(1,4)＋(80－80)2×eq \f(5,12)＋(120－80)2×eq \f(1,4)＋(160－80)2×eq \f(1,24)＝eq \f(4 000,3).
【跟蹤訓練1-1】(2019·浙江高考)設0

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