思維導(dǎo)圖
知識(shí)梳理
1．事件的相關(guān)概念
2．頻數(shù)、頻率和概率
(1)頻數(shù)、頻率：在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝eq \f(nA,n)為事件A出現(xiàn)的頻率．
(2)概率：對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記作P(A)，稱為事件A的概率．
3．事件的關(guān)系與運(yùn)算
4．概率的幾個(gè)基本性質(zhì)
(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率為eq \a\vs4\al(1).
(3)不可能事件的概率為eq \a\vs4\al(0).
(4)概率的加法公式：如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(5)對(duì)立事件的概率：若事件A與事件B互為對(duì)立事件，則A∪B為必然事件，P(A∪B)＝eq \a\vs4\al(1)，P(A)＝1－P(B)．
5．古典概型
(1)特點(diǎn)：
①有限性：在一次試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果只有有限個(gè)，即只有有限個(gè)不同的基本事件．
②等可能性：每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性是均等的．
(2)計(jì)算公式：
P(A)＝eq \f(A包含的基本事件的個(gè)數(shù),基本事件的總數(shù))
題型歸納
題型1 隨機(jī)事件的關(guān)系
【例1-1】把紅、黃、藍(lán)、白4張紙牌隨機(jī)地分發(fā)給甲、乙、丙、丁四人，每個(gè)人分得一張，事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”( )
A．是對(duì)立事件 B．是不可能事件
C．是互斥但不對(duì)立事件 D．不是互斥事件
【例1-2】從1,2,3，…，7這7個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，其中：
①恰有一個(gè)是偶數(shù)和恰有一個(gè)是奇數(shù)；
②至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是奇數(shù)；
③至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是偶數(shù)；
④至少有一個(gè)是奇數(shù)和至少有一個(gè)是偶數(shù)．
上述事件中，是對(duì)立事件的是( )
A．① B．②④
C．③ D．①③
【跟蹤訓(xùn)練1-1】在5張電話卡中，有3張移動(dòng)卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，若事件“2張全是移動(dòng)卡”的概率是eq \f(3,10)，那么概率是eq \f(7,10)的事件是( )
A．至多有一張移動(dòng)卡 B．恰有一張移動(dòng)卡
C．都不是移動(dòng)卡 D．至少有一張移動(dòng)卡
【跟蹤訓(xùn)練1-2】對(duì)飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)A＝{兩次都擊中飛機(jī)}，B＝{兩次都沒擊中飛機(jī)}，C＝{恰有一次擊中飛機(jī)}，D＝{至少有一次擊中飛機(jī)}，其中彼此互斥的事件是________________________，互為對(duì)立事件的是________．
【名師指導(dǎo)】
判斷互斥、對(duì)立事件的2種方法
題型2 隨機(jī)事件的頻率與概率
【例2-1】(2019·北京高考)改革開放以來(lái)，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來(lái)，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學(xué)生上個(gè)月A，B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校所有的1 000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：
(1)估計(jì)該校學(xué)生中上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的人數(shù)；
(2)從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，求該學(xué)生上個(gè)月支付金額大于2 000元的概率；
(3)已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化．現(xiàn)從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽查1人，發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2 000元．結(jié)合(2)的結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用B的學(xué)生中本月支付金額大于2 000元的人數(shù)有變化？說(shuō)明理由．
【跟蹤訓(xùn)練2-1】(2019·全國(guó)卷Ⅱ)我國(guó)高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn)．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.97，有20個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.98，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為________．
【跟蹤訓(xùn)練2-2】某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：
以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率．
(1)估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率；
(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位：元)．當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，寫出Y的所有可能值，并估計(jì)Y大于零的概率．
【名師指導(dǎo)】
1．概率與頻率的關(guān)系
頻率反映了一個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機(jī)的，而概率是一個(gè)確定的值，通常用概率來(lái)反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，有時(shí)也用頻率來(lái)作為隨機(jī)事件概率的估計(jì)值．
2．隨機(jī)事件概率的求法
利用概率的統(tǒng)計(jì)定義求事件的概率，即通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)，事件發(fā)生的頻率會(huì)逐漸趨近于某一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是概率．
題型3 互斥事件、對(duì)立事件概率公式的應(yīng)用
【例3-1】某商場(chǎng)有獎(jiǎng)銷售中，購(gòu)滿100元商品得1張獎(jiǎng)券，多購(gòu)多得.1 000 張獎(jiǎng)券為一個(gè)開獎(jiǎng)單位，設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50個(gè)．設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件分別為A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率；
(3)1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率．
【跟蹤訓(xùn)練3-1】某超市為了了解顧客的購(gòu)物量及結(jié)算時(shí)間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購(gòu)物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示.
已知這100位顧客中一次購(gòu)物量超過(guò)8件的顧客占55%.
(1)確定x，y的值，并估計(jì)顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間的平均值；
(2)求一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過(guò)2分鐘的概率．(將頻率視為概率)
【跟蹤訓(xùn)練3-2】A，B，C三個(gè)班共有100名學(xué)生，為調(diào)查他們的體育鍛煉情況，通過(guò)分層抽樣獲得了部分學(xué)生一周的鍛煉時(shí)間，數(shù)據(jù)如下表(單位：小時(shí))：
(1)試估計(jì)C班的學(xué)生人數(shù)；
(2)從A班和C班抽出的學(xué)生中，各隨機(jī)選取1人，A班選出的人記為甲，C班選出的人記為乙．假設(shè)所有學(xué)生的鍛煉時(shí)間相互獨(dú)立，求該周甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)的概率．
【名師指導(dǎo)】
求互斥事件的概率的方法
(1)直接法
(2)間接法(正難則反)
題型4 古典概型
【例4-1】 (1)(2019·全國(guó)卷Ⅰ)我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽(yáng)爻“——”和陰爻“— —”，右圖就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率是( )
A.eq \f(5,16) B.eq \f(11,32)
C.eq \f(21,32) D.eq \f(11,16)
(2)(2019·合肥市第一次質(zhì)檢測(cè))某商場(chǎng)進(jìn)行購(gòu)物摸獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)則是：在一個(gè)封閉的紙箱中裝有標(biāo)號(hào)分別為1,2,3,4,5的五個(gè)小球，每次摸獎(jiǎng)需要同時(shí)取出兩個(gè)球，每位顧客最多有兩次摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，并規(guī)定：若第一次取出的兩球號(hào)碼連號(hào)，則中獎(jiǎng)，摸獎(jiǎng)結(jié)束；若第一次未中獎(jiǎng)，則將這兩個(gè)小球放回后進(jìn)行第二次摸球，若與第一次取出的兩個(gè)小球號(hào)碼相同，則中獎(jiǎng)．按照這樣的規(guī)則摸獎(jiǎng)，中獎(jiǎng)的概率為( )
A.eq \f(4,5) B.eq \f(19,25)
C.eq \f(23,50) D.eq \f(41,100)
【跟蹤訓(xùn)練4-1】(2019·武漢部分學(xué)校調(diào)研)我國(guó)歷法中將一年分春、夏、秋、冬四個(gè)季節(jié)，每個(gè)季節(jié)六個(gè)節(jié)氣，如春季包含立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨．某書畫院甲、乙、丙、丁四位同學(xué)接到繪制二十四節(jié)氣的彩繪任務(wù)，現(xiàn)四位同學(xué)抽簽確定各自完成哪個(gè)季節(jié)中的6幅彩繪，在制簽抽簽公平的前提下，甲抽到繪制夏季6幅彩繪的概率是( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,4)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,2)
【跟蹤訓(xùn)練4-2】(2019·蘭州市診斷考試)某區(qū)要從參加扶貧攻堅(jiān)任務(wù)的5名干部A，B，C，D，E中隨機(jī)選取2人，赴區(qū)屬的某貧困村進(jìn)行駐村扶貧工作，則A或B被選中的概率是( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(2,5)
C.eq \f(3,5) D.eq \f(7,10)
【跟蹤訓(xùn)練4-3】(2019·武漢市調(diào)研測(cè)試)已知某口袋中裝有2個(gè)紅球，3個(gè)白球和1個(gè)藍(lán)球，從中任取3個(gè)球，則其中恰有兩種顏色的概率是( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(4,5)
C.eq \f(7,20) D.eq \f(13,20)
【名師指導(dǎo)】
1．古典概型的概率求解步驟
(1)求出所有基本事件的個(gè)數(shù)n.
(2)求出事件A包含的所有基本事件的個(gè)數(shù)m.
(3)代入公式P(A)＝eq \f(m,n)求解．
2．基本事件個(gè)數(shù)的確定方法
(1)列舉法：此法適合于基本事件個(gè)數(shù)較少的古典概型．
(2)列表法：此法適合于從多個(gè)元素中選定兩個(gè)元素的試驗(yàn)，也可看成坐標(biāo)法．
(3)樹狀圖法：樹狀圖是進(jìn)行列舉的一種常用方法，適用于有順序的問題及較復(fù)雜問題中基本事件數(shù)的探求．
(4)運(yùn)用排列組合知識(shí)計(jì)算．
名稱
條件
結(jié)論
符號(hào)表示
包含關(guān)系
若A發(fā)生，則B一定發(fā)生
事件B包含事件A(事件A包含于事件B)
B?A(或A?B)
相等關(guān)系
若B?A且A?B
事件A與事件B相等
A＝B
并(和)事件
A發(fā)生或B發(fā)生
事件A與事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交(積)事件
A發(fā)生且B發(fā)生
事件A與事件B的交事件(或積事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
A∩B為不可能事件
事件A與事件B互斥
A∩B＝?
對(duì)立事件
A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件
事件A與事件B互為對(duì)立事件
A∩B＝?，P(A∪B)＝1
定義法
判斷互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；兩個(gè)事件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩事件為對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件
集合法
①由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，則事件互斥．
②事件A的對(duì)立事件eq \x\t(A)所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集
支付金額
支付方式
不大于2 000元
大于2 000元
僅使用A
27人
3人
僅使用B
24人
1人
最高氣溫
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天數(shù)
2
16
36
25
7
4
一次購(gòu)物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顧客數(shù)(人)
x
30
25
y
10
結(jié)算時(shí)間(分鐘/人)
1
1.5
2
2.5
3
A班
6
6.5
7
7.5
8
B班
6
7
8
9
10
11
12
C班
3
4.5
6
7.5
9
10.5
12
13.5

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